Elementy liniowe układów automatyki
ELEMENT OSCYLACYJNY
Oscylacje mogą powstawać w takich elementach lub układach, w których
zachodzi przemiana jednego rodzaju energii w drugi. W elemencie idealnym bez strat
drgania byłyby nie tłumione.
Jeżeli występuje rozproszenie energii wydzielającej się w postaci strat, to
oscylacje tłumione. Gdy w elemencie lub układzie występuje pobudzenie, drgania
majÄ… rosnÄ…cÄ… amplitudÄ™.
W elementach liniowych ciągłych, opisanych równaniami różniczkowymi
liniowymi o stałych współczynnikach warunkiem powstania oscylacji jest istnienie
wśród pierwiastków równania charakterystycznego co najmniej jednej pary
pierwiastków zespolonych. Najprostszy element liniowy drugiego rzędu jest opisany
równaniem różniczkowym:
d2y dy
T0 2 + 2śT0 + y = kx
dt dt
gdzie:
T0 - stała czasowa, ś - współczynnik tłumienia, k - współczynnik wzmocnienia
Warunkiem powstania oscylacji w tym elemencie jest:
4ś2T0 2 - 4T0 2 < 0; czyli -1 < ś < 1
Dla drgań tłumionych warunkiem oscylacji jest:
0 < Å› < 1
Po wykonaniu transformacji Laplace'a obu stron równania znajdujemy ogólne
wyrażenie na odpowiedz:
kv(s) T0 (T0s + 2Å›)y(0) T0 2y(0)
y(s) = + +
T0 2s2 + 2śT0s +1 T0 2s2 + 2śT0s +1 T0 2s2 + 2śT0s +1
Transformacja operatorowa ma postać:
k
G(s) = ;
T0 2s2 + 2śT0s +1
Można ją przedstawić w postaci:
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
k
G(s) =
T0 2 (s - s1)(s - s2 )
s1, s2 - pierwiastki równania charakterystycznego
1 1
T0 2s2 + 2śT0s +1 = 0 ; s1 = - (ś + ś2 -1); s2 = - (ś - ś2 -1)
T0 T0
Gdy spełniony jest warunek 0 < ś < 1, pierwiastki te są zespolone i można je
zapisać w postaci:
s1 = -´ - jÉ0; s2 = -´ + jÉ0
gdzie
ś 1 - ś2
´ = ; É0 =
T0 T0
´ ð - część rzeczywista pierwiastka równania charakterystycznego elementu
oscylacyjnego, É0 - pulsacja drgaÅ„ elementu oscylacyjnego
Transformata odpowiedzi jednostkowej
k
h(s) =
T0 2s(s - s1)(s - s2 )
i po wykonaniu przekształcenia odwrotnego znajdujemy
2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
s1es t - s2es t
h(t) = kïÅ‚1- 1(t)
T0s1s2 (s1 - s2 )śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a ponieważ dla równania kwadratowego T0 2s2 + 2śT0s +1 = 0 iloczyn pierwiastków
1
s1s2 = , więc
T0 2
2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
s1es t - s2es t
h(t) = kïÅ‚1-
s1 - s2 śł1(t)
ðÅ‚ ûÅ‚
Po podstawieniu s1 i s2 według wzorów i odpowiednich przekształceń
otrzymujemy:
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
´
ìÅ‚ ÷łśł
h(t) = kïÅ‚1- e-´tìÅ‚cosÉ0t + sin É0t 1(t) ;
É0 ÷Å‚ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
Å›
îÅ‚ - t ëÅ‚ öÅ‚
Å‚Å‚
T0
ìÅ‚cos 1- Å›2 Å› sin 1- Å›2 ÷łśł1(t)
ïÅ‚
h(t) = k 1- e t + t
ìÅ‚
T0
ïÅ‚
1- Å›2 T0 ÷łśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Wzór ten można podać w innej postaci podstawiając 0 < ś < 1,
1- ś2
cosÕ = Å› sin Õ = 1- Å›2 tgÅ› =
Å›
Znajdujemy
Å›
îÅ‚ - t Å‚Å‚
T0
ëÅ‚
e 1- Å›2 1- Å›2 öłśł
÷Å‚
h(t) = kïÅ‚1- sinìÅ‚ t + arctg 1(t)
ïÅ‚
÷łśł
Å›
1- Å›2 ìÅ‚ T0
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Przebieg czasowy odpowiedzi jednostkowej jest oscylacyjny o pulsacji É0, co
odpowiada częstotliwości
É0 1- Å›2
f0 = =
2Ä„ 2Ä„T0
Ponieważ współczynnik tłumienia 0 < ś < 1 wobec T0>0 więc wykładnik funkcji
wykładniczej jest ujemny i amplituda maleje (drgania tłumione).
