3. METODY OPISU UKAADÓW
ELEKTRONICZNYCH
3.1. MODELE ZACISKOWE - CZWÓRNIK
3.1.1. WPROWADZENIE
Wielobiegunnikiem nazywamy element, którego liczba zacisków jest
większa od 2 (m>2). Z każdym zaciskiem wielobiegunnika związana jest
para wielkości elektrycznych.
Definicja1.
Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn. m=2n)
zgrupowanych w n par i dla każdej pary zacisków zachodzi
związek:
I = -I
(3.1)
k' k
to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";
- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć
zaciskowych tworzących tę bramę;
- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM
Definicja 2.
Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy
wielowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.
I
1
1
1
1
U
1
U I
I I
1 1
1 1
I I
1 2
1 2
1
.
.
.
n=2
m=2n
. U U
. 2n
1 2
.
I
I
I
n
n
n
1 2
n I I
1 2
n n
U
n
I
U
n
n
n
- 1 -
Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik następująco
I I
1 2
1 2
CZWÓRNIK
U U
1 2
2
1 2
Para zacisków 1-1 wrota pierwotne (WE)
2-2 wrota wtórne (WY)
Granicznymi stanami pracy każdej z bram są:
stan jałowy gdy prąd danej bramy jest równy zeru
(I1=0 lub I2=0)
stan zwarcia gdy napięcie danej bramy jest równe zeru
(U1=0 lub U2=0)
3.1.2. TRÓJNIK A CZWÓRNIK
Przyjmijmy jeden z zacisków trójnika za zacisk odniesienia.
Rozszczepiając zacisk odniesienia na dwa zwarte zaciski otrzymamy
czwórnik nazywany czwórnikiem o strukturze trójnikowej
(czwórnikiem o wspólnej masie).
I I I I
1 2 1 2
1 2 1 2
U U
1 2
U U
1 2
1 2
- 2 -
3.1.3. PODSTAWOWE RÓWNANIA CZWÓRNIKA
Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą
WIELKOŚCI ZACISKOWE, a więc prąd i napięcie wejściowe (I1, U1)
oraz prąd i napięcie wyjściowe (I2, U2).
Spośród czterech wielkości zaciskowych tylko dwie mogą być
przyjęte jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne. Para wielkości
niezależnych może być wybrana na sześć różnych sposobów, czwórnik
można zatem opisać jednym z sześciu rodzajów równań zaciskowych.
Para wielkości zaciskowych
RODZAJ RÓWNAC
ZALEŻNYCH NIEZALEŻNYCH
1. I1, I2 ADMITANCYJNE
U1, U2
2. U1, U2 IMPEDANCYJNE
I1, I2
3. U1, I2 HYBRYDOWE
I1, U2
4. I1, U2 HYBRYDOWE ODWROTNE
U1, I2
5. U1, I1 AACCUCHOWE
U2, I2
6. U2, I12 AACCUCHOWE ODWROTNE
U1, I1
- 3 -
1. RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA
Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są napięcia: pierwotne
U1 oraz wtórne U2. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia
czwórnika
I I
1 2
1 2
CZWÓRNIK
U
U
1
2
2
1
I I I I
11 21 12 22
1 2
CZWÓRNIK CZWÓRNIK
U
U
1
+
2
2
1
I1 = I11 + I12
ż
I = I + I
2 21 22
gdzie: I11 = y11U1 I12 = y12U
2
I = y21U1 I = y22U
21 22 2
Zatem równania admitancyjne czwórnika otrzymuje się jako:
I1 = y11U1 + y12U
2
(3.2)
ż
I = y21U1 + y22U
2 2
- 4 -
=
I1 = y11U1 + y12U
2
(3.2)
ż
I = y21U1 + y22U
2 2
lub w postaci macierzowej
y11 y12 U1 ł
I1 ł U1
ł ł
= = Y
ęy y22 ś
