CAŁKI NIEOZNACZONE

1. CAŁKA NIEOZNACZONA

Poszukiwanie funkcji F(x), gdy jest jej pochodna F'(x)=f(x), czyli działanie odwrotne do różniczkowania nazywa się całkowaniem, a funkcję szukaną

F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x).

Całkowanie jest działaniem odwrotnym względem różniczkowania

(wyznaczania pochodnej) i nie jest działaniem jednoznacznym, co określa następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem podstawowym o funkcjach

pierwotnych:

TWIERDZENIE 1.1 Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w

przedziale X, to funkcja F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również

funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X.

Dowód. Istotnie, dla każdego x ∈X i każdej stałej C, mamy

[F(x) + C]' = F'(x) = f(x),

zatem funkcja F(x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X. Z

drugiej strony, jeżeli funkcje F(x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) w przedziale X, czyli

F'(x) = f(x) i

G'(x) = f(x)

to

∀ x ∈ X [ F( x) − G( x)]'= 0

63

Oznacza to, że funkcja F(x) i G(x) w przedziale X jest wielkością stałą, czyli

G(x) = F(x)+C0.

Zatem, jeżeli funkcja F(x) jest funkcja pierwotną funkcji f(x) w przedziale X,

to suma

F(x) + C,

gdzie C jest dowolną stałą, przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji

f(x) w tym przedziale i tylko takie funkcje.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w tym przedziale i oznaczamy symbolem

(1.1)

∫ f ( x) dx .

Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a literę x nazywamy zmienną

całkowania. Z podstawowego twierdzenia o funkcjach pierwotnych wynika,

że

(1.2)

∫ f ( x) dx = F( x) + C ,

gdzie F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x), a C jakąkolwiek stałą.

Z definicji całki nieoznaczonej wynika, że funkcja pierwotna F(x) określona

jest w dziedzinie funkcji podcałkowej f(x).

64

PRZYKŁAD 1.1. Znajdziemy funkcję pierwotną funkcji f(x)=x2, której wykres przechodzi przez punkt (-1,1).

Obliczając całkę nieoznaczoną z funkcji podcałkowej f(x)=x2, otrzymamy

zbiór

∫ x 2 dx = 1 x 3 + C

3

funkcji pierwotnych. Ponieważ szukana funkcja pierwotna

1

3

F ( x) = x + C

3

0

ma przechodzić przez punkt (-1,1), zatem musi być spełniony warunek

F(-1) = 1,

czyli

1

3

1 = (− )

1

+ C

3

0

skąd

4

C =

0

3

Tak więc

1

3

4

F ( x) = x +

3

3

jest szukaną funkcją pierwotną.

65

W tablicy podano całki nieoznaczone funkcji elementarnych.

Należy podkreślić, że wzory podane w tablicy są prawdziwe w każdym

przedziale ciągłości odpowiedniej funkcji podcałkowej.

Lp.

Całka

Uzasadnienie

1

∫

=

0 dx = C

[ C]' 0

2

∫ dx = x + C

[ x + C]'=1

1

3

∫

 1



xx dx =

x+

x 1 + C(α ≠ − )

1

x 1

+

x

α

+

=

+

x

C '

x





1

α +1



4

∫ 1 dx = ln | x | + C

[ln | x | + C]' = a x

x

'

ax

 a x



x

x

5

∫ a dx =

+ C a

( > ,

0 a ≠ )

1



+ C = a

ln a

ln a



exdx = ex +

x

x

+

=

6

∫

C

[ e

C]' e

∫

[− cos x + C]' = sin x

sin xdx = −cos x + C

7

∫cos xdx = sin x + C

[sin x + C]'= cos x

8

1

1

[− ctgx + C]'=

∫

dx = − ctgx+ C

2

sin2 x

sin x

9

1

1

[ tgx + C]' =

∫

dx = tg + C

2

cos2 x

cos x

10

1

dx

[ arctgx + C]'=

∫

= arctgx+ C

2

1 + x

1+ 2

11

x

−1

(−

[ arcctgx + C]' =

∫ )1 dx =

arcctg +

x C

2

1 + x

2

12

1+ x

1

[arcsin x + C]'=

∫ dx = arcsin x + C

2

1 − x

13

1− x 2

−1

+

=

(− )

1 dx

[arccos x

C]'

=

2

arcco x

s +

1 − x

14

∫

C

1− x 2

66

PRZYKŁAD 1.2. Obliczając pochodną [ ln |x| + C]' dla x>0 otrzymujemy

∫ dx = ln | x | + C

x

natomiast dla x<0

(− )

