fuzzy

Logika rozmyta
Justyna Signerska i Krzysztof Bartoszek
18 marca 2006
1 Wst�
ep
Jednym z podstawowych praw logiki klasycznej jest tzw. ,,prawo wylaczonego środka (ang.
�
the law of the excluded middle). Symbolicznie można je wyrazić jako:
A AND NOT A a" 0
A OR NOT A a" 1.
Mówi ono o tym, że każde zdanie przyjmuje dokladnie jedn� z dwóch wartości logicznych:
a
prawd� albo falsz. Ale czy w ,,realnym życiu rzeczywiście możemy każd� rzecz określić
e a
jednoznacznie jako w 100% prawdziw� lub w 100% nieprawdziw�? Czy nie ma żadnych
a a
,,stanów pośrednich ? Najlepszym przykladem na to, że prawa logiki klasycznej, używane
przez matematyków w dowodzeniu twierdzeń matematycznych, nie zawsze aplikuja si� do
� e
,,realnego świata , jest nast� acy paradoks:
epuj�
" Paradoks Bitwy Morskiej (Arystoteles, Sea-battle Paradox ):
It is necessary for there to be or not to be a sea-battle tomorrow; but it is not necessary
for a sea-battle to take place tomorrow, nor for one not to take place.
A oto, co na temat prawa wylaczonego środka powiedzial pewien wybitny filozof i matematyk:
�
" Bertrand Russell ( Vagueness . Australian J. Philosophy, 1,1923):
The law of the excluded middle is true when precise symbols are employed but it is
not true when symbols are vague, as, in fact, all symbols are.
Tak wi� musialy powstać pewne alternatywne do logiki klasycznej systemy logiczne, np.
ec
stworzona przez polskiego uczonego Jana Lukasiewicza logika trójwartościowa. Jednym z
takich systemw jest również tzw. logika rozmyta. Jej twórc� jest profesor Lofti A. Zadeh
a
(University of California, Berkeley). W 1965 roku opublikowal on teori� zbiorów rozmy-
e
tych, a w 1973 roku stworzyl system logiki rozmytej. Logika rozmyta jest w pewnym
sensie uogólnieniem logiki klasycznej. Modeluje ona zjawiska nieprecyzyjne np. zdanie
,,Dziś jest zimno i znajduje glównie zastosowanie w tworzeniu systemów eksperckich, które
dzialaja m.in. w pralkach, lodówkach, odkurzaczach, czy w systemach wentylacyjnych tuneli
�
podziemnych. Jako ciekawostk� można dodać, że w Japonii przy produkcji sake stosuje si�
e e
urz� ace e a.
adzenia dzialaj� w oparciu o logik� rozmyt�
1
2 Definicje
Niech X b� pewn� przestrzenia rozważań. B� to dziedzina istotna dla danego za-
edzie a � edzie
gadnienia. Musi zawsze być określona, gdyż np. zbiór możliwych temperatur w Polsce
ć% ć% ć% ć%
[-30 C, 35 C] jest inny niż w Afryce [-5 C, 50 C]. I naturalnie zdanie ,,Dziś jest zimno
b� w obu miejscach mialo różne znaczenia. Niech A �" X. Z danym zbiorem A można
edzie
utożsamić funkcje przynależności �. W klasycznej teorii mnogości jest to funkcja charak-
terystyczna zbioru A,
0 x " A
/
�A(x) =
1 x " A.
W logice rozmytej ta funkcja może być dowolna. Funkcj� t� można interpretować np. w
e e
jakim stopniu dany element x należy do zbioru A.
Definicja 1 (Zbiór rozmyty)
Zbiorem rozmytym A w pewnej niepustej przestrzeni X nazywamy zbiór uporz�
adkowanych
par
{(x, �A(x)) : x " X}
gdzie
�A : X
jest funkcj� przynależności zbioru A.
a
Przyklad 1
Niech A b� zbiorem temperatur niskich.
edzie
ć% ć%
1. X = [-5 C, 50 C] zbiór temperatur w Afryce. Przykladow� funkcje przynależności
a
�A przedstawiono poniżej.
Wykres 1.
2
ć% ć%
2. X = [-30 C, 35 C] zbiór temperatur w Polsce. Przykladow� funkcje przynależności
a
�A przedstawiono poniżej.
Wykres 2.
Pewn� istotn� funkcja przynależności, która jest cz� wykorzystywana w systemach
a a � esto
rozmytych jest funkcja typu singleton.