ęI ś ęU ś ęU ś
2 2 2
21
Elementy macierzy admitancyjnej Y nazywamy parametrami
admitancyjnymi czwórnika - można je wyznaczyć z układu równań 3.2
(jako stosunki prądów zaciskowych do napięć zaciskowych przy zwarciu
jednej z par zacisków):
I1 I1
y11 = y12 =
U1 U 2 =0 U
2
U =0
1
admitancja dwójnika 1-1 (od P) admitancja wzajemna od W do P
I I
2 2
y21 = y22 =
U1 U 2 =0 U
2
U =0
1
admitancja wzajemna od P do W admitancja dwójnika 2-2 (od W)
I I I I
1 2 1 2
1 2 1 2
CZWÓRNIK CZWÓRNIK
U
U
1
2
2 2
1 1
Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (3.2)
I I
1 2
y11
U y22 U
1 2
y12U2 y21U1
- 5 -
2. RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA
U1 = z11I1 + z12 I
U1 z11 z12 I1 I1
ł ł ł ł
2
= = Z (3.3)
ż
ęU ś ęz z22ś ęI ś ęI ś
U = z21I1 + z22 I
2 2
2 21 2 2
Elementy macierzy impedancyjnej Z (parametry impedancyjne)
mają wymiar impedancji [W]. Można je wyznaczyć jako stosunki napięć
zaciskowych do prądów zaciskowych przy rozwarciu jednej z par
zacisków:
U1
z11 = = Z1o
U1
I1 I 2 =0
z12 =
I
2
I1 =0
impedancja dwójnika 1-1 (od P)
impedancja wzajemna od W do P
impedancja wejściowa rozwarciowa
U
2
z22 = = Z
U 2o
2
I
z21 =
2
I1 =0
I1 I 2 =0
impedancja dwójnika 2-2 (od W)
impedancja wzajemna od P do W
impedancja wyjściowa rozwarciowa
I I =0 I =0 I
1 2 1 2
1 2 1 2
CZWÓRNIK
CZWÓRNIK
U U U U
1 2 1 2
2 2
1 1
Schemat zastępczy czwórnika dla równań (3.3)
I I
1 2
z11 z22
U U
1 2
z12I2 z21I1
- 6 -
3. RÓWNANIA HYBRYDOWE CZWÓRNIKA
Jeśli przyjmiemy, że wielkościami niezależnymi jest prąd pierwotny
I1 oraz napięcie wtórne U2 - otrzymamy równania hybrydowe (mieszane)
czwórnika:
U1 = h11I1 + h12U
2
(3.4)
ż
I = h21I1 + h22U
2 2
lub w postaci macierzowej
U1 h11 h12 I1 I1
ł ł ł ł
= = H
ę ś ęh h22ś ęU ś ęU ś
I
2 21 2 2
gdzie H nazywamy macierzą hybrydową czwórnika.
Schemat zastępczy czwórnika dla równań (3.4)
I I
1 2
h11
U h22 U
1 2
h12U2
h21I1
U1
U1
h12 = [-]
h11 = [W]
U
I1 U 2 =0
2
I1 =0
współczynnik oddziaływania
impedancja wejściowa przy
zwrotnego
zwartym wyjściu
I I
2 2
h21 = [-] h22 = [S]
I1 U 2 =0 U
2
I1=0
zwarciowy współczynnik admitancja wyjściowa przy
wzmocnienia prądowego rozwartym wejściu
- 7 -
3.1.4. PARAMETRY ROBOCZE CZWÓRNIKA
1. IMPEDANCYJA WEJŚCIOWA
Określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do
prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej
dwójnikiem o impedancji Zobc.
I I
1 2
Z
1 2
g
Z
U CZWÓRNIK U
obc
1 2
E
1 2
g
U
1
Z =
we
I
1
Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z
pierwszego równania (3.3):
U1 I
U1 = z11I1 + z12 I Z = = z11 + z12 2
2 we
I1 I1
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że U = -Z I
2 obc 2
I z21
2
U = z21I1 + z22 I = -
2 2
I1 Z + z22
obc
U1 z12 z21
Z = = z11 -
Stąd: (3.5)
we
I1 Z + z22
obc
- 8 -
2. IMPEDANCYJA WYJŚCIOWA
Jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika (przy
Eg = 0) i wyraża się stosunkiem napięcia do prądu wtórnego.
