Zestaw 8.
Macierze (cz. I)
n×m
Zadanie 1. Niech oznacza zbi r macierzy o n wierszach, m kolumnach oraz
o elementach należacych do zbioru . Sprawdzić, czy:
n×m
a) ( , +) jest grupa abelowa, gdzie +  dodawanie macierzy;
n×n
b) ( , " ) jest grupa abelowa, gdzie "  mnożenie macierzy;
a b
c) (A, +, " ) jest cialem, gdzie A = : a, b " , +  dodawanie
-b a
macierzy, "  mnożenie macierzy,
n×m
d) ( , +, , " ) jest przestrzenia wektorowa nad cialem , gdzie +  do-
dawanie macierzy, "  mnożenie macierzy przez liczbe. W przypadku pozy-
tywnej odpowiedzi, podać baze tej przestrzeni.
Zadanie 2. Dla macierzy
1 2 0 -1 2 -1
A = oraz B =
0 3 -1 1 1 0
znalez
ć macierz X, spelniajaca r wnanie
a) 4 (A - X) + 5 (3X + B) = A - B + 8X;
b) BT X = [1 1 0]T .
Zadanie 3. Znalez
ć macierz X, spelniajaca r wnanie:
1 5 1 0 1 1
a) XX = , b) X = XT .
0 1 1 1 0 1
n×n
Zadanie 4. Sprawdzić, czy dla A, B " prawdziwe sa poniższe zależności:
a) AB = BA;
n×n
b) AB = 0 Ò! (A = 0 (" B = 0) , 0 " ;
c) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;
d) AB = BA Ò! (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
2 -1
Zadanie 5. Dla f (x) = x2 - 5x + 3 oraz A = wyznaczyć f (A).
-3 3
n×n n×n
Zadanie 6. Uzasadnić, że dla dowolnej macierzy A " (ew. ) istnieje
wielomian f : taki, że f(A) = 0.
Zadanie 7. Rozwiazać macierzowy uklad r wnań
Å„Å‚
0 1
ôÅ‚
ôÅ‚
X + Y =
òÅ‚
0 1
.
ôÅ‚
1 0
ôÅ‚
ół
2X + 3Y =
0 1
1
Zadanie 8. Dla macierzy
"
i 0 cos ¸ sin ¸
a) A = , dla i = -1, b) A = , dla ¸ "
0 -i - sin ¸ cos ¸
df
wyznaczyć An = A · . . . · A.
× n
n×n n
Zadanie 9.* Dla macierzy A " okreÅ›lamy odwzorowanie ¨ : x Ax "
n
. Podać interpretacje geometryczna odwzorowania ¨ w przypadku, gdy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
cos ¸ - sin ¸
ðÅ‚ ûÅ‚
a) A = , dla ¸ " , b) A = 0 0 1 .
sin ¸ cos ¸
0 1 0
W oparciu o interpretacje geometryczna odwzorowania ¨, uzasadnić jego bijek-
tywność oraz wyznaczyć odwzorowanie odwrotne ¨-1.
Zadanie 10. Udowodnić, że iloczyn macierzy tr jkatnych g rnych (dolnych) jest ma-
cierza tr jkatna g rna (dolna).
Zadanie 11. Wykazać zależność:
Jeżeli A = [aij]n jest macierza ortogonalna 1, to
i,j=1
n
a) a2 = 1, "j = 1, . . . , n;
k=1 kj
n
b) a2 = 1, "i = 1, . . . , n;
k=1 ik
n
c) akiakj = 0, dla i = j.

k=1
n×n
Zadanie 12. Zadana jest macierz ortogonalna A " . Rozwiazać r wnanie
2
AX AT = -I3,
z niewiadoma macierza X, I-macierz jednostkowa.
Zadanie 13.* Dowieść, że jeżeli A jest macierza silnie tr jkatna (tzn. jej wyrazy
n×n
spelniaja warunek: aij = 0 dla i e" j), to An = 0, n " , 0 " .
Zadanie 14. Niech A = diag (d1, . . . , dn) " ( )n×n. Sprawdzić, czy odwzorowanie
+
n n
s : (x, y) xT Ay "
n
jest iloczynem skalarnym w przestrzeni . W przypadku pozytywnej odpowiedzi,
df 2 0
2
wyznaczyć zbi r S1 = x " : ||x|| d" 1 , przyjmujac uprzednio A = .
0 1
n×n
Zadanie 15. Niech A = [aij], B = [bij] " . Czy odwzorowanie s określone jako
n n
s (A, B) = aijbij
i=1 j=1
n×n
wyznacza iloczyn skalarny w przestrzeni ?
1
AT A = AAT = I.
2
Odpowiedzi
Zadanie 1: a) jest; b) nie jest; c) jest; d) jest;
1 -6 2 0
Zadanie 2: a) X = ; b) X = ;
-2 -5 1 1
5 5
1 -1 - a b
2 2
Zadanie 3: a) , ; b) X " : b = c + d ;
0 1 0 -1 c d
Zadanie 4: a) nie; b) nie; c) nie; d) tak;
0 0
Zadanie 5: ;
0 0
Zadanie 6: Wskaz wka: wykorzystujac zadanie 1d) uzasadnić, że istnieje taka liczba
N " , że macierze I, A, . . . , AN sa liniowo zależne;
-1 3 1 -2
Zadanie 7: X = , Y = ;
0 2 0 -1
in 0 cos n¸ sin n¸
Zadanie 8: a) , n " ; b) , n " ;
0 (-i)n - sin n¸ cos n¸
cos ¸ sin ¸
Zadanie 9*: a) Obr t o kat ¸, A-1 = ; b) Symetria wzgledem
- sin ¸ cos ¸
3
plaszczyzny (x, y, z) " : y - z = 0 , A-1 = A;
Zadanie 10: A = [aij] , B = [bij] : aij = 0, bij = 0 dla i < j. AB = C = [cij].
k>i dla kn i i
W wczas: cij = aikbkj dla= aikbkj = aikbkj, czyli dla
k=1 k=1 k=j
aik=0 bkj=0
i < j : cij = 0.
Zadanie 11: Wskaz wka: rozpisać warunki ortogonalności jak w zadaniu poprzed-
nim.
Zadanie 12: -A;
Zadanie 13*: Pokazać indukcyjnie, że Ak jest macierza tr jkatna g rna majaca nad
gl wna przekatna kolejne k przekatne zerowe.
Zadanie 14: Odwzorowanie s jest iloczynem skalarnym oraz S1 to figura ograniczona
"
elipsa o środku w punkcie (0, 0) i p losiach 1 oraz 2/2;
Zadanie 15: Tak.
3