Definicja 2 (Singleton)
Niech A = {x}
0 x = x

�{x}(x) =
1 x = x
Funkcj� t� cz� oznacza si� w nast� acy sposób, �{x}(x) = �(x - x).
e e esto e epuj�
Przedstawimy kilka poj�ć zwiazanych z zbiorami rozmytmi. W nawiasach podano ang-
e �
ielskie odpowiedniki.
Definicja 3 (Nośnik zbioru A (support))
supp(A) = SA = {x " X : �A(x) > 0}
Nośnik zbioru A jest to zbiór tych x, które maj� znaczenie dla A.
a
Definicja 4 (Wysokość zbioru A (height))
h(A) = HA = sup �A(x)
x"X
3
Mówimy, że zbiór A jest normalny jeżeli h(A) = 1. Takie ograniczenie na funkcje �A z
punktu widzenia teorii jest nieistotne, jednakże w zastosowaniach praktycznych okazuje si�
e
bardzo przydatne. Jeżeli A jest normalny to wartość funkcji przynależności można interpre-
tować jako procent na ile dany element x należy do A. Jeżeli A nie jest normalny to zawsze
można go znormalizować poprzez określenie zbióru AN o funkcji przynależności
�A(x)
�A (x) = .
N
h(A)
Definicja 5 (ą przekrój)
Aą = {x " X : �A(x) e" ą}
Można też spotkać si� z dualnym poj� ą cut.
e eciem
Definicja 6 (ą cut)
Jest to zbiór rozmyty Aą o funkcji przynależności
�A(x) �A(x) e" ą
�Aą(x) =
0 �A(x) < ą.
Definicja 7 (Zmienna lingwistyczna (Linguistic V ariable) [1])
Zmienna lingwistyczna jest czwórk� (N, T, X, MN), gdzie
a
N nazwa zmiennej np. wiek
T zbiór wartości lingwistycznych np. {mlody, średni, stary }
X przestrzeń rozważań np. [0, 125] lat
MN funkcja semantyczna MN : T zbiór funkcji przynależności
Wykres 3. Przykladowe funkcje przynależności ilustruj� MN
ace
4
Definicja 8 (Kompletność (complete))
Mówimy, że zmienna lingwistyczna V jest kompletna, jeżeli zachodzi
"x"X "A"T �A(x) > 0.
Jeżeli zmienna lingwistyczna nie jest kompletna, to wtedy przestrzeń rozważań XV jest
nadmiarowa, bo cz�ść jej nie ma żadnego znaczenia.
e
Definicja 9 (Suma do jedności (partition of unity))
Mówimy, że zmienna lingwistyczna V sumuje si� do jedności, jeżeli
e
T
"x"X �Ai(x) = 1.
i=1
Suma do jedności nie wprowadza niczego istotnego do teorii, jednakże taka wlasność okazuje
si� przydatna w praktyce.
e
W danej przestrzeni rozważań funkcj� przynależności zbioru A może być dowolna funkcja
a
określona na calej przestrzeni X. W praktyce cz� korzysta si� oprócz funkcji typu sigleton
esto e
z funkcji trójk� oraz krzywych Gaussa.
atnych
Wykres 4. Funkcja trójk� i krzywa Gaussa.
atna
Powyżej przyjmowano, że zbiory rozmyte s� ciagle, ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby zbiór
a �
byl dyskretny.
Przyklad 2
Niech X = {F -16, Mig -29, Eurofighter, Mig -21, Grippen}, a A b� zbiorem ,,Dobry
edzie
myśliwiec . Wtedy funkcja przynależności �A może wygladać nast� aco,
� epuj�
Myśliwec �A(x)
F 16 0.9
Mig 29 0.75
Eurofighter 0.8
Mig 21 0.1
Grippen 0.7
5
Wykres 5. Funkcja przynależności zbioru ,,Dobry myśliwiec .
Zanim przejdziemy do omówienia podstawowych dzialań na zbiorach rozmytych potrzebne
nam b� a jeszcze tzw. normy trójk�
ed� atne.
Definicja 10 Funkcj� dwóch zmiennych T
e
T : [0, 1] � [0, 1] [0, 1]
nazywamy T -norm� jeżeli:
a,
1. funkcja T jest nierosn� wzgl� obu argumentów
aca edem
T (a, c) d" T (b, d) dla a d" b, c d" b
2. funkcja T spelnia warunek przemienności
T (a, b) = T (b, a)
3. funkcja T spelnia warunek l�
aczności
T (T (a, b), c) = T (a, T (b, c))
4. funkcja T spelnia warunki brzegowe
T (a, 0) = 0, T (a, 1) = a,
gdzie a, b, c, d " [0, 1].