I I
1 2
1 2
Z
g
CZWÓRNIK
U U
1 2
1 2
U
2
Z =
wy
I
2
Z drugiego równania (3.3) otrzymujemy
U I1
2
U = z21I1 + z22 I Z = = z22 + z21
2 2 wy
I I
2 2
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że U1 = -Z I1
g
I1 z12
U1 = z11I1 + z12 I = -
2
I Z + z11
2 g
U z12 z21
2
Z = = z22 -
Stąd: (3.6)
wy
I Z + z11
2 g
- 9 -
3. WZMOCNIENIE NAPICIOWE (TRANSMITANCJA NAPICIOWA)
U z21 Z
2 obc
K = =
(3.7)
u
U1 det Z + z11 Z
obc
I
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
1
1 2
rzeczywistego zródła energii,
Z
g
mówimy o
U U Z
1 2 obc
skutecznym (efektywnym)
E
g
1 2
wzmocnieniu napięciowym:
U U U K
2 2 2 u
K = = = =
(3.8)
u sk
Eg U1 + Z I1 U1 + Z U1 1+ Z
g
g
g
Z
Z
we
we
4. WZMOCNIENIE PRDOWE (TRANSMITANCJA PRDOWA)
(- I ) z21
2
K = =
(3.9)
i
I1 z22 + Z
obc
I (-I )
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
1 2
1 2
rzeczywistego zródła energii,
mówimy o
Z
I
g U U Z
g
1 2 obc
skutecznym (efektywnym)
1 2
wzmocnieniu prądowym:
(- I ) (- I ) (- I ) (- I ) K
2 2 2 2 i
K = = = = =
(3.10)
i sk
E U1 + Z I1 Z I1 + Z I1 Z
I
g g we g we
g
1+
Z
Z Z Z
g
g g g
- 10 -
3.2. OPIS CZSTOTLIWOŚCIOWY
3.2.1. POJCIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie
harmoniczne o symbolicznej wartości skutecznej F (napięciowe lub
prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedz o
symbolicznej wartości skutecznej R (prądowa lub napięciowa).
F R
układ
elektryczny
Jeśli wielkości F i R występują na tych samych zaciskach to
rozpatrywany układ jest dwójnikiem.
W zależności od wymuszenia odpowiedz wyznaczamy ze wzoru:
I
I U Z Y
U0
Z
U = Z I (3.11a) I = Y U (3.11b)
Z 0
Zatem stosunek odpowiedzi do wymuszenia, definiujemy jako:
U I
IMpedancja Z = (3.12a) adMITANCJA Y = (3.12b)
I U
Z 0
Dla obu tych wielkości spełniających związek
Y Z =1 (3.14)
stosujemy określenie : IMMITANCJA
- 11 -
W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia
z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a
odpowiedz z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do
wymuszenia nazywamy TRANSMITANCJ.
F R
K
R
K =
(3.15)
F
R = K F
czyli (3.16)
Ponieważ w przypadku czwórnika wymuszeniem i odpowiedzią może
być prąd lub napięcie, należy więc rozróżnić cztery transmitancje:
transmitancję napięciową
I2=0
Ku
U1 U
U2 2
K = (3.17a)
u
U1 I 2 =0
transmitancję prądowo-napięciową
I2
Kiu
U1 I
2
K = (3.17b)
i u
U1 U 2 =0
transmitancję prądową
I2
I1 Ki
I
2
K = (3.17c)
i
I1 U 2 =0
transmitancję napięciowo-prądową
I2=0
I1 Kui
U
U2 2
K = (3.17d)
u i
I1 I 2 =0
- 12 -
3.2.2. CHARAKTERYSTYKI CZSTOTLIWOŚCIOWE
Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależą od:
układu (jego struktury i wartości elementów);
pulsacji (częstotliwości) sygnału wymuszającego.