1

1

[ln | x |]' = [ln(− x)]' =

= ,

− x

x

czyli

1

[ln | x | + C]' =

x

PRZYKŁAD 1.3. Mamy

4

1

5

∫ x dx = x + C dla x ∈(−∞,+∞),

5

x

8 x

∫8 dx =

+ C dla x ∈ (−∞,+∞),

ln 8

2

∫ xdx = x x + C dla x ∈( ,0+∞),

3

2

dx

−

1

2

− 1

+

3

3

∫

= ∫ x dx =

x

+ C = 33 x + C dla x ∈ (−∞, )

0 ∪ ( ,

0 +∞),

2

3

2

x

− +1

3

7

2

1

7

10

1

+

3

3

3

3

3

∫ x xdx = ∫ x dx =

x

+ C = x + C dla x ∈ (−∞,+∞).

7 + 1

10

3

2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI CAŁKI NIEOZNACZONEJ

Podamy obecnie podstawowe własności całki nieoznaczonej.

1. Jeżeli funkcja f(x) ma w pewnym przedziale funkcję pierwotną, a k jest dowolną stałą liczbą od zera, to

(2.1)

∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x) dx ( k ≠ 0).

67

Z definicji całki nieoznaczonej wynika, że

[

'

∫ f ( x) dx] = f ( x)

Mamy

[

'

'

∫ kf ( x) dx] = kf ( x) oraz [ k∫ f ( x) dx] = kf ( x), zatem

∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x) dx

Własność 1 można wyrazić w następujący sposób: stały czynnik

występujący w funkcji podcałkowej można wyłączyć przed znak całki.

PRZYKŁAD 2.1. Obliczmy całki nieoznaczone ∫3 2

4

x dx i ∫ d .

x

x

Z podanej własności otrzymujemy

2

2

1

∫3 x dx = 3∫ x dx = 3

2 1

+

3

x

+ C = x + C dla x ∈ R,

2 +1

4

∫ dx = 4∫ dx = 4ln | x | + C dla x ≠ 0.

3

x

2. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają funkcje pierwotne w pewnym przedziale, to

(2.2) ∫[ f ( x) ± g( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g( x) d . x Istotnie:

[

'

∫[ f ( x) ± g( x)] dx] = f ( x) ± g( x),

[

'

∫ f ( x) dx ± ∫ g( x) dx] = f ( x) ± g( x), 68

zatem

∫[ f ( x) ± g( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g( x) d . x Zauważamy, że jeżeli całkujemy sumę (różnicę) kilku funkcji, to po

obliczeniu całek z poszczególnych składników dopisujemy jedną stałą

dowolną, ponieważ suma stałych dowolnych jest również stałą dowolną.

PRZYKŁAD 2.2. Obliczmy całkę

∫ 5

(

4

x − 4 3

x + 3 x + 2) d .

x

Korzystając z własności całki nieoznaczonej mamy

∫ 5

(

4

x − 4 3

x + 3 x + 2) dx = ∫ 5 4

x dx − ∫ 4 3

x dx + ∫ 3 xdx + ∫ 2 dx =

5

4

∫ x dx − 4 3

∫ x dx + 3∫ xdx + 2

5

4

3

2

∫ dx = x + x + x + 2 x + C dla x ∈(−∞,+∞).

2

3. CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych pomocnym jest następujące

twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie t = h(x).

TWIERDZENIE 3.1 Jeżeli istnieje taka funkcja t = h(x) różniczkowalna w przedziale T i h(x)∈ T, oraz że funkcja podcałkowa

(3.1)

f ( x) = g[ h( x)] = g( t), to w przypadku gdy funkcja g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t) i ponadto w przedziale X zachodzi

(3.2)

f ( x) = g[ h( x)] h'( x)

69

to dla x ∈ X prawdziwa jest równość

(3.3)

∫ f ( x) dx = G[ h( x)] + C

D o w ó d. Funkcja złożona G[h(x)] jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, ponieważ dla każdego x ∈ X zachodzi

d

[

G h( x)] = g'[ h( x)] h'( x) = g[ h( x)] h'( x) = f ( x) dx

Zatem istnieje całka nieoznaczona funkcji f(x) w przedziale X.

Jeżeli zastąpimy w wyrażeniu G[h(x)]+C symbol h(x) literą t, to otrzymamy G(t)+C, czyli całkę nieoznaczoną ∫ g( t) dt . Możemy zatem napisać (3.4)

∫ f ( x) dx = ∫ g t() dt

lub

(3.5)

∫ f ( x) dx = ∫ g[ h( x)] h'( x) dx = ∫ g( t) dt.