Wykres odpowiedzi jednostkowej dla elementu oscylacyjnego.
Odpowiedz jednostkowa elementu oscylacyjnego przy współczynniku
tłumienia
0 < Å› <1
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
Oznaczenie elementu oscylacyjnego.
W przypadku, gdy współczynnik tłumienia jest ujemny i zgodnie dla
przebiegów oscylacyjnych wynosi -1 < ś < 0 , wtedy części rzeczywiste
pierwiastków s1 i s2 są dodatnie.
Odpowiedz jednostkowa elementu oscylacyjnego drugiego rzędu:
a) przy współczynniku tłumienia -1<ś<0; b)przy współczynniku tłumienia ś=0
Gdy współczynnik tłumienia jest równy zero (ś=0), to odpowiada przypadkowi
elementu idealnego, w którym nie występują straty energii, to wtedy części
rzeczywiste pierwiastków s1 i s2 są równe zeru i odpowiedz jednostkowa ma
charakter oscylacji nietłumionych o stałej amplitudzie.
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
t Ä„
ìÅ‚ ÷łśł
h(t) = kïÅ‚1- sinìÅ‚ +
÷łśł1(t)
T0 2
ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Przebieg h(t) dla tego przypadku pokazano na rysunku
Transformata odpowiedzi impulsowej elementu oscylacyjnego
k k
g(s) = lub g(s) =
T0 2s2 + 2śT0s +1 T0 2 (s - s1)(s - s2 )
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
Stąd po wykonaniu przekształcenia odwrotnego znajdujemy:
1 1
ëÅ‚
k es t - es t öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚1(t)
g(t) =
ìÅ‚
s1 Å‚Å‚
T0 2 - s2 ÷Å‚
íÅ‚
Po podstawieniu s1 i s2 otrzymujemy:
Å›
ëÅ‚ - t öÅ‚
T0
ìÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1- Å›2 ÷Å‚
ke-´t ke
ìÅ‚
g(t) = sin É0t÷Å‚1(t) g(t) = sin t 1(t)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
É0T0 2
ìÅ‚ T0 1- Å›2 T0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Gdy współczynnik tłumienia jest 0 < ś < 1 odpowiedz impulsowa ma charakter
oscylacji tłumionych o amplitudzie dążącej do zera. Gdy współczynnik tłumienia jest
-1 < Å› < 0 , odpowiedz impulsowa ma charakter oscylacji o rosnÄ…cej amplitudzie. Gdy
współczynnik tłumienia ś=0, odpowiedz impulsowa ma przebieg oscylacji o stałej
amplitudzie, zgodnie z zależnością:
ëÅ‚ öÅ‚
k t
ìÅ‚ ÷Å‚
g(t) = sin
ìÅ‚
T0 T0 ÷Å‚1(t)
íÅ‚ Å‚Å‚
Odpowiedz impulsowa elementu oscylacyjnego drugiego rzędu:
a) przy współczynniku tłumienia ; b)przy współczynniku tłumienia
0 < Å› <1
-1 < ś < 0; c) przy współczynniku tłumienia ś=0
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
Transmitancja widmowa elementu oscylacyjnego
k k
G( jÉ) = G(jÉ) =
T0 2 (jÉ)2 + j2Å›T0É +1 (1- É2T0 2)+ j2Å›T0É
zatem
k[(1- É2T0 2)- j2Å›ÉT0]
G(jÉ) =
2
(1- É2T0 2) + 4Å›2É2T0 2
czyli
k(1- É2T0 2) - 2kÅ›ÉT0
P(É) = ; Q(É) =
2
(1- É2T0 2)+ 4Å›2É2T0 2
(1- É2T0 2) + 4Å›2É2T0 2
Charakterystyki P(É)/k i Q(É)/k w funkcji Ö 1/ T0 elementu oscylacyjnego
drugiego rzędu dla współczynników tłumienia ś=0,2; 0,4;
Charakterystyka amplitudowo-fazowa zaczyna siÄ™ w punkcie P(0)=k, Q(0)=0
przy É=0 i koÅ„czy siÄ™ przy É = +" w punkcie P(+") = 0, Q(+") = 0 .
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
Charakterystyką tą jest krzywa, której przebieg - przy danych wartościach k i T0
- zależy od współczynnika tÅ‚umienia Å›. Przecina ona oÅ› urojonÄ… w punkcie P(Éq ) = 0,
k 1
Q(Éq ) = - odpowiadajÄ…cym pulsacji Éq = .
2Å› T0
Charakterystyki amplitudowo-fazowe elementu oscylacyjnego drugiego rzędu
dla różnych wartości współczynnika tłumienia
Moduł transmitancji widmowej jest równy stosunkowi modułów licznika i
mianownika tej transmitancji
k
A(É) =
2
(1- É2T02) + 4Å›2É2T02
KÄ…t fazowy
Q(É) - 2Å›ÉT0
Õ(É) = arctg = arctg
P(É)
1- É2T02
Przy danych stałych wartościach k i T0 przebieg zależności modułu od
częstotliwości zależy od współczynnika tłumienia ś.