6
Dla dowolnej T -normy zachodzi:
T (a, b) d" min(a, b)
Przyjmujemy oznaczenie:
T (a, b) = aT b
"
Najcz� spotykane T -normy to:
esciej
1. T (a, b) = min(a, b)
2. T (a, b) = ab
Definicja 11 Funkcj� dwóch zmiennych S:
e
S : [0, 1] � [0, 1] [0, 1]
nazywamy S-norm� je.zeli jest nierosn� wzgl� obu argumentw, spelnia warunek przemi-
a, aca edem
enności, laczności, a ponadto zachodz� nast� ace warunki brzegowe:
� a epuj�
S(a, 0) = a S(a, 1) = 1.
Dla dowolnej S-normy zachodzi:
max(a, b) d" S(a, b)
Przyjmujemy oznaczenie:
S(a, b) = aS b
"
Najcz� spotykane S-normy to:
esciej
1. S(a, b) = max(a, b)
2. S(a, b) = a + b - ab
Każdej T -normie odpowiada S-norma, a zależność mi� nimi wyraża równanie:
edzy
aT b = 1 - [(1 - a)S (1 - b)]
" "
Przedstawimy teraz wlasności zbiorów rozmytych i operatory rozmyte.
Definicja 12 Przeci� zbiorów rozmytych A i B definiujemy jako:
ecie
�A)"B(x) = T (�A(x), �B(x))
7
Przyklad 3
Wykres 6. Przyklad przeci� dwóch zbiorów rozmytych.
ecia
Definicja 13 Sum� zbiorów rozmytych A i B definiujemy jako:
e
�A*"B(x) = S(�A(x), �B(x))
Przyklad 4
Wykres 7. Przyklad sumy dwóch zbiorów rozmytych.
Definicja 14 Dopelnieniem zbioru rozmytego A ą" X jest zbiór rozmyty A o funkcji przy-
należności:
�A(x) = 1 - �A(x) dla każdego x " X.
8
Przyklad 5
Wykres 8. Przyklad dopelnienia zbioru rozmytego.
Przedstawione operacje na zbiorach rozmytych maj� wlasności przemienności, laczności i
a �
rozdzielności, zachodz� również prawa de Morgana. Ogólnie jednak:
a
A )" A = "

A *" A = X

Definicja 15 Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych A1 ą" X1, A2 ą" X2, ... ,An ą" Xn
oznaczamy A1 � A2 � ... � An i definiujemy jako:
�A �A2�...�An(x1, x2, ..., xn) = min(�A (x1), �A (x2), ..., �A (xn))
1 1 2 n
lub
�A �A2�...�An(x1, x2, ..., xn) = �A (x1)�A (x2)...�A (xn))
1 1 2 n
dla każdego x1 " X1, x2 " X2, ..., xn " Xn.
Definicja 16 Entropi� rozmyt� nazywamy miar� rozmycia zbioru
a a e
zdefiniowan� wzorem:
a
c(A AND NOT A)
E(A) = ,
c(A OR NOT A)
gdzie c oznacza sumowanie (lub calkowanie) po wszystkich wartościach funkcji przynależności
zbioru A.
9
Przyklad 6 ([1])
Wykres 9. Obliczanie entropii zbioru rozmytego.
Niech A oznacza zbiór o nazwie DOROSLY (adult). Używaj� dodawania jako operatora
ac
OR oraz operatora typu min jako AND otrzymujemy:
c(A AND NOT A) 5
E(A) = = = 0.125
c(A OR NOT A) 40
3 Relacje rozmyte i reguly wnioskowania w logice rozmytej
Definicja 17 Relacj� rozmyt� R mi� dwoma zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazy-
a a edzy
wamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X � Y . Relacja rozmyta jest
zbiorem par:
R = {((x, y), �R(x, y)); x " X, y " Y },
gdzie �R : X � Y [0, 1] jest funkcj� przynależności.
a
Funkcja ta każdej parze (x, y), x " X, y " Y przypisuje stopień przynależności �R(x, y),
który ma interpretacj� sily powiazania mi� elementami x " X i y " Y .