Ostatnią równość nazywamy wzorem na całkowanie przez podstawienie t =

h(x). Metoda całkowania przez podstawienie zwana jest także metodą całkowania przez zmianę zmiennej. Jest to jedna z najczęściej

stosowanych metod całkowania. Metodę tę stosujemy wtedy, gdy funkcja

podcałkowa jest funkcją złożoną. Metodę całkowania przez podstawienie

należy stosować wówczas, gdy całka ∫ g( t) dt jest łatwiejsza do obliczenia niż całka ∫ f ( x) dx . Nie istnieją zasady podstawiania przy obliczaniu całek.

Odpowiednich umiejętności nabywa się tylko drogą wprawy przez

obliczanie całek.

70

PRZYKŁAD 3.1. Obliczmy całkę

∫ 3

( x + 5

)

1 dx

Podstawiamy

t = 3 x + 1

, czyli h( x) = 3 x +1

Mamy

h' ( x) = ,

3

dt = 3 d .

x

Ponieważ

3

( x + )

1 5

1

= 3

( x + )

1 5 ⋅

3

{3 ,

4

1

4

2 3

4

1

4

2 3 h (' x)

f ( x)

g[ h( x)]

zatem

5

1

g( t) = t

3

Korzystając ze wzoru (5.7.5) otrzymujemy

5

1

5

1

5

1

∫ 3

( x + )

1

1

5 1

dx = ∫ t dt =

t dt = ⋅

t +

∫

+ C =

3

3

3

5 + 1

1 6

1

=

t + C =

3

( x + )

1 6 + C.

18

18

PRZYKŁAD 3.2. Obliczmy całkę

∫

3

3 2

x 2 x d .

x

Podstawiamy

3

t = x , czyli

3

h( x) = x . Ponadto

2

2

h' ( x) = 3 x oraz dt = 3 x dx . Mamy

2

3

3

x

x

2

3 x ⋅ 2

=

4

1

4

2 3

{

2

⋅ {

3 x

g[ h( x)]

f ( x)

h'( x)

71

zatem

t

g t

( ) = 2 . Ze wzoru na całkowanie przez podstawienie otrzymujemy

t

x 3

∫

3

2

2

2

3 x

x

2 dx

t

= ∫ 2 dt =

+ C =

+ C

ln 2

ln 2

W

dalszych

przykładach

zapisywać

będziemy

tylko

niezbędne

przekształcenia. Należy dodać, że wszystkie całki nieoznaczone są

określone tylko w dziedzinie funkcji podcałkowej.

PRZYKŁAD 3.3. Obliczmy całkę

sin 3

∫

x cos xd .

x

Podstawiamy t = sin x. Mamy

dt = cos xdx,

∫sin3 x cos

3

1

4

1

xdx = ∫ t dt = t + C = sin 4 x + C.

4

4

PRZYKŁAD 3.4. Obliczmy całkę

∫ x d . x

3 2

x + 1

Podstawiamy t = 3 2

x + 1. Mamy

dt = 6 xd ,

1

x

xdx = dt,

6

x

1

1

1

∫

dx = ∫ dt = ln | t |

1

+ C = ln 3

(

2

x + )

1 + C.

3 2

x + 1

6

t

6

6

Jeżeli mamy obliczyć całkę

ϕ'( x)

(3.6)

∫

dx

ϕ

( x)

72

tzn. całkę z funkcją podcałkową taką, że w liczniku jest pochodna mianownika, to stosujemy podstawienie

(3.7)

t = ϕ ( x).

Mamy więc

(3.8)

dt = ϕ'( x) dx

oraz

ϕ'( x)

dt

(3.9)

∫

dx = ∫

= ln | t | + C = ln | ϕ( x) | + C

ϕ( x)

t

PRZYKŁAD 3.4. Obliczmy całkę

∫ ctgxd . x

Mamy

cos x

∫ ctgxdx = ∫

d .

x

sin x

Stwierdzamy, że całka ta jest całką postaci (5.7.6), zatem

∫ ctgxdx = ln | sin x | + C.

PRZYKŁAD 3.5. Obliczmy całkę

∫

dx

.

x 3

( + ln x)

Podstawiamy t = 3 + ln x. Mamy dt

1

= dx , skąd

x

73

dx

dt

∫

= ∫ = ln | t | + C = ln | 3 + ln x | + C.

x 3

( + ln x)

t

Przy obliczaniu niektórych całek należy stosować podstawienie

x = ψ ( t) . Podamy obecnie drugie twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie x = ψ ( t) .

