podstawowy R

NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM PODSTAWOWY
9 KWIETNIA 2011
CZAS PRACY: 170 MINUT
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT.)
"
"
"2+1
Liczba - 2 jest liczbą
2-1
"
A) wymierną B) niewymierną C) mniejszą niż 2 D) naturalną
ROZWIZANIE
Usuwamy niewymierność z mianownika.
" " "
" "
2 + 1 ( 2 + 1)( 2 + 1)
" - 2 = " " - 2 =
2 - 1 ( 2 - 1)( 2 + 1)
"
" " " "
2 + 2 2 + 1
= - 2 = 3 + 2 2 - 2 = 3 + 2.
2 - 1
Oczywiście jest to liczba niewymierna.
Odpowiedz: B
ZADANIE 2 (1 PKT.)
Wskaż nierówność, która opisuje sumę przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej.
-2 4 x
A) |x + 1| 3 B) |x - 1| 3 C) |x - 1| 6 D) |x + 1| 3
Materiał pobrany z serwisu
1
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Skorzystamy z interpretacji geometrycznej zbioru rozwiązań nierówności:
|x - a| b.
Zbiór ten składa się z liczb, które są odległe (na osi liczbowej) od liczby a o co najmniej b.
-2+4
Środkiem przedziału o końcach -2 i 4 jest x = = 1 i punkt ten jest odległy od -2
2
(oraz od 4) o 3. Zatem zaznaczony zbiór to zbiór liczb, które są odległe od 1 o co najmniej 3.
-2 1 4 x
Zbiór ten jest więc rozwiązaniem nierówności
|x - 1| 3.
Odpowiedz: B
ZADANIE 3 (1 PKT.)
Liczba log4 32 - log4 2 jest równa
A) 4 B) 2 C) 3 D) 1
ROZWIZANIE
Liczymy (korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu)
32
log4 32 - log4 2 = log4 = log4 42 = 2.
2
Odpowiedz: B
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (1 PKT.)
Narty kosztowały 680 zł. O ile procent należałoby obniżyć cenę nart, aby kosztowały 595 zł?
A) 8,5% B) 12,5% C) 14,2% D) 25%
Materiał pobrany z serwisu
2
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Chcemy obniżyć cenę nart o
680 - 595 = 85
złotych, czyli
85
= 0, 125 = 12, 5%
680
Odpowiedz: B
ZADANIE 5 (1 PKT.)
Wyrażenie x3 + 8y3 jest równe iloczynowi
A) (x + 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
B) (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
C) (x + 2y)(x2 - 2xy + 4y2)
D) (x - 2y)(x2 - 2xy + 4y2)
ROZWIZANIE
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).
Liczymy
x3 + 8y3 = x3 + (2y)3 = (x + 2y)(x2 - x(2y) + (2y)2) =
= (x + 2y)(x2 - 2xy + 4y2).
Odpowiedz: C
ZADANIE 6 (1 PKT.)
-7
Wykres funkcji f (x) = znajduje się w ćwiartkach
x
A) II i III B) II i IV C) I i III D) I i II
ROZWIZANIE
7
Wykresem danej funkcji jest hiperbola y = odbita względem osi Ox. Jeżeli ją naszkicujemy
x
y
+5
+1
-5 -1 +1 +5 x
-1
-5
Materiał pobrany z serwisu
3
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
to widać, że znajduje się ona w II i IV ćwiartce.
Odpowiedz: B
ZADANIE 7 (1 PKT.)
Funkcje f (x) = -3x + 2 i g(x) = 2x + 7 przyjmują równą wartość dla
9
A) x = B) x = -1 C) x = -9 D) x = 1
5 5
ROZWIZANIE
Rozwiązujemy równanie
- 3x + 2 = 2x + 7
2 - 7 = 2x + 3x
- 5 = 5x / : 5
x = -1.
Odpowiedz: B
ZADANIE 8 (1 PKT.)