e � edzy
Przyklad 7 [2]
Określmy przestrzenie rozważań: X = {x1, x2, x3} = {3, 4, 5},
Y = {y1, y2, y3} = {4, 5, 6} oraz relacj� R �" X �Y jako y jest mniej wi� równe x . Niech
e ecej
10
relacj� t� reprezentuje macierz [aij], gdzie wartosc aij oznacza stopień powiazania mi�
e e � edzy
elementami xi i yj:
�ł �ł
0.8 0.6 0.4
�ł łł
A = 1 0.8 0.6
0.8 1 0.8
Równoważnie możemy t� relacj� zapisać jako:
e e
ńł
1 jeżeli x = y;
�ł
�ł
�ł
0.8 jeżeli |x - y| = 1;
�R(x, y) =
0.6 jeżeli |x - y| = 2;
�ł
�ł
ół
0.4 jeżeli |x - y| = 3.
Definicja 18 (Zlożenie relacji rozmytych)
Zlożeniem typu sup-T relacji rozmytych R ą" X �Y i S ą" Y �Z nazywamy relacj� rozmyt�
e a
R ć% S ą" X � Z o funkcji przynależności:
sup
�Rć%S(x, z) = [�R(x, y)T �S(y, z)]
y"Y "
Przyklad 8 [2]
Określmy przestrzenie rozważań: X = {x1, x2, x3, x4} = {1, 2, 3, 4},
Y = {y1, y2, y3} = {a, b, c}, Z = {z1, z2, z3, z4, z5} = {ą, �, ł, �, } oraz relacj� R �" X � Y
e
( x jest w relacji z y ), S �" Y � Z ( y jest w relacji z z ) zdefiniowane odpowiednio przez
macierze:
�ł �ł
�ł �ł
0.4 0.6 0.8
0.6 0.2 0.3 0.4 0.5
�ł �ł
0.1 0.8 0.9
�ł �ł �ł łł
�R(x, y) = �S(y, z) = 0.2 0.3 0.5 0.3 0.2
�ł łł
0.7 0.7 0.7
0.1 0.2 0.9 0.6 0.3
0.8 0.4 0.1
Obliczymy �Rć%S(2, ą). Korzytajac z powyższej definicji i przyjmujac za T -norm� operator
� � e
min otrzymujemy:
max
�Rć%S(2, ą) = min[�R(2, y), �S(y, ą)] = max[0.1, 0.2, 0.1] = 0.2
y"Y
Definicja 19 (Zlożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej)
Zlożenie zbioru rozmytego A ą" X i relacji rozmytej R ą" X�Y oznaczamy Ać%R i definiujemy
jako zbiór rozmyty B ą" Y
B = A ć% R
o funkcji przynależności
sup
�B(y) = [�A(x)T �R(x, y)].
x"X "
11
Konkretna postać tego wzoru zależy od przyj� T -normy oraz od wlasciwości zbioru X.
etej
Na przyklad, jeżeli T (a, b) = min(a, b) oraz X jest zbiorem o skończonej liczbie elementów,
to otrzymujemy zlożenie:
max
�B(y) = min[�A(x), �R(x, y)]
x"X
Definicja 20 (Reguly rozmytej implikacji)
Niech A i B b� a zbiorami rozmytymi, A ą" X oraz B ą" Y .
ed�
Rozmyt� implikacj� A B nazywamy relacj� R okreslon� w X � Y i zdefiniowan� na
a a e a a,
przyklad, za pomoc� jednej z czterech nast� acych regul:
a epuj�
1. Regula typu minimum:
�AB(x, y) = �R(x, y) = min[�A(x), �B(y)]
2. Regula typu iloczyn:
�AB(x, y) = �R(x, y) = �A(x)�B(y)
3. Regula Sharpa:
1 jeżeli �A(x) d" �B(y)
�AB(x, y) = �R(x, y) =
0 jeżeli �A(x) > �B(y)
4. Regula Lukasiewicza:
�AB(x, y) = �R(x, y) = min[1, 1 - �A(x) + �B(y)]
Wniosek reguly rozmytej odnosi si� do pewnego zbioru rozmytego B , który jest określony
e
przez zlożenie zbioru rozmytego A i rozmytej implikacji
A B, tzn.:
B = A ć% (A B)
W logice klasycznej jako metod� wnioskowania cz� stosuje si� tzw. regul� odrywania
e esto e e
[5]:
przeslanka 1 (fakt) A
przeslanka 2 (regula) A B
wniosek B
W logice rozmytej zarówno przeslanki, jak i wniosek s� zbiorami rozmytymi. Wnioskowanie
a
przebiega wtedy w nast� acy sposób [5]:
epuj�
przeslanka 1 (fakt) A
przeslanka 2 (regula) A B
wniosek B
12
Przyklad 9 [5]
Przelanka: Pr� samochodu jest duża
edkość
Implikacja: Jeżeli pr� samochodu jest bardzo duża, to poziom halasu jest wysoki.