TWIERDZENIE

3.2

Jeżeli

funkcja

ψ ( t) jest różniczkowalna i

różnowartościowa w przedziale T i wartości funkcji ψ ( t) należą do przedziału X oraz funkcja f(x) dla x ∈ X ma funkcję pierwotną, to (3.10)

∫ f ( x) dx = ∫ f [ψ ( t)]ψ '( t) dt PRZYKŁAD 3.5. Obliczmy całkę

∫ dx .

3

x + x

Stosując podstawienie

6

x = t ( t ≥ )

0 mamy oraz

5

3

3

2

dx = 6 t dt, x = t , x = t

oraz

5

3

dx

t dt

t

∫

= 6∫

= 6∫

dt = 6∫ ( 2

t − t + 1

1

− ) dt =

3

2

+

3

t

x + x

t + t

t + 1

1

= [

6 1 3

1

2

t − t + t − ln( t + )

1 ] + C = 2 3

t − 3 2

t + 6 t − 6 ln( t + )

1 + C =

3

2

= 2 x − 33 x + 66 x − 6ln(6 x + )

1 + C.

74

4. CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

W wielu przypadkach przy obliczaniu całek nieoznaczonych korzysta się z

następującego twierdzenia o całkowaniu przez części:

TWIERDZIENIE 4.1. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u'(x) i v'(x), to zachodzi wzór zwany wzorem całkowania przez części

(4.1)

u( x) v'( x) dx = u( x) v( x) v( x) u' ( x) d .

∫

− ∫

x

D o w ó d. Mamy

[ u( x) v( x) − ∫ v( x) u'( x) dx]'= u'( x) v( x) + u( x) v'( x) − v( x) u'( x) = u( x) v'( x).

Z definicji całki nieoznaczonej wynika więc, że

[∫ u( x) v'( x) dx]'= u( x) v'( x).

Zatem wzór (4.1) jest prawdziwy.

Wzór (4.1) stosowany jest wówczas, gdy całka występująca po prawej

stronie tego wzoru jest łatwiejsza do obliczenia, aniżeli całka znajdująca się

po lewej stronie wzoru. Istotę całkowania przez części wyjaśnimy na

przykładach. Stosując pojęcie różniczki, wzór (4.1) można zapisać w

postaci

(4.2)

∫ udv = uv − ∫ vdu.

75

Obliczając całkę nieoznaczoną metodą całkowania przez części, oznaczamy odpowiednie czynniki funkcji podcałkowej przez u(x) i v'(x) (w podanych przykładach są one zapisane po lewej stronie pionowej kreski), a

następnie obliczamy u'(x) i v(x). Obliczana funkcja v(x) jest tutaj dowolną funkcją pierwotną funkcji v'(x).

PRZYKŁAD 4.1. Obliczmy całkę

∫ xexdx

Mamy

u = x, | u' = ,

1

v' = x

e

|

v = ∫ x

e dx = x

e ,

zatem

∫ xexdx = xex − ∫ exdx = xex − ex + C.

PRZYKŁAD 4.2. Obliczmy całkę

∫ln xdx.

Jeżeli daną całkę zapiszemy w postaci

∫1ln xdx

to

u = ln x, | u'= 1 ,

x

v' = ,

1

| v = x

76

oraz

∫ln xdx = x ln

1

x − ∫ x dx = x ln x − x + C.

x

PRZYKŁAD 4.3. Obliczmy całkę

∫ x sin xd . x

Mamy

u = x,

| u' = ,

1

v' = sin x | v = ∫

sin xdx = − cos x

zatem

∫ x sin xdx = − x cos x − ∫(−cos x) dx = − x cos x + sin x + C.

PRZYKŁAD 4.4. Obliczmy całkę

∫ ex cos xd . x

Mamy

u = cos x, | u' = − sin x,

x

x

v' = e ,

| v = e

(1)

∫ ex cos xdx = ex cos x + ∫ ex sin xd . x Obliczamy całkę

∫ ex sin xdx

77

Mamy

u = sin x, | u' = cos x,

x

x

v' = e ,

| v = e

Podstawiając tę całkę do całki (1) otrzymujemy

∫ ex cos xdx = ex cos x + ( ex sin x − ∫ ex cos xdx) = ex cos x + ex sin x − ∫ ex cos xd . x Ponieważ po obu stronach występuje ta sama całka z różnym znakiem,

zatem może napisać

2∫ ex cos xdx = ex cos x + ex sin x + 2 C, skąd

∫ ex cos

1

xdx = e x (cos x + sin x) + C.

