1. Cel wiczenia
Celem wiczenia jest zapoznanie si w podstawow aparatur pomiarow
Laboratoriów Podstaw Fizyki 1 (suwmiarka, ruba mikrometryczna), sposobem
wykonywania przy ich u yciu pomiarów oraz analiz niepewno ci tych pomiarów.
2. Wprowadzenie
Analiz niepewno ci wykonamy na podstawie pomiarów bezpo rednich rednicy d
elementu nr 21 wykonywanych w niezmiennych warunkach laboratoryjnych. Pomiary zostały
wykonane rub mikrometryczn Zakładamy tu, e nasz miernik analogowy nie podaje
zafałszowanych wyników, tzn. jest odpowiednio wyregulowany. Oznacza to, e nasze
pomiary b d wolne od bł dów systematycznych. Istniej dwie metody analizy niepewno ci
pomiaru. Metoda A wykorzystuj ca analiz statystyczn oraz metoda B, która b dzie tu
wła ciw metod pomiaru niepewno ci, poniewa nasze dane nie wykazuj rozrzutu.
Schemat oraz miejsce elementu nr 21, w którym rednica była mierzona, przedstawia
rysunek zamieszczony poni ej. Wyniki pomiarów umieszczone zostały w protokole.
Rys. 1. Schemat elementu nr 21
3. Szacowanie niepewno ci pomiaru metod B
W tej metodzie warto niepewno ci pomiaru ´x oceniamy wykorzystuj c dodatkowe
niestatystyczne informacje. W naszym przypadku b dzie to warto działki elementarnej "d.e.,
która wynosi w naszej rubie mikrometrycznej 0,01mm.
Za niepewno warto ci redniej bierzemy tutaj:
"d.e.
sx =
3

 Natomiast chc c uwzgl dni niepewno statystyczn oraz niepewno przyrz du
pomiarowego, skorzystamy ze wzoru:
1
(
sxc ) = (sx )2 + (" )2
d .e.
3
Aby z niego skorzysta nale y zaanga owa statystyczn metod A: najpierw
wyznaczy sx wg wzoru:
2
n
sx 1
2
sx = = - x)2
(xi
n n(n -1)
i=1
n
sx 1
sx = = - x)2
(xi
n(n -1)
n
i=1
2
Liczb sx nazywamy wariancj (z próby), a liczb sx odchyleniem standardowym (z
próby) redniej arytmetycznej.
Wariancj z próby pojedynczego pomiaru, któr wykorzystujemy przy obliczaniu
wariancji redniej nazywamy kwadrat z odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru:
2
n


xi

n
1 1
i=1
sx 2 = - x)2 = xi2 -
(xi

n -1 n -1 n
i=1 i=1



Zale no mi dzy wariancj z próby a odchyleniem standardowym z próby
pojedynczego pomiaru jest analogiczna jak w przypadku redniej arytmetycznej, tj.
2
n


xi

n
1 1
i=1
sx = - x)2 = xi2 -
(xi

n -1 n -1 n
i=1 i=1



Aby obliczy podane wska niki charakteryzuj ce wyniki pomiarów, wykorzystamy
sum xi oraz sum kwadratów xi2. Sumy przedstawiono poni ej.

i xi [mm] xi2 [mm2]
1. 17,92 321,1264
2. 17,93 321,4849
3. 17,91 320,7681
4. 17,92 321,1264
5. 17,93 321,4849
6. 17,91 320,7681
7. 17,92 321,1264
8. 17,92 321,1264
9. 17,91 320,7681
10. 17,90 320,4100
Suma:
179,17 3210,1897
Tab. 1. Suma i suma kwadratów pomiarów

Obliczenia:
179,17mm
x = = 17,917mm
10

1 (179,17mm)2
2 2
sx = = 0,00009mm2
3210,1897mm -
9 10

sx = 0,00009mm2 = 0,00948683297784977mm
sx 0,00948683297784977mm
sx = = = 0,003mm
10 10
0,01mm
sx = = 0,00577350269189626mm
3
1
(
sxc) = (0,00577350269189626mm)2 + (0,001mm)2 = 0,00816496580927726mm
3
4. Analiza i opracowanie wyników
Wynik zaokr glamy zgodnie z obowi zuj cymi zasadami. Dla ułatwienia oblicze
b dziemy porównywa bł d zaokr glony do jednego i dwóch miejsc znacz cych po
przecinku:
0,0058mm - 0,006mm
dla sx : ×100% H" 3,45%
0,0058mm
0,0082mm - 0,009mm
(
dla sxc) : ×100% H" 9,76%
0,0082mm
Poniewa w naszym przypadku zaokr glenie nie powoduje wzrostu warto ci
niepewno ci o wi cej ni 10%, wynik zaokr glimy do jednego miejsca znacz cego po
przecinku.
Na podstawie powy szych oblicze mo emy poda trzy warto ci redniej
skorygowanej o odchylenie standardowe redniej. B dzie to odpowiednio:
a. rednia warto rednicy skorygowana o bł d pomiaru wyznaczony
statystycznie:
17,917 Ä… 0,003 mm
b. rednia warto rednicy skorygowana o niepewno przyrz du pomiarowego:
17,917 Ä… 0,006 mm
c. rednia warto rednicy skorygowana o niepewno statystyczn oraz
niepewno przyrz du pomiarowego:
17,917 Ä… 0,009 mm
5. Wnioski ko cowe
Nasze pomiary charakteryzuj si niewielkimi odchyleniami standardowymi zarówno
dla serii pojedynczych pomiarów jak i dla warto ci redniej, wyznaczonej z tych pomiarów.
wiadczy to o du ej dokładno ci przyrz du pomiarowego. Bł d przyrz du okazał si jednak
2x wi kszy ni bł d losowy. Znacz cy wpływ na wyniki miał równie fakt niewyst powania
bł du systematycznego. Mimo, e wyniki odzwierciedlaj rzeczywisto z do du
dokładno ci , mógłby by one jeszcze lepsze gdyby liczba pomiarów rednicy była wi ksza.

Zał cznik nr 1
Tabela danych zawieraj ca pomiary rednicy elementu nr 21, wykonanych rub
mikrometryczn .
i Wynik pomiaru rednicy d [mm]
1. 17,92
2. 17,93
3. 17,91
4. 17,92
5. 17,93
6. 17,91
7. 17,92
8. 17,92
9. 17,91
10. 17,90