edkośś
Wniosek: Poziom halasu jest średnio wysoki
W powyższym wnioskowaniu możemy wyróżnić dwie zmienne lingwistyczne, odpowiadaj� im
e
przestrzenie rozważań oraz zbiory rozmyte:
zmienna przestrzeń zbiory
lingwistyczne rozważań rozmyte
x-pr� samochodu T1={mala, średnia, duża, -bardzo duża } A-bardzo duża pr� samochodu
edkość edkość
A -duża pr� samochodu
edkość
y-poziom halasu T2-{ maly, średni, średniowysoki, wysoki} B-wysoki poziom halasu
B -średniowysko poziom ha l asu
B - wniosek z przeslanki wyprowadzimy znajduj� �B (y). Niech:
ac
max
�B(y) = min[�A (x), �AB(x, y)].
x"X
oraz niech:
�AB(x, y) = min[�A(x), �B(y).
Wtedy:
max
�B (y) = min[�A (x), min(�A(x), �B(y))]
x"X
max
= min[x"X min(�A (x), �A(x)), �B(y)].
Ilustruje to poniższy rysunek:
Wykres 10. Rozmyta implikacja. [2]
13
4 Systemy rozmyte
Typowy proces wnioskowania rozmytego zachodzi w czterech etapach:
1. rozmywanie (fuzzification)
2. zastosowanie operacji rozmytych
3. zastosowaniem implikacji rozmytych
4. precyzowanie (deffuzification)- na przyklad metoda wyznaczania środka ci�żkości
e
(ang. Centre of Gravity, COG)
Rysunek 1. Schemat systemu rozmytego. [1]
W pierwszym etapie dane wejściowe musz� zostać poddane ,,fazyfikacji , aby potem można
a
bylo zastosować operacje rozmyte i reguly wnioskowania rozmytego. Otrzymane w ten
sposób wyniki ulegaj� ,,defazyfikacji i uzyskujemy konkretn� odpowiedz systemu na dane
a a
wejściowe.
Systemy (sterowniki) rozmyte s� automatami korzystajacymi z praw logiki rozmytej w celu
a �
podj� decyzji w warunkach niepewnych. Automat taki posiada pewn� baz� wiedzy oraz
ecia a e
regul wnioskowania i po obserwacji otoczenia i procesie wnioskowania podejmuje decyzj�
e.
Decyzja może dotyczyć różnych rzeczy np. sily strumienia wody w przysznicu czy temeper-
atury w lodówce. Baza wiedzy i reguly wnioskowania pochodz� od eksperta tworz�
a acego
system. Zatem efektywność systemu glównie zależy od wiedzy eksperta w danej dziedzinie i
jego umiej� zamodelowania jej za pomoc� logiki rozmytej. S� dwa rodzaje systemów
etności a a
rozmytych, sterowniki typu Mamdani oraz sterowniki Takagi-Sugeno.
14
4.1 Sterownik Mamdaniego
4.1.1 Wnioskowanie
Sterownik dziala na zasadzie rozmytej reguly modus ponens. Ilustruje to poniższa tabelka
[5].
Przeslanka X = (x1, x2, . . . , xn)T jest A
A = A1 � A2 � . . . � An
N
Implikacja R(k), R(k) : Ak Bk
k=1
Ak = Ak � Ak � . . . � Ak
1 2 n
Wniosek y jest B
Na podstawie definicji operacji rozmytych mamy
N
B = A ć% R(k)
k=1
T
�B (y) = sup [�A (x) " max �R (x, y)]
(k)
1d"kd"N
x"X
Poniżej przedstawimy prosty przyklad abstrakcyjnego sterownika o dwóch wejściach i jednym
wyjściu.
Przyklad 10 ([5])
Baza regul :
R(1) : IF (x1 jest A1 AND x2 jest A1) THEN (y jest B1)
1 2
R(2) : IF (x1 jest A2 AND x2 jest A2) THEN (y jest B2)
1 2
Niech na wejściu b� wektor
edzie
x = (x1, x2)
Przyjmuje si� że poszczególne operacje rozmyte oraz funkcje przynależności b� a zdefin-
e, ed�
iowane nast� �
epujaco,
�A (x) = �(x1 - x1)
1
�A (x) = �(x2 - x2)
2
�B (y) = sup [min (�A �A 2(x1, x2), �R (x1, x2, y))].
