ĆWICZENIE 40
WYZNACZANIE MODUA
U SPR
ŻYSTOŚCI
PRZY POMOCY WAHADA
A TORSYJNEGO
Opis układu pomiarowego
l
Obiektem badań jest pręt o długości i średnicy 2r, którego górny koniec jest sztywno
zamocowany, drugi dolny jest poddawany działaniu sił skręcających.
ĆWICZENIE 40
2d
W dolnej części pręta zamocowane jest ramię o długości , na którym znajdują się kołki do
zamocowania walców. Walce mogą być wykonane z różnych materiałów (posiadają różne
masy). Są wtedy mocowane na zewnętrznych kołkach. W ćwiczeniu można także używać
dwóch identycznych walców mocowanych symetrycznie na kolejnych kołkach.
Odchylony w płaszczyz
nie poziomej układ wykonuje drgania torsyjne. Jest to jeden z
przykładów wahadła fizycznego - wahadło torsyjne. Jak dla każdego wahadła fizycznego jego
J
J
okres zależy od jego momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci T = 2Å" Ä„ , gdzie jest momentem
D
bezwładności, a D jest modułem skręcania drgającej bryły względem zadanej osi obrotu. Dla
wyznaczenia modułu skręcenia, a następnie modułu sprężystości wystarczy zmierzyć okres
drgań wahadła i wyznaczyć jego moment bezwładności. Jednak bezpośrednie wyznaczenie
momentu bezwładności jest trudne.
Trudność tę można ominąć mierząc najpierw okres drgań To wahadła nieobciążonego o
Jo
pewnym nieznanym momencie bezwładności , a następnie zmierząc okres T drgań
wahadła obciążonego dodatkowym ciałem o kształcie pozwalającym analitycznie obliczyć
J
jego moment bezwładności . Otrzymuje się wtedy okresy drgań:
Jo Jo + J
To = 2Ä„ i T = 2Ä„
D D
Jo
Proste przekształcenia pozwalają wyeliminować z tych dwóch równań wielkość i
otrzymać wyrażenie dla modułu skręcenia D , a następnie na moduł sprężystości
8 Ä„ l J
G =
2
r4 (T - T02 )
W przypadku, gdy na konstrukcję wahadła nałożone są symetrycznie dwa walce o jednakowej
m
d
masie , to przy założeniu, że ramię wahadła jest znacznie większe niż wymiary walców,
2
J = 2Å" m Å" d
zmiana momentu bezwładności jest równa .
Należy określić kryterium stosowalności dla potrzeb ćwiczenia wzoru na okres drgań. Wzór
ten jest słuszny dla drgań nietłumionych, podczas gdy w rzeczywistości mamy do czynienia z
drganiami tłumionymi. Jeśli jednak tłumienie jest nieduże, tzn. zmiana amplitudy w ciągu
jednego okresu jest znacznie mniejsza od bezwzględnej wartości amplitudy, to wzór można
stosować jako dobre przybliżenie. Jako kryterium jego stosowalności może służyć
ĆWICZENIE 40
n > > 1
nierówność: , gdzie n oznacza liczbę pełnych drgań, po których wykonaniu amplituda
zmniejszy siÄ™ dwa razy.
Przy dużych amplitudach prawo Hooke a nie jest spełnione i okres T może zależeć od
amplitudy. W związku z tym, drugim warunkiem stosowalności wzoru jest zachowanie
równości T = constans, którą również można sprawdzić eksperymentalnie.
Przeprowadzenie pomiarów
W ćwiczeniu jako dodatkowe obciążenia wykorzystywane są walce. Masy walców i
parametry geometryczne wahadła oraz niepewności maksymalne tych wielkości umieszczone
sÄ… przy zestawie pomiarowym.
1.Zapoznać się z budową wahadła torsyjnego.
