Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 4 czerwca 1996, godz. 14.00.
Część testowa
1. X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Dla jakich a " R istnieje EXa?
2. Rzucamy trzema symetrycznymi monetami i zabieramy te monety, na których
wypadł orzeł, a następnie powtarzamy doświadczenie z pozostałymi monetami,
dopóki jest czym rzucać. Ile średnio doświadczeń da się wykonać?
3. Na loterii jest 10 losów wygrywających, 100 przegrywających i 1000 upraw-
niających do następnego losowania. Jaka jest szansa wygranej?
4. Dla jakich c funkcja f(x) =c/(1 + x2) jest a) gęstością, b) funkcją charakte-
rystyczną pewnego rozkładu (podać go)?
5. Gracz dostał 13 kart z 52, obejrzał 8 z nich i stwierdził, że nie ma asa. Jaka
jest szansa, że w ogóle nie ma asa?
6. X i Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy.
Obliczyć E(X|X + Y = s).
7. X i Y są niezależne i mają ten sam rozkład jednostajny na [0, 1]. Obliczyć
E(max(X, Y ) - min(X, Y )).
8. X i Y są niezależne i mają ten sam rozkład N(0, 1). Znależć rozkład a) X/|Y |;
b) X/Y .
9. Jest n monet, ale k z nich jest asymetrycznych i orzeł wypada z prawdopodo-
bieństwem 1/3. Wybrano losowo monetę i w wyniku rzutu wypadł orzeł. Jaka
jest szansa, że po drugiej stronie jest orzeł?
10. Ä jest momentem Markowa. Czy stÄ…d wynika, że momentem Markowa jest
a) Ä +1; b) Ä - 1?
11. Na poczcie pojawia się 100 klientów dziennie, każdy z nich dokonuje wpłaty
Xi, i =1, 2, . . . , 100, gdzie Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym sa-
mym rozkładzie, zerowej średniej i wariancji równej 100. Ile gotówki należy
mieć w kasie rano, by z prawdopodobieństwem 0,99 na koniec dnia nie zabrakło
pieniędzy? Zakładamy, że w ciągu dnia ewentualne braki uzupełnia ze swojej
kieszeni naczelnik, ale wieczorem chce odzyskać swoje pieniądze.
12. Pijak znajduje się 3 kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku
przepaści wynosi 1/3, w przeciwnym  2/3, kroki są niezależne. Jaka jest szansa
ocalenia? Zakładamy, że pijak spada, gdy znajdzie się na krawędzi przepaści.
13. X i Y są niezależnymi i nieujemnymi zmiennymi losowymi, X ma gęstość.
Wtedy a) XY musi mieć gęstość, b) może mieć gęstość, ale nie musi.
14. X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie:
P (X1 =2) =P (X1 = -2) =1/2, n =1, 2, . . .. Znalez
ć
a) limn" P (X1 +. . . +Xn e" n);
1
b) limn" P (|X1 +. . . +Xn| d" n2);
"2
c) limn" P (X1 +. . . +Xn d" n).
1
Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 4 czerwca 1996, godz. 14.00.
Część teoretyczna
T-1. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z pa-
rametrami, odpowiednio,  i µ. Obliczyć P (X = k|X + Y ) oraz E(X|X + Y ).
T-2. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wy-
kładniczym z parametrem . Znalez
ć rozkład zmiennej losowej
Z =max(X, Y ) - min(X, Y ).
T-3. X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie:
P (Xn =1) =P (Xn = -1) =1/2, n =1, 2, . . .. Niech
Fn = Ã(X1, . . . , Xn)
i niech
1
Zn = e(X +...+Xn)-(n/2).
Udowodnić, że (Zn, Fn) jest nadmartyngałem. Znalez
ć limn" Zn.
T-4. Niech Xn będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem n,
zaś Yn  niezależną od Xn zmienną losową taką, że EYn = 0, D2Yn =1/n,
(n =1, 2, . . .). Załóżmy, że n  >0. Znalez
ć granicę rozkładów zmiennych
losowych Xn + Yn.
(*) Czy założenie o niezależności Xn i Yn jest istotne?
2