Wierzchołek paraboli o równaniu y = -2(x + 2)2 + 4 ma współrzędne
A) (2, -2) B) (2, -4) C) (-2, 2) D) (-2, 4)
ROZWIZANIE
Korzystamy z postaci kanonicznej
y = a(x - xw)2 + yw
funkcji kwadratowej. W powyższym wzorze (xw, yw) są współrzędnymi wierzchołka para-
boli. W naszej sytuacji mamy
y = -2(x - (-2))2 + 4,
czyli wierzchołek ma współrzędne (-2, 4).
Odpowiedz: D
ZADANIE 9 (1 PKT.)
Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 2)(x - 3) 0 jest
A) -2, 3
B) -3, 2
C) (-", -3 *" 2, +")
D) (-", -2 *" 3, +")
Materiał pobrany z serwisu
4
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Wykresem funkcji kwadratowej z lewej strony nierówności jest parabola o ramionach skie-
rowanych w górę i miejscach zerowych -2 i 3 (dla takich wartości x zerują się wyrażenia w
nawiasach).
y
+1
-5 -1 +1 +5 x
-1
-5
-10
Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór (-", -2 *" 3, +")
Odpowiedz: D
ZADANIE 10 (1 PKT.)
Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f (x) = (m + 3)x - 2 jest malejąca
A) m = 2 B) m = 0 C) m = -4 D) m = -3
ROZWIZANIE
Funkcja liniowa y = ax + b jest malejąca jeżeli a < 0, czyli w danym przykładzie dla m < -3.
Z podanych odpowiedzi tylko m = -4 spełnia tę nierówność.
Odpowiedz: C
ZADANIE 11 (1 PKT.)
Który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym?
1 1 1
A) (-4, -3, -2) B) (1, 3, -9) C) (2, 6, 18) D) , ,
2 3 6
ROZWIZANIE
Ciąg (2, 6, 18) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 3 (bo 6 = 2 � 3 i 18 = 6 � 3).
Odpowiedz: C
Materiał pobrany z serwisu
5
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 12 (1 PKT.)
Dla n = 1, 2, 3, . . . ciąg (an) jest określony wzorem an = (-1)n � (3 - n). Wtedy
A) a4 < 0 B) a4 = 0 C) a4 = 1 D) a4 > 1
ROZWIZANIE
Liczymy
a4 = (-1)4 � (3 - 4) = -1.
Odpowiedz: A
ZADANIE 13 (1 PKT.)
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy 11, a dziewiąty jest równy 25. Różnica tego
ciągu jest równa
2 7
A) 14 B) C) 7 D)
7 2
ROZWIZANIE
Ze wzoru an = a1 + (n - 1)r na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy
11 = a5 = a1 + 4r
25 = a9 = a1 + 8r.
Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić a1) mamy
14 7
14 = 4r �! r = = .
4 2
Odpowiedz: D
ZADANIE 14 (1 PKT.)
2
Kąt ą jest ostry i cos ą = . Wartość wyrażenia 1 + sin2 ą jest równa
3
14 5 8 5
A) B) C) D)
9 9 3 3
ROZWIZANIE
Na mocy jedynki trygonometrycznej
sin2 ą + cos2 ą = 1
mamy
4 14
1 + sin2 ą = 1 + 1 - cos2 ą = 2 - = .
9 9
Zauważmy, że w rozwiązaniu nie miało znaczenia to, że kąta ą jest ostry.
Odpowiedz: A
Materiał pobrany z serwisu
6
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 15 (1 PKT.)
Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe
2, 4 i 16.
C
2
E
D
4
A B
16
Długość odcinka AD jest równa
A) 12 B) 8 C) 3 D) 6
ROZWIZANIE
Na mocy twierdzenia Talesa (lub podobieństwa trójkątów ABC i DEC) mamy
AC AB
=
DC DE
AC 16
= �! AC = 8.
2 4
Zatem AD = AC - 2 = 6.
Odpowiedz: D
ZADANIE 16 (1 PKT.)
Środek S okręgu o równaniu x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0 ma współrzędne
A) S = (6, -4) B) S = (3, -2) C) S = (-3, 2) D) S = (-6, 4)
ROZWIZANIE
Aby wyznaczyć środek danego okręgu przekształcamy podane równanie (zwijamy do peł-
nych kwadratów).
x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0
x2 - 6x + 9 + y2 + 4y + 4 - 4 = 0
(x - 3)2 + (y + 2)2 = 4.