2

Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych należy jednocześnie stosować

metodę całkowania przez części i metodę podstawiania.

PRZYKŁAD 4.5. Obliczmy całkę

x cos 2

∫

xd .

x

Ponieważ

1 + cos 2 x

cos 2 x =

,

2

zatem

78

(1)

∫ x cos2

1

d

x x = ∫ x 1

( + cos 2 x)

1

1

dx = ∫ xdx + ∫ x cos 2 xd .

x

2

2

2

Obliczamy całkę ∫ x cos 2 xdx stosując podstawienie t = 2x. Mamy dt = 2dx, skąd dx

1

= dt, x 1

= t oraz

2

2

(2)

∫ x cos2

1

xdx = ∫ t cos 1

1

t dt = ∫ t cos tdt.

2

2

4

Obliczamy całkę ∫ t cos tdt. korzystając z metody całkowania przez części.

Mamy

u = t,

| u' = ,

1

v' = cos t,

| v = ∫

cos tdt = sin t

(3)

∫ t cos tdt = t sin t − ∫sin tdt = t sin t + cos t Podstawiamy całkę (3) do całki (2), wyniku otrzymujemy

∫ x cos2

1

xdx = ( t sin t + cos t)

1

= x sin 2

1

x + cos 2 .

x

4

2

4

Zatem wykorzystując równość (1) mamy ostatecznie

∫ x cos2 xdx = 1 x 2 + 1 x sin 2 x + 1 cos 2 x + C

4

4

8

5. CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji

wymiernej jest więc postaci:

W ( x)

n

n 1

a x

n

n

+

−

an− x

+ ... + a x + a

1

1

0

∫

dx = ∫

d .

x

W ( x)

m

m 1

b x

m

m

+

−

bm− x

+ ... + b x + b

1

1

0

79

Całkę tego typu można rozłożyć na sumę całek, z których każdą w wyniku dalszych przekształceń, sprowadza się do wzorów podstawowych

rachunku całkowego. Przy obliczaniu postępujemy w następujący sposób:

1) skracamy ułamek, aby wielomiany Wn(x) i Wm(x) nie miały wspólnych czynników,

2) jeżeli n ≥ m , to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej,

w której już stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika,

3) jeżeli n<m, to mianownik rozkładamy na czynniki liniowe i kwadratowe o wyróżniku ujemnym, a następnie funkcję podcałkową

rozkładamy na ułamki proste, tj. na wyrażenia postaci

A

B + C

x

oraz

(p, k – liczby naturalne),

k

2

p

( ax + b)

( cx + dx + e)

gdzie A, B, C, a, b, c, d, e są liczbami stałymi.

Sposób rozkładania funkcji wymiernej na ułamki proste oraz obliczania

całek z ułamków prostych zostanie przedstawiony w podanych poniżej

przykładach.

PRZYKŁADY

cdx

1. Obliczyć całkę ∫

, a ≠ 0.

ax + b

Rozwiązanie. Zakładamy, że ax+b≠ 0. Wykonujemy podstawienie ax+b=t.

Różniczkują otrzymujemy adx=dt, skąd dx

1

= dt . Podstawiamy te wartości

a

do całki:

80

cdx

c 1 dt

c

dt

a

c

∫

= ∫

= ∫ = ln | t | + C c

= ln | ax + b | + C

ax + b

t

a

t

a

a

ax + b

2. Obliczyć całkę ∫

dx, m ≠ .

0

mx + n

Rozwiązanie. Zakładamy, że mx+n jest różne od zera. Dzielimy licznik przez mianownik, ponieważ są równego stopnia.

ax + b

a

b

an

− m

=

+

,

mx + n

m

mx + n

( ax + b) dx

b

an

−

dx

a

∫

= ∫ dx

m

+ ∫

dx

a

= x + ( b an

− )∫

=

m

m

m

sk

+

+

+

ąd

mx

n

mx

n

mx

n

bm − an

a x +

ln | mx + n | + C.

x

2

m

W dalszym ciągu zajmiemy się całkami typu

∫

dx

,

a ≠ 0

2

ax + bx + c

Obliczamy je różnie w zależności od znaku wyróżnika trójmianu ax 2 + bx + c .

Na przykładach rozpatrzymy przypadki: ∆ > ,

0 ∆ = ,

0 ∆ < 0 .