Dla układu liniowego, badanego przy przebiegach harmonicznych dla
określonej pulsacji słuszna jest zależność:
Rm 2 R e jy R
R
j (y -y )
R F
K = = = e (3.18)
Fm 2 F e jy F F
j Q
= K e
moduł transmitancji K
argument transmitancji Q
określony jest stosunkiem
wyraża kąt przesunięcia
wartości skutecznych
fazowego odpowiedzi w
odpowiedzi do wymuszenia
odniesieniu do wymuszenia
Charakterystykami częstotliwościowymi układu nazywamy
zależność transmitancji lub immitancji układu
od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.
jQ (w)
K(w) = K(w)e
dla w (0 Ą) (3.19)
gdzie: K(w) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
K(w) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa
Q(w) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa
KdB(w) = 20lg K(w)
UWAGA:
Wybrane wartości w decybelach
K (w)
1 10
1/ 2 2
10-N 0,1 10N
- 20 N 20 N
20lg K(w) [dB]
-20 -3 0 3 20
- 13 -
3.2.3. PARAMETRY CZSTOTLIWOŚCIOWE UKAADÓW
częstotliwość przy której moduł transmitancji
częstotliwość graniczna
maleje o 3 dB od wartości nominalnej dla której
umownie przyjęto poziom 0dB.
zakres częstotliwości, w którym moduł
pasmo przenoszenia
transmitancji maleje nie więcej niż o 3 dB od
SP = fg - fd
wartości nominalnej, a jest to zakres
częstotliwości zawarty między częstotliwościami
granicznymi. Miarą pasma przenoszenia jego
szerokość SP
zdolność rozdziału częstotliwościowego
selektywność układu
przenoszonych sygnałów. Miarą selektywności
SP(3dB)
jest współczynnik prostokątności p
p =
SP (20dB)
określa się liczbą decybeli wyrażającą zmianę
nachylenie charakterystyki
modułu transmitancji układu na dekadę w
zadanym zakresie częstotliwości
K(f)
0dB
1
-3dB
0,707
-20dB
0,1
fg1 fs fg2
f
3.2.4. KLASYFIKACJA UKAADÓW
wąskopasmowe SP << fs
szerokopasmowe SP=fs lub SP > fs
dolnoprzepustowe fg1=0 fg2 < Ą
górnoprzepustowe fg1>0 fg2 = Ą
środkowoprzepustowe fg1>0 fg2 < Ą
środkowozaporowe f(fg1, fg2) Ł fg1>0 Ł fg2< Ą
- 14 -
3.2.5. FILTRY RC
I
C1
GÓRNOPRZEPUSTOWY
R1
U U
1 2
Zgodnie z (3.17a):
U R1 I R1
2
K (w)= = =
u
1
U1 ć 1
R1 +
R1 + I
jwC1
jwC1
Ł ł
jwR1C1
K (w)=
Czyli: (3.20)
u
1+ jwR1C1
lub
p
j - arctg (wR1C1)ł
ę ś
wR1C1
2
Ku(w)
= e
1+ (wR1C1)2
K(w) Q(w)
K(w) - częstotliwościowa Q(w) - częstotliwościowa
charakterystyka amplitudowa charakterystyka fazowa
K(w)
Q(w)
1
p/2
0,707
p/4
w w
wg1=1/R1C1 wg1=1/R1C1
1 1
fg1 = =
UWAGA: t1 - stała czasu FG
2p R1C1 2p t1
- 15 -
I
R2
DOLNOPRZEPUSTOWY
U1 U2
C2
Zgodnie z (3.17a):
ć
1
1
I
jwC2
U jwC2
Ł ł
2
K (w)= = =
u
1
U1 ć
1
R2 +
R2 + I
jwC2
jwC2
Ł ł
1
K (w)=
Czyli: (3.21)
u
1+ jwR2C2
lub
1
j [-arctg (wR2C2 )]
Ku(w)
= e
1+ (wR2C2)2
K(w) Q(w)
K(w) - częstotliwościowa Q(w) - częstotliwościowa
charakterystyka amplitudowa charakterystyka fazowa
K(w)
Q(w)
wg2=1/R2C2
1
w
0,707
-p/4
-p/2
w
wg2=1/R2C2
1 1
fg 2 = =
UWAGA: t2 - stała czasu FD
2p R2C2 2p t2
- 16 -
3.3. OPIS CZASOWY
3.3.1. WPROWADZENIE
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie
przyczynowe f(t) (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną
funkcją jest odpowiedz r(t) (prądowa lub napięciowa).