2.Ustalić zakres amplitudy, dla którego spełniony jest warunek T = constans. W tym celu
należy umieścić wybraną parę walców na wahadle i wzbudzić przy pomocy pary sił drgania
torsyjne zadając pewną początkową amplitudę. Mierząc czas 10 pełnych wahnięć określić
T1 T2 T1 `" T2
okres . Zmniejszyć amplitudę i w ten sam sposób wyznaczyć . Jeśli okaże się, że
Åš
, należy zmniejszyć amplitudę do takiej wartości , od której zaczynając dla wszystkich
Õ < Åš
T1 = T2
będzie spełniona równość .
3.Zmierzyć liczbę pełnych drgań, po wykonaniu których amplituda zmniejszy się dwa razy.
4.Wprawić w drgania torsyjne (amplituda drgań nie większa od ustalonej na początku
pomiarów w punkcie 2) wahadło nie obciążone walcami i zmierzyć czas trwania 5 okresów
To
za pomocą stopera. Pomiar powtórzyć co najmniej 10 razy.
5.Powtórzyć pomiary według punktu 4 dla wahadła obciążonego dwoma walcami
umieszczonymi symetrycznie kolejno w odległościach d = 5; 7,5; 10; 12,5; 15 cm.
" d =
Niepewność maksymalna określenia d wynosi 0,05 cm.
6.Wyniki wszystkich pomiarów przedstawić w formie tabeli
d m T u(T )
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
[s]
[m] [kg]
[s] [s] [s]
[s] [s] [s] [s] [s] [s] [s]
0 0
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
7. Ustalić wartości stałych i parametrów niezbędne do opracowania ćwiczenia.
Określić niepewności standardowe lub maksymalne wielkości mierzonych.
ĆWICZENIE 40
Opracowanie wyników pomiarów
1.Obliczyć średnie arytmetyczne mierzonych okresów drgań dla wahadła nieobciążonego To i
obciążonego dla pięciu poszczególnych położeń mas oraz niepewności standardowe
n
2
(Ti - T )
"
obliczonych średnich u = i= 1 .
(T )
(n - 1) n
2
J = 2Å" m Å" d
2.Obliczyć momenty bezwładności
dla wszystkich pięciu położeń obciążników
względem osi obrotu wahadła i niepewności złożone względne, a następnie bezwzględne
2 2
u(m) u(d)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
wyznaczonych wartości .
uc,r (J ) = + 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
m d
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Niepewności standardowe mas i odległości od osi obrotu oblicz korzystając ze wzoru
" x
u( x) =
uwzględniając podane wartości niepewności maksymalnych.
3
3.Wykorzystując obliczone średnie okresy drgań i momenty bezwładności wahadła
J
2
D = 4 Ä„
wyznaczyć wartości modułu skręcenia i modułu sprężystości
2
T - To2
8 Ä„ l J
G =
dla wszystkich 5 przypadków umieszczenia dodatkowej masy. Wyniki
2
r4 (T - T02 )
obliczeń podać w układzie SI.
4.Obliczyć niepewności złożone względne, a następnie bezwzględne dla wyznaczonych
wartości modułu skręcenia i modułu sprężystości korzystając ze wzorów:
2 2
2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
u(J ) 2T 2T0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
uc,r (D) = + u(T )÷Å‚ + u(T0)÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚
J
íÅ‚ Å‚Å‚ T - T02 ÷Å‚ ìÅ‚ T - T02 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
u(J ) 2T 2T0 u(r) u(l)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
uc,r (G) = + u(T )÷Å‚ + u(T0)÷Å‚ + 4 +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚
J r l
íÅ‚ Å‚Å‚ T - T02 ÷Å‚ ìÅ‚ T - T02 ÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
5. Porównać otrzymane wyniki z wartościami charakterystycznymi dla stali i aluminium.
Odpowiednia obróbka powierzchni może upodobnić optycznie te materiały do siebie.
Zestawić wyniki, przeanalizować uzyskane rezultaty (także wykresy), wyciągnąć wnioski.
Stwierdzić czy cele ćwiczenia:
D
" wyznaczenie modułu skręcenia pręta,
G
" wyznaczenie modułu sprężystości pręta,
zostały osiągnięte.