Przykłady

dx

1. ∆ > 0 . Obliczyć całkę ∫

− 2

x − 2 x + 15

Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik trójmianu znajdującego się w

mianowniku ∆ = 4 + 60 = 64 > 0 . Mianownik ma pierwiastki -5 i 3, a więc rozkłada się na czynniki liniowe:

2

− x − 2 x +15 ≡ −( x + )

5 ( x − )

3 ≡ ( x + )

5 3

( − x)

81

W

dalszych

rozważaniach

przyjmujemy

ograniczenia:

x ≠ − ,

5 x ≠ 3 .

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych:

1

A

B

=

+

− x 2 − 2 x +15 x + 5 3 − x

W celu wyliczenia stałych A i B mnożymy obie strony tożsamości przez (x+5)(3-x) i otrzymujemy

1 ≡ A 3

( − x) + B( x + )

5 , skąd 1 ≡ ( B − )

A x + 3

( A + 5 B)

Mamy tutaj do czynienia z tożsamością, czyli związkiem, który jest

spełniony dla każdego x. Z porównania współczynników przy różnych

potęgach x, po obu stronach tożsamości, wynikają następujące zależności:

B-A=0,

3A+5B=1, skąd

1

A = ,

1

B = .

8

8

Wracając do funkcji podcałkowej otrzymujemy rozkład:

1

1

1

8

8

≡

+

.

2

− x − 2 x +15 x + 5 3 − x

Całkujemy obie strony tożsamości i po prawej stronie wynosimy czynniki stałe przed znak całki:

dx

dx

1

dx

x +

∫

= 1

2

8 ∫

+ ∫

=

5

1 ln | x + 5 | − 1 ln | x − 3 | + C = 1 ln

+ C

− x − 2 x +15

x + 5

8 3 − x

8

8

8

x − 3

dx

2. ∆ = 0 . Obliczyć całkę ∫

4 2

x − 20 x + 25

82

Rozwiązanie. Mamy ∆ = 400 − 400 = 0 , a więc mianownik jest kwadratem zupełnym

2

2

4 x − 20 x + 25 = (2 x − )

5 . Zakładamy, ze

5

x ≠ i podstawiamy 2x-5=t.

2

Różniczkując otrzymujemy 2dx = dt, skąd dx=1/2 dt . Obliczamy: dx

dx

1 dt

2

1

−2

1

−1

1

−1

−

∫

=

2

∫

=

2

∫

=

2

2 ∫

1

t dt = − t

+ C = − (2 x − )

5

+ C =

+ C

4 x − 20 x + 25

(2 x − )

5

t

2

2

(

2 2 x − )

5

dx

3. ∆ < 0 . Obliczyć całkę ∫

2 2

x −12 x + 27

Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik mianownika ∆ = 144 − 216 = −72

Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej wg wzoru:

2

ax + bx + c = a ([ x + ba )2 + −∆

2

(4 2 a)]

2 2

x −12 x + 27 = 2 ([

12

x −

+

= x −

+

2⋅2 )2

72

4⋅4 ]

2(

)

3 2

9.

A więc

∫

dx

=

dx

1

2

2 ∫

2 x −12 x + 27

( x −

2

)

3

+ 92

W całce tej postaci dokonujemy podstawienia x

9

− 3 =

t , skąd dx

9

=

dt .

2

2

Podstawiając powyższe wartości do całki, mamy:

9

9

dx

dt

2

2

dt

2

2

∫

= ∫

=

∫

=

arctgt =

arctg

x −

+ C

2 9

9

2

9

9

2

3

3

( 2( )3

9

) .

( x − )

3

t +

t + 1

2

2

2

2

Ostatecznie otrzymujemy

dx

1

2

∫

=

arctg

x −

+ C =

arctg

x −

+ C

2

2

3

( 2 ( )3)

1

3

3 2

( 2 ( )3

3

) .

2 x −12 x + 27

83

W dalszym ciągu interesować nas będą metody obliczania całek postaci: mx +

∫

n

d ,

x

a ≠ 0.

2

ax + bx + c

Przede wszystkim sprawdzamy, czy licznik nie jest pochodną mianownika,

bo wówczas wynik otrzymujemy natychmiast korzystając ze wzoru:

f '( x

∫

) dx = ln | f ( x) | + C

f ( x)

Jeżeli licznik nie jest pochodną mianownika, ani nie jest do niej

proporcjonalny, to sposób obliczania tych całek zależy (podobnie jak

poprzednio) od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego znajdującego się

w mianowniku funkcji podcałkowej. Na przykładach rozpatrzymy przypadki:

∆ > ,

0 ∆ = ,

0 ∆ < 0.