(k)
k
1
x1,x2
Za T norm� przyj� min oraz
e eto
�A �A 2(x1, x2) = min (�A (x1), �A (x2))
1 1 2
wtedy
�B (y) = �R (x1, x2, y).
(k)
k
15
Za implikacj� przyjmuje si�
e e
�R (x1, x2, y) = �Ak (x1, x2, y)
(k)
�AkBk
1 2
�Ak (x1, x2, y) = min [�Ak (x1, x2), �Bk(y)]
�AkBk �Ak
1 2 1 2
�Ak (x1, x2) = min [�Ak(x1), �Ak(x2)].
�Ak
1 2 1 2
Ostateczna forma funkcji przynależności wniosku jest
�B (y) = max min (�Ak(x1), �Ak(x2), �Bk(y)).
1 2
k=1,2
Za funkcje przynależności przyj� funkcje trójk� Poniższe wykresy ilustruj� powyższe
eto atne. a
wzory.
Wykres 11. Proces wnioskowania
Przyj� że �A (x) i �A (x) s� typu singleton można rozumieć np., że pomiar wejścia
ecie, a
1 2
byl bezbl� Przyj� innej funkcji przynależności może być zwiazane np. z bl�
edny. ecie � edem
pomiaru. Zmienia si� wtedy wzory na �B (y). Przyjmujac definicje iloczynu kartezjańskiego
� e �
k
i implikacji jak powyżej:
np.
�B (y) = sup [min (�A (x1), �A (x2)), �R (x1, x2, y)] =
(k)
k
1 2
x1,x2
= min [sup (min (�A (x1), �Ak(x1))), sup (�A (x2), �Ak(x2)), �Bk(y)].
1 2
1
x1 x2 2
Ilustruj� to poniższe wykresy.
a
16
Wykres 12. Proces wnioskowania
4.1.2 Blok wyostrzania
Najcz�ściej system musi zwrócić na swoim wyjściu pojedyncz� liczb� Musi być ona wyznac-
e a e.
zona na podstawie zbioru rozmytego, który jest wnioskiem. Do tego sluży blok wyostrzania.
Jest wiele metod na wyliczenie tej wartości. Wybór, któr� z nich użyć pozostaje w gestii
a
eksperta. Poniżej przedstawiono cztery najpopularniejsze. y oznacza wyliczone wyjście.
1. Center average defuzzification
N
�B (yk)yk
k
k=1
y =
N
�B (yk)
k
k=1
gdzie yk jest punktem w którym funkcja �Bk(y) osiaga maximum.
�
Wykres 13. Center average defuzzification
2. Center of sums defuzzification
Metoda środka ci�żkości sum.
e
N
y �B (y)dy
k
k=1
Y
y =
N
�B (y)dy
k
k=1
Y
17
3. Center of gravity
Metoda środka ci�żkości
e
y�B (y)dy
Y
y =
�B (y)dy
Y
Wartość y jest taka, że punkt (y, x) jest środkiem ci�żkości figury pod wykresem funkcji
e
�B (y).
Wykres 14. Center of gravity
4. Metoda maximum
y = sup �B (y)
y"Y
Metoda ta nie bierze pod uwag� w ogóle ksztaltu funkcji przynależności wniosku.
e
Wykres 15. Metoda maximum
18
4.2 Sterownik Takagi-Sugeno
Sterownik tego typu posiada baz� regul, jednakże różni si� ona od tej w sterowniki Mam-
e e
dani. Rozmyta jest tylko cz�ść IF reguly, cz�ść THEN jest pewn� funkcj� Postać reguly
e e a a.
jest nast� aca,
epuj�
R(k) : IF (x1 jest Ak AND . . . AND xn jest Ak) THEN yk = f(k)(x1, . . . , xn), gdzie f(k) jest
1 n
jak�ś funkcj� zmiennych x1 . . . xn.
a a
Dla danego wektora wejściowego x = (x1, . . . , xn) wyjście k tej reguly jest yk = f(k)(x1, . . . , xn).
Wyjście systemu y wynosi,
N
wkyk
k=1
y = ,
N
wk
k=1
gdzie
ńł
min (�Ak(x1), . . . , �Ak (xn))
�ł
n
1
wk = lub
ół
�Ak(x1) � . . . � �Ak (xn)
n
1
Przyklad 11 ([5])
Baza regul :
R(1) IF (x1 IS A1 AND x2 IS A2) THEN y1 = 2 + 7x1 - 3x2
R(2) IF (x1 IS A3 AND x2 IS A4) THEN y2 = -2x1 + 5x2
Wykres 16. Funkcje przynależności.
