Lista zadań nr 1.
Prawdopodobieństwo
1) Wyprowadzić wzór na prawdopodobieństwo sumy trzech dowolnych zdarzeń.
2) Wykazać, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to niezależne są także zdarzenia:
a) A i B
b) A i B .
3) Udowodnić, że jeśli zdarzenia A, B, C są niezależne to zdarzenia , B, C są także niezależne.
A
4) Niech A ą" B, A i C oraz B i C - pary zdarzeń niezależnych. Udowodnić, że wtedy B\A i C są zdarzeniami niezależnymi.
5) Niech A i B zdarzenia niezależne oraz P(A *"B)=1. Udowodnić, że wtedy P(A)=1 lub P(B)=1.
6) Doświadczenie polega na wykonaniu rzutu czworościanem foremnym ze ścianami: I: z cyfrą 1; II: z cyfrą 2; III: z cyfrą
3; IV: z cyframi 1,2,3. Ai  zdarzenie, że czworościan upadnie na ścianę zawierającą cyfrę i (i=1,2,3). Pokazać, że
zdarzenia Ai są parami niezależne, ale nie są zespołowo niezależne.
7) Mając na uwadze frekwencyjną (częściową) definicję prawdopodobieństwa wskazać, które z poniższych stwierdzeń są
prawdziwe a które fałszywe.
(i) Jeśli A jest bardziej prawdopodobne niż A , to P(A) > 0,5.
(ii) Jeśli A zachodzi ilekroć zachodzi B, to P(A) d" P(B) .
(iii) Jeśli P(A) d" P(B) , to ilekroć zachodzi B, zachodzi również A.
(iv) Jeśli P(A) = 0,75, to A musi zachodzić zawsze trzy razy na cztery próby.
(v) Jeśli A i B są rozłączne, to suma ich prawdopodobieństw nie przekroczy 1.
(vi) Jeśli A i B nie są rozłączne, to suma ich prawdopodobieństw musi przekroczyć 1.
(vii) Jeśli P(A )" B), P(A )" C) i P(B )" C) są wszystkie dodatnie, to P(A )" B )" C) jest także dodatnie.
8) Zdarzenia A i B są rozłączne i zawsze jedno z nich musi zajść. P(A) = p oraz P(B) = p2. Znalez
ć wartość p.
9) Wykazać, że jeśli zdarzenia A i B1 są niezależne oraz zdarzenia A i B2 są niezależne, i B1 )" B2 = " (tzn. są rozłączne), to
zdarzenia A i (B1 *" B2) są zdarzeniami niezależnymi.
10) Niech AB = " . Dowieść, że P(A) d" P(B) .
a + b -1
11) Udowodnić, że jeśli P(A) = a i P(B) = b , to P(A | B) e" .
b
12) Jednoczesne zajście zdarzeń A1 oraz A2 pociąga za sobą zajście zdarzenia A. Udowodnić, że: P(A) e" P(A1) + P(A2) -1 ,
przy czym równość zachodzi w szczególnym przypadku, gdy A = A1A2 .
13) Partia zawiera 100 wyrobów, z których 5 jest wybrakowanych. Zostanie ona przyjęta, jeśli po sprawdzeniu 50 losowo
wybranych wyrobów co najwyżej jeden okaże się wybrakowany. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia partii?
14) Partia zawiera N wyrobów, z których n podlega sprawdzeniu, zostaje ona przyjęta, gdy wśród tych n wyrobów kontrola
wykryje mniej niż m wybrakowanych. Obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia partii, jeśli zawiera ona M wyrobów
wybrakowanych.
15) Pierwsza z dwóch urn zawiera 5 białych, 11 czarnych i 8 zielonych kul, a druga zawiera 10 białych, 8 czarnych i 6
zielonych kul. Z obu urn wylosowano po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule będą takiego samego
koloru?
16) Dwie osoby A i B grają ze sobą na następujących warunkach: przy pierwszym ruchu, który zawsze wykonuje A, może on
wygrać z prawdopodobieństwem 0,3; jeśli A nie wygra przy pierwszym ruchu, to następny ruch wykonuje B i może on
wtedy wygrać z prawdopodobieństwem 0,5; jeśli B nie wygra, to kolejny ruch wykonuje A , który może wtedy wygrać z
prawdopodobieństwem 0,4, po czym gra kończy się. Obliczyć prawdopodobieństwo zwycięstwa A i prawdopodobieństwo
zwycięstwa B.
17) Prawdopodobieństwo, że dany sportowiec poprawi swój poprzedni wynik po jednej próbie wynosi p. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że poprawi on swój wynik, jeśli ma prawo wykonać dwie próby.