Przykłady

x − 2

1. ∆ > 0 . Obliczyć całkę ∫

dx

x 2 − 7 x + 12

Rozwiązanie. Obliczamy ∆ = 49 − 48 = 1 > 0 , a więc trójmian mianownika ma pierwiastki 3 i 4 i rozkłada się na czynniki liniowe (x-3)(x-4). Zakładając, że x ≠ 3 i x ≠ 4 , rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste: x − 2

≡ A + B

2

x − 7 x + 12

x − 3

x − 4

Mnożąc obie strony tożsamości przez wspólny mianownik otrzymujemy:

x − 2 ≡ (

A x − )

4 + B( x − )

3

84

W przykładzie tym obliczymy współczynniki A i B inną metodą. W miejsce x podstawiamy kolejno pierwiastki mianownika funkcji podcałkowej.

Przyjmując x=4 otrzymujemy:

4 − 2 = B(4 − )

3 , skąd B=2

Podobnie przyjmując x=3 mamy:

3-2=A(3-4), skąd A=-1.

A więc

x − 2

−1

2

≡

+

2

x − 7 x + 12

x − 3

x − 4

Obliczamy

x − 2

dx

dx

∫

dx = −∫

+ 2∫

= −ln | x − 3 | 2

+ ln | x − 4 | + C.

2

x − 7 x + 12

x − 3

x − 4

3 x − 2

2. ∆ = 0 . Obliczyć całkę ∫

dx

x 2 + 6 x + 9

Rozwiązanie. Mamy ∆ = 36 − 4 ⋅ 9 = 0 . Mianownik jest pełnym kwadratem

2

2

x + 6 x + 9 = ( x + )

3 . Zakładamy, że x ≠ 3

− .

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste w następujący sposób:

3 x − 2

≡

A

+ B

2

x + 6 x + 9

( x + )

3 2

x + 3

Mnożąc obie strony tożsamości przez wspólny mianownik otrzymujemy

3 x − 2 ≡ A + B( x + )

3 = Bx + ( A + 3 B)

85

Rozwiązujemy układ równań

3=B i A+3B=-2, skąd B=3, A=-11

Otrzymujemy tożsamość

3 x − 2

−11

3

≡

+

2

x + 6 x + 9

( x − )

3 2

x + 3

Całkujemy

3 x − 2

dx

dx

 −1 

∫

dx = −1

2

∫

1

+ 3

2

∫

= −1 

1

 + 3ln | x + 3 | + C

x + 6 x + 9

( x + )

3

x + 3

 x + 3 

Ostatecznie więc

3 x −

∫

2

11

dx =

+ 3ln | x + 3 | + C

x 2 + 6 x + 9

x + 3

4 x − 3

3. ∆ < 0 . Obliczyć całkę ∫

dx .

x 2 + 3 x + 4

Rozwiązanie. Wyróżnik mianownika

∆ = 9 −16 = 7

− < 0 . Wtedy licznik

sprowadzamy do następującej postaci

C ⋅

1 (pochodna mianownika) + C2

gdzie C1, C2 - odpowiednio dobrane stałe. W tym celu obliczamy

pochodną mianownika

( 2

x + 3 x + 4)'= 2 x + 3

Następnie dzieląc licznik przez pochodną mianownika otrzymujemy:

86

4 x − 3

9

= 2 −

, skąd

4x-3=2(2x+3)-9

2 x + 3

2 x + 3

A więc

4 x − 3

(

2 2 x + )

3 − 9

dx =

d .

∫

∫

x

2

x + 3 x + 4

2

x + 3 x + 4

Daną całkę rozwijamy na sumę dwóch całek i czynniki stałe wynosimy

przed znak całki:

∫ (4 x − )

3 dx

x

dx

dx

2

2

∫ (2 +

=

)

3

− 9

2

∫

x + 3 x + 4

x + 3 x + 4

2

x + 3 x + 4

Obliczamy kolejno obie całki. W pierwszej z nich licznik jest pochodną mianownika. Wynik jest więc natychmiastowy:

2 x + 3

∫

dx = ln | 2

x + 3 x + 4 |

2

x + 3 x + 4

Drugą całkę najpierw zapisujemy następująco:

∫

dx

=

dx

2

∫

x + 3 x + 4

( x + 3 2

) + 7

2

4

A następnie wykonujemy podstawienie

7

x

3

7

+ =

t , skąd dx =

dt

2

4

2

Podstawiając otrzymujemy

dx

7 dt

7

dt

2

2

2( x + 3 )

