Metody Numeryczne w Mechanice - Ćwiczenia laboratoryjne (M.Pyrz)
Rozwiązywanie równania nieliniowego
1. Programowanie
Napisać w Scilabie skrypt umożliwiający wyznaczanie pierwiastków nieliniowego równania
f(x)=0 za pomocÄ… metody
a) bisekcji,
b) stycznych (Newtona-Raphsona).
- <
x x µ1
Zastosujemy kryterium zatrzymania n+1 n (µ1 jest podawane przez użytkownika).
Równanie f(x) może być zdefiniowane jako funkcja lub jako oddzielny skrypt *.sci.
2. Test procedury
Wyznaczyć pierwiastek równania f (x) = x4 - 2x3 -11x2 +12x za pomocą
a) metody bisekcji (w przedziale x"[3,2 ; 8,2] ),
b) metody stycznych (zaczynając iteracje od wartości x0=8,2 ).
Przeprowadzić obliczenia pierwiastka z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… µ1 =10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-5 i 10-6.
Dla każdych obliczeń podać uzyskaną wartość pierwiastka x, wartość funkcji f(x), błąd
bezwzglÄ™dny µ=x-x* (dokÅ‚adna wartość x* wynosi 4,0) i liczbÄ™ wykonanych iteracji.
Sformułować wnioski. Potwierdzić wynik stosując funkcję fsolve.
3. Przykład obliczeniowy
Kula o promieniu R i gÄ™stoÅ›ci Ák zostaÅ‚a umieszczona w
h
pojemniku wypeÅ‚nionym cieczÄ… o gÄ™stoÅ›ci Ác=1000 kg/m3
(woda). Kula utonie lub będzie pływać, zanurzona na głębokość
h (patrz rysunek). Określić, w zależności od podanej gęstości
materiaÅ‚u kuli Ák, jak zachowa siÄ™ kula po wÅ‚ożeniu jej do
cieczy. Obliczyć (jeżeli zachodzi taka potrzeba) głębokość h zanurzenia kuli.
a) Rozważając równowagę sił występujących w zadaniu, podać zależność pozwalającą na
wyznaczenie gÅ‚Ä™bokoÅ›ci h w funkcji Ák, Ác oraz R.
Podpowiedz
: Objętość kuli o promieniu r jest równa Vs = 4Ąr3 / 3 . Objętość fragmentu
kuli o promieniu r, uciętej poziomo na wysokości h wynosi V = Ąh2 (3r - h) / 3
b) Określić czy kula o promieniu R = 0,125 m utonie czy będzie pływać (a jeżeli tak, to na
jaką głębokość h zanurzy się w cieczy)?
Rozważyć następujące rodzaje materiału kuli:
plexiglas (Ák=1200 kg/m3), dÄ…b Å›wieżo Å›ciÄ™ty (Ák=1000 kg/m3),
grusza (Ák=800 kg/m3), sosna (Ák=400 kg/m3), korek (Ák=220 kg/m3).
Zadania dodatkowe (nieobowiÄ…zkowe) :
- rozwiązanie równania f(x)=0 za pomocą metody siecznych ;
- wykonanie schematycznego rysunku kuli zanurzonej w cieczy na obliczoną głębokość h.