18) Dwie osoby kolejno rzucają monetą. Wygrywa ten, który pierwszy wyrzuci orła. Obliczyć prawdopodobieństwa wygranej
dla każdego z graczy.
19) Adam i Ewa uczestniczyli w pewnym kursie ze statystyki. Adam był obecny na 40 % zajęć, podczas gdy Ewa opuściła
20 % zajęć. Oboje byli równocześnie obecni na 32 % zajęć. Obliczyć
a) prawdopodobieństwo tego, że tylko jedno z nich było obecne w klasie;
b) prawdopodobieństwo tego, że obydwoje byli nieobecni.
20) Telefon jest zepsuty w ten sposób, że
(1) zwraca monetę z prawdopodobieństwem 0,6;
(2) łączy z wybranym numerem w 20 % przypadków;
(3) zabiera monetę i nie łączy z prawdopodobieństwem 0,3
Znalez
ć prawdopodobieństwo tego, że połączysz się z wybranym numerem za darmo.
21) Prawdopodobieństwo tego, że student A zda egzamin wynosi 0,5. Prawdopodobieństwo tego samego zdarzenia w
przypadku studenta B wynosi 0,3. Prawdopodobieństwo tego, że obaj zdadzą wynosi 0,12. Znalez
ć:
(i) prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden z tych studentów nie zda;
(ii) prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z nich nie zda;
(iii) prawdopodobieństwo, że obaj nie zdadzą.
Prawdopodobieństwo geometryczne
22) Na płaszczyz
nie poprowadzone są proste równoległe, odległości między nimi wynoszą 8 cm. Obliczyć prawdo-
podobieństwo, że losowo rzucony na tę płaszczyznę okrąg o promieniu 2,5 cm nie przetnie ani jednej prostej.
23) Z wnętrza koła S o promieniu r i środku w punkcie O wybrano losowo punkt A. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,
że koło o środku w A i promieniu długości OA znajduje się wewnątrz koła S.
24) Na odcinku o długości jednostkowej wybrano dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość pomiędzy nimi
jest nie mniejsza niż x, 0 < x < 1 ?
25) Losowo wybrano dwie dodatnie liczby x i y takie, że każda z nich jest nie większa od jedynki. Znalez
ć prawdopo-
dobieństwo tego, że x+y<1, a wartość bezwzględna różnicy tych liczb jest mniejsza od 0,5.
26) Dwaj studenci umówili się na spotkanie w określonym miejscu między godziną 12-tą a 13-tą. Student, który przyjdzie
pierwszy będzie czekać na drugiego tylko ź godziny a potem odejdzie. Znalez
ć prawdopodobieństwo tego, że spotkanie
dojdzie do skutku, jeśli przyjście każdego studenta jest jednakowo możliwe w każdej chwili i niezależne od przyjścia
drugiego.
27) Podłoga w łazience jest pokryta kwadratowymi kafelkami o boku długości a. Rzucamy monetę o średnicy b, gdzie bpodłogę w łazience. Znajdz
:
a) prawdopodobieństwo tego, że moneta upadnie na dokładnie jeden kafelek;
b) prawdopodobieństwo tego, że moneta częściowo pokryje cztery różne kafelki.
28) Na koło o promieniu R losowo  rzucono punkt. Znalez
ć prawdopodobieństwo tego, że punkt trafi do wnętrza:
a) kwadratu wpisanego w to koło
b) trójkąta równobocznego wpisanego w to koło
Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu w daną część koła jest proporcjonalne do pola tej części i nie
zależny od jej położenia w kole.
29) Punkt (a,b) jest losowany z kwadratu -1 d" a, b d" 1 . Znalez
ć prawdopodobieństwo tego, że równanie ax2 + bx + 1 = 0 ma
dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Odpowiedz na to samo pytanie, gdy punkt (a,b) jest losowany z prostokąta: A1 d" a d" A2 , B1 d" b d" B2 . Przedyskutuj
wszystkie możliwe wybory A1, A2, B1, B2.
Prawdopodobieństwo warunkowe; wzór Bayesa.
30) Prawdopodobieństwo tego, że dany strzelec trafi w I tarczę wynosi 2/3. Jeśli trafi w tarczę przy pierwszym strzale , to
uzyskuje prawo do oddania drugiego strzału, tym razem do II tarczy. Prawdopodobieństwo, że trafi on w obie tarcze przy
dwóch strzałach wynosi 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w II tarczę, jeśli strzelec otrzymał prawo do oddania
drugiego strzału.