Przy przyrównaniu do zera pierwszej pochodnej A(É) wzglÄ™dem É i
sprawdzeniu znaku drugiej pochodnej, moduÅ‚ A(É) osiÄ…ga maksimum przy pulsacji
rezonansowej Ér równej:
1- 2ś2
Ér =
T0
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
znajdujemy
k
max[A(É)]=
2 1- ś2
Ponieważ pulsacja rezonansowa nie może być wielkością zespoloną,
znajdujemy, że A(É) osiÄ…ga maksimum tylko przy:
1
1- ś2
Å› d"
Õ(Ée ) = arctg
2 Å›
Przykłady członów oscylacyjnych
Czwórnik RLC
R
L
I(t)
Uwe(t) C Uwy(t)
Czwórnik RLC:
Uwe(t) - sygnał wejściowy - napięcie; Uwy(t) - sygnał wyjściowy - napięcie
Dla nieobciążonego czwórnika RLC, po wyznaczeniu napięć na rezystancji R,
indukcyjności L i pojemności C (przy zerowych warunkach początkowych)
otrzymuje się równania:
t t
dI(t) 1 1
Uwe (t) = RI(t) + L +
+"I(Ä)dÄ Uwy (t) = C +"I(Ä)dÄ
dt C
0 0
Po wykonaniu transmitancji Laplace'a obu stron tych wyrażeń - przy zerowych
warunkach poczÄ…tkowych otrzymujemy:
I(s) J(s)
Uwe(s) = RI(s) + sLI(s) + Uwy(s) =
sC sC
skÄ…d
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
sCUwe (s)
I(s) =
LCs2 + RCs +1
Transmitancja
Uwy (s)
1
G(s) = =
Uwe(s) LCs2 + RCs +1
Wyprowadzamy oznaczenia
L
TL = TC = RC
R
wtedy
1
G(s) =
TLTCs2 + TCs +1
inaczej
1 TC R C
T0 = TLTC = LC Å› = =
2 TL 2 L
Rozważany czwórnik RLC jest elementem oscylacyjnym drugiego rzędu, jeżeli
jest spełniony warunek ś < 1 tzn,
L
R < 2 ; lub inaczej Tc < 4TL
C
W rzeczywistym czwórniku indukcyjność L, pojemność C i rezystancja R są
L
dodatnie. Przy spełnionym warunku R < 2 i Tc < 4TL jest 0 < ś <1 i wtedy przy
C
napięciu wejściowym stałym lub równym zeru (drgania swobodne) przebieg napięcia
wyjściowego jest oscylacyjny tłumiony.
Element oscylacyjny
Elementy liniowe układów automatyki
Manometr różnicowy dwuramienny
P1
P2
l
Manometr różnicowy dwuramienny
Jeżeli przyjmiemy, że na manometr działa różnica ciśnień p2-p1 oraz, że spadek
ciśnienia wskutek tarcia jest proporcjonalny do szybkości ruchu cieczy, to dla
manometru dwuramiennego otrzymuje się równanie:
d2y dy
p2 - p1 = lÁ + ARÁ + 2yÁg
dt2 dt
Dla przepływu laminarnego współczynnik R wynosi:
2²l·
R =
Ä„d4Á
gdzie: Á - współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej cieczy w manometrze; · -
ð
współczynnik korekcyjny
Po uporządkowaniu równanie można przedstawić w postaci:
d2y dy p2 - p1
T2 + 2śT + y =
dt2 dt 2Ág
gdzie: T - stała czasowa; ś - współczynnik tłumienia
1 1 RA 1
T = ; Å› =
Én 2g Á 2lg
Wprowadzając jako wielkość wejściową
p2 - p1
u =
2Ág
Element oscylacyjny
y
y
Elementy liniowe układów automatyki
TransmitancjÄ™ zapisujemy jako
y(s) 1
=
u(s) T2s2 + 2śTs +1
Charakterystyka skokowa układu dla ś > 1 ma charakter aperiodyczny.
Transmitancję można przedstawić w postaci
y(s) 1
G(s) = =
u(s) (T1s +1)(T2s +1)
gdzie:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1
T1 = -ìÅ‚ ÷Å‚ ; T2 = -ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
s1 s2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
s1, s2 - pierwiastki rzeczywiste równania T2s2 + 2śTs +1 = 0
Element oscylacyjny
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacjaPrezentacja MG 05 20122011 05 P05 2ei 05 08 s029ei 05 s05205 RU 486 pigulka aborcyjna473 05więcej podobnych podstron