STATYSTYKA
Wykład 12.
Temat: Testowanie hipotez (ciÄ…g dalszy).
testy parametryczne  dotyczą parametrów populacji takich jak średnia, korelacja&
testy nieparametryczne  dotyczą zmiennych jakościowych, niezale\
ności między
zmiennymi, zgodności rozkładu itp.
Testowanie hipotez o istotności wartości przeciętnej/wartości średniej w populacji:
Je\
eli:
- à jest znane i N d" 30 (maÅ‚a próba) lub
- Ã jest znane i N > 30 (du\
a próba) lub
- Ã jest nieznane i N > 30 to mo\
na przyjąć, \
e à H" s (odchylenie standardowe w całej
populacji równe jest odchyleniu w jednej próbie); wtedy:
_
x  µ
z = %%% * "N
Ã
je\
eli:
- Ã jest nieznane i N d" 30, to mo\
na przyjąć, \
e à H" s; wtedy
_
x  µ
t = %%% * "N - 1
s
Przykład 1.
Długość \
ycia opon samochodowych ma rozkład normalny o średniej i odchyleniu
nieznanych. Producent podaje, \
e jego opony majÄ… \
ywotność:
µ = 50 000 km
Z badania przeprowadzonego na losowo wybranej próbie opon:
N = 100
wynika, \
e:
_
x = 45 000 km
s = 8 000 km
Czy przyjmując poziom istotności ą = 0,05 mo\
na uznać, \
e producent ma racjÄ™?
(H)
_
H0: x = µ
_
H1: x `" µ (hipoteza dwustronna)
(T)
45 000  50 000
Z = %%%%%%%%% * "100 = +/- 6,25
8 000
(FSW)
|z| = 6,25
(obszar
niezakreskowany) =
(obszar
0,95 (95%
zakreskowany) =
powierzchni)
0,025 (2,5%
powierzchni) po
ka\
dej stronie; w
sumie 0,05 (5%
powierzchni) po obu
stronach;
-1 0, µ 1 Z
-1,96 1,96
Z0,05 = 1,96 (odczytane z tabeli)
Poniewa\
:
|z| = 6,25 > Z0,05 = 1,96 to odrzucamy hipotezÄ™ zerowÄ….
Przykład 2.
Jak wy\
ej, jednak przyjmujemy hipotezÄ™ jednostronnÄ…, \
e średni przebieg jest ni\
szy ni\

podawany przez producenta:
H1: x < µ (hipoteza jednostronna)
(obszar
niezakreskowany) =
0,95 (95%
powierzchni)
(obszar
zakreskowany) =
0,05 (5%
powierzchni)
-1 0, µ 1 Z
-1,64
- Z0,05 = - 1,64 (odczytane z tabeli)
Poniewa\
:
|z| = 6,25 > |- Z0,05| = 1,96 to odrzucamy hipotezÄ™ zerowÄ….
Przykład 2.
Tygodniowe wydatki na \
ywność mają rozkład normalny o średniej i odchyleniu nieznanych.
Przyjmuje siÄ™, \
e:
µ = 40,00 zÅ‚
hipoteza robocza zakłada jednak, \
e wydatki sÄ… wy\
sze. Zweryfikuj przy poziomie istotności
ą = 0,05, na podstawie badań na próbie:
N = 10 osób, której badanie wykazało, \
e:
_
x = 48,00 zł
s = 10,80 zł
(H)
_
H0: x = µ
_
H1: x > µ (hipoteza jednostronna)
(T)
48,00  40,00
t = %%%%%%%%% * "10 - 1 = 2,2
10,80
- nale\
y porównać z odczytanym z tabeli tą: df:
t0,01: 9 = 2,82 (odczytujemy z tabeli)
Poniewa\
:
t = 2,22 < t0,01: 9 = 2,82 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Testowanie hipotez o istotności wartości przeciętnej/wartości średniej w populacji na
podstawie danych z dwóch prób:
Je\
eli:
- Ã1, Ã2 jest znane i N1 d" 30, N2 d" 30 lub
- Ã1, Ã2 jest znane i N1 > 30, N2 > 30 lub
- Ã1, Ã2 jest nieznane i N1 > 30, N2 > 30 lub to mo\
na przyjąć, \
e Ã1 H" s1, Ã2 H" s2; wtedy:
_ _
x1  x2
z = %%%%%
Ã12 Ã22
"% + %
N1 N2
je\
eli:
- Ã1, Ã2 jest nieznane i N1 d" 30, N2 d" 30 lub to mo\
na przyjąć, \
e Ã1 H" s1, Ã2 H" s2; wtedy:
_ _
x1  x2
t = %%%%%%%%%%%%%%%%%
N1*s12 + N2*s22 1 1
"%%%%%%%%% * (% + %)
N1 + N2  2 N1 N2
df = N1 + N2  2 (liczba stopni swobody)
Przykład 3.
Wydatki dzienne na \
ycie w Polsce mają rozkład normalny o średniej i odchyleniu
nieznanych, jednak jeden z ekonomistów stawia tezę, \
e wydatki w rodzinach w Warszawie
są większe ni\
we Wrocławiu. Przetestuj hipotezę ekonomisty, przy poziomie istotności ą =
0,05, je\
eli z przeprowadzonych badań wynika:
Warszawa:
N = 12 osób
_
x1 = 48,20 zł
s1 = 10,30 zł
Wrocław:
N = 15 osób
_
x1 = 45,00 zł
s1 = 8,60 zł
(H)
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 > µ2
(T)
48,2  45,00 3,2
t = %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% = %%% = 0,85
12 *10,32 + 15,00*8,602 1 1 3,76
"%%%%%%%%%%%%%% * (% + %)
12 + 15  2 12 15
t 0,05: 25 = 1,71 (odczytujemy z tabeli)
Poniewa\
:
t = 0,85 < t 0,05: 25 = 1,71 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.