Widać teraz, że środkiem okręgu jest punkt (3, -2).
Odpowiedz: B
ZADANIE 17 (1 PKT.)
Wyniki konkursu ortograficznego podano w punktach: 82, 94, 88, 92, 90, 86, 76, 72. Medianą
tego zestawu wyników jest
A) 86 B) 88 C) 87 D) 90
Materiał pobrany z serwisu
7
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Wypisujemy podane liczby w kolejności rosnącej
72, 76, 82, 86, 88, 90, 92, 94.
Widać teraz, że dwie środkowe liczby to 86 i 88. Zatem mediana jest równa
86 + 88
= 87.
2
Odpowiedz: C
ZADANIE 18 (1 PKT.)
Objętość sześcianu jest równa 64 cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego
sześcianu?
A) 48 cm B) 36 cm C) 24 cm D) 64 cm
ROZWIZANIE
Z podanej objętości wyliczamy długość krawędzi sześcianu.
a3 = 64 = 43 �!�! a = 4.
Sześcian ma 12 krawędzi, więc suma ich długości jest równa 12 � 4 = 48.
a
a
a
Odpowiedz: A
ZADANIE 19 (1 PKT.)
Punkty A, B, C, D, E, F leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami sześciokąta foremnego.
Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego AEC jest równa
Materiał pobrany z serwisu
8
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
E
D
F
S
A
C
B
A) 120ć% B) 90ć% C) 60ć% D) 30ć%
ROZWIZANIE
Sposób I
Ponieważ trójkąt ACE jest równoboczny AEC = 60ć% (miara kąta w trójkącie równobocz-
nym).
Sposób II
Kąt wpisany AEC jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego ASC, który z kolei jest równy
360ć%
2 � = 120ć%.
6
E
D
F
S
A
C
B
Zatem
1
AEC = ASC = 60ć%
2
Odpowiedz: C
ZADANIE 20 (1 PKT.)
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest 3 razy mniejsze niż prawdopodobieństwo zdarzenia
przeciwnego do A. Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
1 1 2 3
A) B) C) D)
4 3 3 4
Materiał pobrany z serwisu
9
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Jeżeli oznaczymy szukane prawdopodobieństwo przez p to mamy równanie
1
p = (1 - p) / � 3
3
3p + p = 1
1
4p = 1 �! p = .
4
Odpowiedz: A
Zadania otwarte
ZADANIE 21 (2 PKT.)
Rozwiąż nierówność: x2 - 42x + 441 > 0.
ROZWIZANIE
Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu x2 - 42 + 441
" = (-42)2 - 4 � 1 � 441 = 1764 - 1764 = 0
-b 42
x0 = = = 21.
2a 2
Ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabolą o ramio-
nach skierowanych do góry, która jest styczna do osi Ox dla x = 21. Zatem f (x) > 0 dla
x = 21.
y
+20
+10
+2
-2 +2 +10 +20 x
-2
Odpowiedz: R \ {21} = (-", 21) *" (21, +")
Materiał pobrany z serwisu
10
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 22 (2 PKT.)
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 2 cm i
od drugiej przyprostokątnej o 9 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.
ROZWIZANIE
Jeżeli oznaczymy długość przeciwprostokątnej przez c to przyprostokątne mają odpowied-
nio długości c - 2 i c - 9.
c
c-9
c-2
Zapisując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy równanie
(c - 2)2 + (c - 9)2 = c2
c2 - 4c + 4 + c2 - 18c + 81 = c2
c2 - 22c + 85 = 0
" = 222 - 4 � 85 = 144 = 122
22 - 12 22 + 12
c = = 5 (" c = = 17.
2 2
Pierwszą odpowiedz odrzucamy, bo daje ujemną długość jednej z przyprostokątnych. Za-
tem c = 17 i przyprostokątne mają długości 15 i 8.
Odpowiedz: 8,15,17
ZADANIE 23 (2 PKT.)
Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że
|AD| = |BE|.
B
E
D
A
C
Materiał pobrany z serwisu
11
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Dorysujmy odcinki AD i BE.
B
E
D
ą
A
C
Patrzymy teraz na trójkąty ADC i BEC. Mają one dwie pary równych boków
AC = BC
DC = EC
oraz równy kąt przy wierzchołku C
ACD = ACB - ą = 60ć% - ą = DCE - ą = BCE.
Trójkąty te są więc przystające, czyli AD = BE.
ZADANIE 24 (2 PKT.)
1
Wiedząc, że ą jest kątem ostrym i tg ą + = 4 oblicz sin ą cos ą.
tg ą
ROZWIZANIE
Liczymy
1
tg ą + = 4
tg ą
sin ą cos ą
+ = 4
cos ą sin ą
sin2 ą cos2 ą
+ = 4
cos ą sin ą sin ą cos ą
sin2 ą + cos2 ą
= 4
sin ą cos ą
1 1
= 4 �! sin ą cos ą = .
sin ą cos ą 4
Zauważmy, że w rozwiązaniu nie miało znaczenia to, że kąta ą jest ostry.
1
Odpowiedz:
4
ZADANIE 25 (2 PKT.)
Wykaż, że jeżeli a2 + b2 + 2 = 2a + 2b, to a = b = 1.
Materiał pobrany z serwisu
12
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Przekształcamy równoważnie podaną równość.
a2 + b2 + 2 = 2a + 2b
(a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) = 0
(a - 1)2 + (b - 1)2 = 0.
Jeżeli suma kwadratów jest zerem, to zerem muszą być oba składniki, czyli a = 1 i b = 1.
ZADANIE 26 (4 PKT.)
Ciąg (2, x, y - 2) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x, y, 16) jest geometryczny. Oblicz x oraz
y i podaj ten ciąg geometryczny.
ROZWIZANIE
Jeżeli liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to 2b = a + c. Jeżeli są
kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to b2 = ac. Mamy zatem układ równań
2x = 2 + y - 2 = y
y2 = 16x.
Podstawiając wartość y = 2x z pierwszego równania do drugiego mamy
(2x)2 = 16x
4x2 - 16x = 0
4x(x - 4) = 0
x = 0 (" x = 4.
Dla x = y = 0 ciąg (0, 0, 16) nie jest geometryczny, więc musi być x = 4, czyli y = 8 i mamy
ciąg geometryczny (4, 8, 16).
Odpowiedz: (x, y, 16) = (4, 8, 16)
ZADANIE 27 (5 PKT.)
Punkty A = (-6, 0) i B = (20, 0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o prze-
ciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = x. Oblicz współrzędne
punktu C.
ROZWIZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Materiał pobrany z serwisu
13
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
y y
C
C
+10 +10
+2 +2
B B
S
-10 A -2 +2 S +10 x -10 A -2 +2 +10 x
-2 -2
C
C
-10 -10
Z obrazka widać, że będą dwa takie punkty C.
Sposób I
Skoro trójkąt ABC ma być prostokątny, to punkt C musi leżeć na okręgu o średnicy AB. Nie
jest trudno napisać równanie tego okręgu. Jego środek to środek odcinka AB, czyli
-6 + 20 0 + 0
O = , = (7, 0),
2 2
a promień jest równy
AB (20 + 6)2 + 02
r = = = 13.
2 2
Zatem okrąg o średnicy AB mam równanie
(x - 7)2 + y2 = 169.
Pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostą y = x podstawiamy y = x w powyż-
szym równaniu.
(x - 7)2 + x2 = 169
x2 - 14x + 49 + x2 = 169
2x2 - 14x - 120 = 0 / : 2
x2 - 7x - 60 = 0
" = 49 + 240 = 289 = 172
7 - 17 7 + 17
x = = -5 (" x = = 12.
2 2
Zatem C = (-5, -5) lub C = (12, 12).
Sposób II
Materiał pobrany z serwisu
14
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Szukamy takiego punktu C = (x, x) (bo ma leżeć na prostej y = x), aby trójkąt ABC był
prostokątny. Zapiszmy twierdzenie Pitagorasa.