Wejście x = (x1, x2) = (2, 3).
�A (2) = 0.3 �A (2) = 0.75 �A (3) = 0.7 �A (3) = 0.2
1 3 2 4
w1 = min (�A (x1), �A (x2)) = min (0.3, 0.75) = 0.3
1 2
w2 = min (�A (x1), �A (x2)) = min (0.75, 0.2) = 0.2
3 4
y1 = 2 + 7x1 - 3x2 = 7
19
y2 = -2x1 + 5x2 = 11
Wyjście systemu b�
edzie,
w1y1 + w2y2
y = = 8.6
w1 + w2
5 Tworzenie bazy regul [5]
Najcz�ściej twórca systemu rozmytego posiada pewn� wiedz� eksperck� i na jej podstawie
e a e a
powstaj� reguly. Jednakże może si� zdażyć sytuacja, w której posiadamy tylko dane nu-
a e
meryczne, tzn. zbiór parametrów i odpowiedz, jak� system powinien na nie udzielić. Na-
a
jcz�ściej stosuje si� w takich sytuacjach systemy neuronowo-rozmyte np. ANFIS (Artificial
e e
Network Fuzzy Interferace System), które posiadaja wiele zalet, jednakże ich mankamentem
�
jest dlugotrwaly proces iteracyjnego uczenia. Istnieje prostsza metoda, cz� okazuj� si�
esto aca e
efektywna, która zostanie omówiona poniżej.
Niech wejściem systemu b� wektor [x1, . . . , xn]. Każda skladowa wektora b� zmienn�
edzie edzie a
lingwistyczn� systemu. Niech danymi numerycznymi b� zbiór [x1(i), . . . , xn(i), d(i)] i =
a edzie
1, 2, . . ., gdzie d(i) jest odpowiedzia systemu na i te wejście. Zalóżmy, że znamy dolne i
�
górne ograniczenie każdej skladowej,
x- = min (xj) x+ = min (xj),
j j
czyli
"1d"jd"nxj " [x-, x+].
j j
Każdy przedzial [x-, x+] dzielimy na 2Nj + 1 cz�ści i powstaje dla każdej zmiennej 2Nj + 1
e
j j
wartości lingwistycznych, MN , . . . , M1, S, D1, . . . , DN . Dla każdego zbioru rozmytego defini-
j j
ujemy funkcj� przynależności. Może być np. trójk�
e atna.
Przyklad 12
Nj = 3
Wykres 17. Przykladowe funkcje przynależności.
20
Nast� dla każdego wektora danych wejściowych tworzymy regul� Rozpatrzmy i ty wek-
epnie e.
tor [x1(i), . . . , xn(i), d(i)]. Dla danej skladowej xk(i) przyjmuje si� że jest on w tym zbiorze,
e,
w którym jest max po wszystkich funkcjach przynależności. Na powyższym wykresie b�
edzie
xk(1) IS S. W efekcie powstaje regula,
IF (x1 IS A1 AND . . . AND xn IS An) THEN y IS Bi.
i i
Każdej regule przypisuje si� stopień prawdziwości,
e
n
SP (Ri) = �A1(x1(i)) � . . . � �A (xn(i))�B (d(i))
i
i
i
Baza regul b� skladać si� z regul wygenerowanych przez każdy wektor danych. Jeżeli si�
edzie e e
okaże, że dwie reguly s� sprzecze z sob� tzn. maj� te same poprzedniki implikacji ale różne
a a, a
nast� to wybierana jest ta regula, która ma wyższy stopień prawdziwości.
epniki
5.1 Wyostrzanie
Niech na wejściu systemu pojawi si� x = (x1, . . . , xn). Dla każdej reguly określamy jej stopień
e
aktywności,
n
1
�(i) = �A (x1) � . . . � �A (xn).
i
i
Wyjście sytemu b�
edzie,
M
�(i)y(i)
i=1
y = ,
M
�(i)
i=1
gdzie y(i) takie, że
�B (y(i)) = max �B (y).
i i
y
6 Zastosowania
6.1 Samochodowy system ABS [3]
System ABS (ang. Anti-lock Brake System) instaluje si� w samochodach, aby zapewnić
e
maksymaln� kontrol� nad pojazdem. W sytuacji niebezbiecznej ważnym czynnikiem jest
a e
czas - chodzi o to, aby umożliwić jak najszybsze wyhamowanie pojazdu w razie potrzeby.