31) Trzech strzelców oddało po jednym strzale, przy czym dwa pociski trafiły w cel. Znalez
ć prawdopodobieństwo tego, że
trzeci strzelec trafił, jeśli prawdopodobieństwa trafienia dla poszczególnych strzelców wynoszą odpowiednio: p =0,6
1
p =0,5 p =0,4.
2 3
32) Armaty nr 1 i nr 2 strzelają do tego samego celu. Ustalono, że armata nr 1 przeciętnie wyrzuca 9 pocisków w tym samym
czasie, w którym armata nr 2 wyrzuca 10 pocisków. Celność armat nie jest jednakowa, mianowicie przeciętnie na każde
10 pocisków wyrzuconych przez armatę 1 do celu trafia 8, a przez armatę 2 tylko 7. Podczas obstrzału cel został trafiony,
ale nie wiadomo, która armata wyrzuciła ten pocisk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzuciła go armata nr 1, a jakie,
że armata nr 2?
33) Na przenośnik taśmowy trafiają jednakowe wyroby wytwarzane przez 3 automaty. Stosunek ilościowy produkcji
automatów kształtuje się jak 2:2:1. Poza tym:
I automat produkuje 85% wyrobów I gatunku,
II automat produkuje 80% wyrobów I gatunku,
II automat produkuje 90% wyrobów I gatunku.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wzięty z przenośnika wyrób:
a) jest wyprodukowany przez II automat,
b) jest wyrobem I gatunku wyprodukowanym przez II automat,
c) jest wyrobem I gatunku,
d) który okazał się I gatunku, jest wyprodukowany przez II automat.
34) Jest 5 urn, z których każda zawiera po 3 białe i 7 czarnych kul, oraz 3 urny zawierające po 7 białych i 3 czarne kule.
Wyciągnięto z losowo wybranej urny kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej grupy urn.
35) Na linii łączności nadaje się dwa rodzaje sygnałów w postaci kodowych kombinacji 111 albo 000 z prawdopo-
dobieństwami odpowiednio równymi 0,65 i 0,35. Sygnały podlegają losowym zakłóceniom, w rezultacie czego sygnał 1
może być odebrany jako 0 z prawdopodobieństwem 0,2 i z takim samym prawdopodobieństwem sygnał 0 może być
odebrany jako 1. Zakładamy, że symbole 1 i 0 ulegają zakłóceniom niezależnie jeden od drugiego.
a) obliczyć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału: 111; 000; 010;
b) na wyjściu odebrano sygnał 111; jakie jest prawdopodobieństwo, że został on nadany również jako 111;
c) na wyjściu odebrano sygnał 010; jakie jest prawdopodobieństwo, że został on nadany jako 000 ?
36) Z urny zawierającej n kul o numerach od 1 do n, losujemy kolejno dwie kule, przy czym po wylosowaniu pierwszej
zwracamy ją do urny o ile jej numer jest różny od 1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy drugim losowaniu
wyciągniemy kulę z numerem 2.
37) Jedna partia zawiera 12, a druga 10 wyrobów, przy czym w każdej z nich znajduje się po jednym wyrobie
wybrakowanym. Losowo wybrany wyrób z pierwszej partii zostaje przerzucony do drugiej, po czym z drugiej partii losuje
się jeden wyrób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie on wybrakowany?
38) Prawdopodobieństwo trafienia przy jednym strzale dla każdego z trzech strzelców są równe odpowiednio: 4/5, 3/4, 2/3.
Wszyscy trzej strzelcy oddali równocześnie po jednym strzale, po czym okazało się, że na tarczy znajdują się dwa
trafienia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci strzelec nie trafił?
39) Telegraficzne przekazywanie informacji odbywa się metodą nadawania sygnałów kropka  kreska. Statystyczne
właściwości zakłóceń są takie, że błędy następują przeciętnie w 2/5 przypadków przy nadawaniu sygnału kropka i w 1/3
przypadków przy nadawaniu sygnału kreska. Wiadomo, ze ogólny stosunek liczby nadawanych sygnałów kropka do
sygnałów kreska jest 5:3. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przy przyjmowaniu sygnału kropka w rzeczywistości ten
sygnał kropka był nadany.
40) Koparka może pracować w warunkach normalnych albo trudnych odpowiednio z prawdopodobieństwami 0,8 i 0,2.
Prawdopodobieństwo awarii koparki w czasie t wynosi 0,05 przy pracy w warunkach normalnych i 0,25 w warunkach
trudnych. Ile wynosi prawdopodobieństwo awarii koparki pracującej przez czas t? W ciągu czasu t koparka uległa awarii;
obliczyć, prawdopodobieństwo tego, że pracowała wtedy w warunkach normalnych.