AB2 = AC2 + BC2
(20 + 6)2 = (x + 6)2 + x2 + (x - 20)2 + x2
676 = x2 + 12x + 36 + x2 + x2 - 40x + 400 + x2
0 = 4x2 - 28x - 240 / : 4
0 = x2 - 7x - 60.
Dalej liczmy jak w I sposobie.
Sposób III
Szukamy takiego punktu C = (x, x), aby odcinki AC i BC były prostopadłe. Aatwo zapisać
ten warunek używając iloczynu skalarnego.
- -
AC ć% BC = 0
[x + 6, x] ć% [x - 20, x] = 0
(x + 6)(x - 20) + x2 = 0
x2 - 14x - 120 + x2 = 0 / : 2
x2 - 7x - 60 = 0.
Dalej liczmy jak w I sposobie.
Odpowiedz: C = (-5, -5) lub C = (12, 12)
ZADANIE 28 (5 PKT.)
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości 6 cm i
krawędzi bocznej długości 8 cm.
ROZWIZANIE
Zaczynamy od schematycznego rysunku.
D
8
C
B
E
6
6
A
Materiał pobrany z serwisu
15
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Wysokość trójkąta równobocznego w podstawie jest równa
"
"
a 3
= 3 3.
2
2
Długość odcinka EB to dokładnie wysokości (bo tak dzieli wysokość środek trójkąta rów-
3
nobocznego), czyli
" "
2
EB = � 3 3 = 2 3.
3
Teraz, stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie EBD, mamy
" " "
DE = DB2 - EB2 = 64 - 12 = 52 = 2 13.
Zatem objętość jest równa (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego)
"
" " " "
1 36 3
V = � � 2 13 = 3 3 � 2 13 = 6 39.
3 4
"
Odpowiedz: 6 39 cm3
ZADANIE 29 (6 PKT.)
Dwie prostokątne działki ogrodnicze mają odpowiednio pola powierzchni 480 m2 i 360 m2.
Druga z działek jest o 2 metry węższa i o 4 metry krótsza od pierwszej działki. Oblicz, jakie
wymiary mogą mieć działki. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
ROZWIZANIE
Oznaczmy szerokość i długość pierwszej działki przez s i d. W takim razie druga działka ma
wymiary s - 2 i d - 4 i otrzymujemy układ równań
sd = 480
(s - 2)(d - 4) = 360
Przekształćmy drugie równanie korzystając z równości sd = 480.
360 = (s - 2)(d - 4) = sd - 2d - 4s + 8
360 = 480 - 2d - 4s + 8
2d + 4s = 128 / : 2
d = 64 - 2s.
Podstawiamy teraz tę wartość do równości sd = 480.
s(64 - 2s) = 480 / : 2
s(32 - s) = 240
32s - s2 = 240
s2 - 32s + 240 = 0
" = 322 - 4 � 240 = 64 = 82
32 - 8 32 + 8
s = = 12 (" s = = 20.
2 2
Materiał pobrany z serwisu
16
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Wtedy d = 40 i d = 24 odpowiednio. Zatem działki mają wymiary 12 m na 40 m i 10 m na
36 m, lub 20 m na 24 m i 18 m na 20 m.
Odpowiedz: 12 m na 40 m i 10 m na 36 m, lub 20 m na 24 m i 18 m na 20 m
Materiał pobrany z serwisu
17

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyk6 ORBITA GPS Podstawowe informacje
Podstawowe informacje o Rybnie
3 podstawy teorii stanu naprezenia, prawo hookea
zestawy cwiczen przygotowane na podstawie programu Mistrz Klawia 6
podstaw uniw
Jezyk angielski arkusz I poziom podstawowy (5)
07 GIMP od podstaw, cz 4 Przekształcenia
Podstawy dzialania routerow i routingu
Podstawy Cyfrowego Przetwarzania Sygnalów
C20408 podstawy org UN, odruchy
PA3 podstawowe elementy liniowe [tryb zgodności]

więcej podobnych podstron