Jednak problem ten okazuje si� być zlożony. Ma na to wplyw wiele czynników, np. pr�
e edkość
samochodu, sila nacisku na pedal gazu/hamulec, rodzaj nawierzchni, warunki atmosferyczne.
Wszystkie te elementy nieustannie si� zmieniaja podczas jazdy i dlatego baza regul potrzeb-
e �
nych do sterowania takim system musialaby być bardzo duża, gdybyśmy chcieli uwzgl�
ednić
wszystkie możliwe ,,kombinacje . W konsekwencji również ewaluacja tych regul zaj�laby zbyt
e
wiele czasu, co mogloby mieć nawet tragiczne konsekwencje. St� pomysl, aby system ABS
ad
oparty byl na wnioskowaniu rozmytym, gdzie wszystkie zmienne i przyjmowane przez nie
wartości opisane bylyby za pomoc� odpowiednich funkcji przynależności. Jako pierwsze sys-
a
temy kontrolowania rozmytego wprowadzily w swoich pojazdach koncerny Mitsubishi (1993
21
Mitsubishi Gallant) i General Motors (Saturn). Modul ,,rozmytego ABS sklada si� m. in.
e
z czujników pr� zainstalowanych na każdym kole, tzw. jednostek kontroluj� (elec-
edkości acych
tronic control units-ECUs) oraz modulatorów hamowania. A oto przyklad reguly użytej w
implementacji systemu:
If the rear wheels are turning slowly and a short time ago the vehicle speed was high, then
reduce rear brake pressure .
Schemat takiego systemu przedstawiono poniżej:
Rysunek 2. Schemat systemu ABS opartego na wnioskowaniu rozmytym. [3]
22
6.2 Wplyw czynników geomorfologicznych na plon żyta [4]
Na podstawie plonu zimowego z 1997 roku z farmy w wschodnim Kolorado bada si� za po-
e
moc� sytemu rozmytego zależność plonu od różnych czynników. Zmiennymi lingwistycznymi
a
systemu byly:
1. nachylenie stoku
2. aspekt odchylenia w stopniach od pólnocy
3. krzywizna, druga pochodna k� odchylenia
atu
4. różne parametry dost� gleby.
epności
Zbiór wartości lingwistycznych każdej zmiennej byl mocy 5. Na podstawie danych nu-
merycznych zebranych z terenu skonstruowano system rozmyty za pomoc� ANFIS. Cel pracy
a
to porównanie, jak poszczególne czynniki oraz pary czynników wplywaj� na plon. Glówny
a
wynik to wskazanie, że pary czynników maja wplyw, kóry jest niezauważalny, gdy bierze si�
� e
pod uwag� tylko poszczególne czynniki.
e
7 Implementacje
Istnieje bardzo rozbudowane środowisko do tworzenia systemów rozmytych w MATLABie.
Edward Sazanov, z wydzialu Electrical and Computer Engineering z Clarkson Univeristy
na swojej stroniehttp://people.clarkson.edu/<"esazanov/neuralfuzzyoferuje klas�
e
JAVA do tworzenia prostych systemów rozmytych.
References
[1] M. Brown. An introduction to fuzzy and neurofuzzy systems, grudzień 1996.
[2] Wojciech J�
edruch. Sztuczna inteligencja. Gdańsk, listopad 2004. Materialy do wykladu.
[3] David Elting, Mohammed Fennich, Robert Kowalczyk, Bert Hellenthal. Fuzzy anti-lock
brake solution.http://www.intel.com/design/mcs96/designex/2351.html, INTEL.
[4] Dmitry Kurtener, Timothy Green, Elena Krueger-Shvetsova, Robert Erskine. Exploring
relationships between geomorphic factos and wheat yield using fuzzy infernce systems.
Colorado State University, marzec 2005. Hydrology Days.
[5] Danuta Rutkowska, Maciej Piliński, Leszek Rutkowski. Sieci neuronowe, algorytmy gene-
tyczne i systemy rozmyte. PWN, W-wa, 1999.
23

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
13 GEP fuzzy
fuzzy
fuzzy
Fuzzy 2
Fuzzy Logic III
Fuzzy
AI fuzzy controller pl
03 Fuzzy Cognitive Maps Virtual Worlds
Fuzzy Logic I SCILAB
Fuzzy Logic II

więcej podobnych podstron