f (t) r (t)
układ
elektryczny
Czasową charakterystykę układu o określonym wejściu i
wyjściu stanowi przebieg sygnału wyjściowego, gdy na
wejściu działa wymuszenie będące sygnałem wzorcowym.
Jeśli sygnałem wzorcowym f(t) jest funkcja skoku jednostkowego
1(t) to
r(t)= L-11 K(s)ł = L-1[H(s)]= h(t)
(3.22)
ęs ś
gdzie h(t) CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA UKAADU (zwana
funkcją/charakterystyką przejściową)
UWAGA:
f(t)
1
0 dla t < 0
f (t) = 1(t) =
1 dla t > 0 t
0
Skok jednostkowy
W chwili t = 0 pojawia się sygnał o wartości jeden i następnie dla
czasów t > 0 nie ulega on zmianie. Każde wymuszenie stałe doprowadzone
do obwodu w chwili t = 0 można traktować jako iloczyn sygnału
jednostkowego i wielkości stałej.
- 17 -
3.3.2. PARAMETRY CZASOWE UKAADÓW
h(t)
h =1
ust
0,9
0,5
0,1
0
to t
tn tm
Czas narastania tn czas wzrostu charakterystyki skokowej
układu od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej
Czas opóznienia to czas wzrostu charakterystyki skokowej
układu od 0 do 0,5 wartości ustalonej
Czas opadania tm czas malenia charakterystyki skokowej
układu od 0,9 do 0,1 wartości ustalonej
- 18 -
3.3.3. UKAADY RC
RÓŻNICZKUJCY C1
R1
u1(t)=1(t) u2(t)
GÓRNOPRZEPUSTOWY
d u1
h(t)
u2(t) R1C1
dt 1
1 1
- -
R1C1 t1
u2(t) = e 1(t) = e 1(t)
(3.23)
t
0
R2
CAAKUJCY
C2
u1(t)=1(t) u2(t)
DOLNOPRZEPUSTOWY
t
1
u2(t)
u dt
R2C2 0 1
h(t)
1
1
ć
1- - R2C2 1
u2(t)= e (t)
Ł ł
1
ć
1- -t 1
2
= e (t)
0 t
Ł ł
(3.24)
- 19 -
3.4. ZWIZKI CHARAKTERYSTYK UKAADU
lim K(w)= h(Ą)
w 0
(3.25)
ż
lim K(w) = h(0+)
w Ą
Są to związki o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Wynika z nich
jednoznacznie, że jeśli znamy np. charakterystykę amplitudową K(w), to
jej graniczne wartości określają jednoznacznie graniczne wartości funkcji
skokowej (przejściowej) h(t) i odwrotnie.
h(t) K(w)
1 1
0 0
w
t
- 20 -
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
04 03 Ochrona przed porazeniem pradem elektrycznym Pomiary ochronne03 wyklad elektryczny nidF2515 03 ElektronarzedziaA16 Przewodniki w polu elektrycznym (01 03) (2)technik elektryk11[08] z3 03 u00 Tematy zajęć PEiM doc (2)Elektrownia wiatrowa z silniczka od nagrzewnicy samochodowej?w 03 s54Smith, E E Doc Lensman 0301 PEiM Sygnały doc (2)więcej podobnych podstron