2

2 x

2

2

2

+

∫

=

2

∫

=

7

2

7

7

∫

=

3

arctgt + C =

arctg

+ C =

arctg

+ C

x + 3 x + 4

t +

t 2

4

4

4

+1

7

7

7

7

7

87

Wracając do danej całki mamy ostatecznie:

4 x − 3

2

18

2 x +

∫

3

dx = 2 ln( x + 3 x + )

4 −

arctg

+ C

x 2 + 3 x + 4

7

7

W ten sposób, rozpatrując wszystkie możliwe przypadki, zakończyliśmy

badanie całek mających w mianowniku funkcję liniową lub funkcję

kwadratową. Teraz obliczymy całki o mianowniku stopnia wyższego niż 2.

Przykłady

dx

1. Obliczyć całkę ∫

(n- liczba naturalna).

( 2 + n

x

)

1

Rozwiązanie. Będziemy szukali tak zwanego wzoru redukcyjnego (lub

rekurencyjnego), na podstawie którego wyrazimy daną całkę przez całkę o

niższej potędze w mianowniku. W tym celu robimy następujące

przekształcenie.

dx

x 2

1

x 2

dx

x 2 dx

I

dx

.

n = ∫

=

2

n

∫ + −

=

2

n

∫

−

2

n−1

∫

( x + )

1

( x + )

1

( x + )

1

( x 2 + n

)

1

Otrzymaliśmy wzór

x 2 dx

I

I

n =

n−1 − ∫ ( x 2 + n

)

1

Weźmy pod uwagę drugą całkę:

2

∫ x dx =

xdx

x

2

n

∫

( x + )

1

( x 2 + n

)

1

i zastosujmy wzór na całkowanie przez części:

88

xdx

u = x, dv =

2

n

( x + )

1

skąd

xdx

−1

du = dx, v = ∫

=

2

n

2

n 1

( x + )

1

2( n − )

1 ( x

)

1 −

+

Mamy więc

2

x dx

− x

dx

−1

x

1

∫

=

+

I

n

n

∫

=

+

2

2

1

−

2

n 1

−

2

n 1

−

n 1

−

( x + )

1

(2 n − 2)( x + )

1

(2 n − 2)( x + )

1

2 n − 2 ( x + )

1

2 n − 2

Podstawiając ten wynik do wzoru na In otrzymujemy:

1

x

1

I

I

I

n =

n

+

−

1

−

2

n 1

−

n 1

−

2 n − 2 ( x + )

1

2 n − 2

Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny dla n>1:

1

x

2 n − 3

I

I

n =

+

2

n 1

−

n 1

−

2 n − 2 ( x + )

1

2 n − 2

dx

2. Obliczyć całkę ∫

4

x + 64

Rozwiązanie. W całce tej mianownik jest wielomianem stopnia 4, wobec

czego musimy go rozłożyć na iloczyn czynników liniowych i czynników

kwadratowych o delcie ujemnej. W tym celu dodajemy i odejmujemy w

mianowniku jednomian 16x2, otrzymamy wtedy

4

4

2

2

2

2

2

x + 64 = x + 16 x + 64 −16 x = ( x + )

8

−16 x

89

Do ostatniej różnicy możemy zastosować znany wzór 2

2

a − b = ( a − b)( a + b) ,

mamy więc

4

x + 64 = ( 2

x + 8 − 4 x)( 2

x + 8 + 4 x)

Otrzymanych czynników kwadratowych nie możemy dalej rozkładać,

ponieważ obydwa mają wyróżniki ujemne. Widzimy więc, że dany

wielomian stopnia 4 rozkłada się na iloczyn wyłącznie czynników

kwadratowych. Funkcję podcałkową możemy wobec rozłożyć na ułamki

proste postaci:

1

Ax + B

Cx +

≡

+

D

4

x + 64

2

x + 4 x + 8

2

x − 4 x + 8

Mnożąc przez wspólny mianownik otrzymujemy

1 ≡ ( Ax + B)( 2

x − 4 x + )

8 + ( Cx + D)( 2

x + 4 x + )

8 ,

1

3

≡ x ( A + C)

2

+ x ( B − 4 A + D + 4 C) + x 8

( A − 4 B + 8 C + 4 D) 8

( B + 8 D).

Po porównaniu współczynników przy równych potęgach x, otrzymujemy

układ równań:

0 = A + C

0 = B − 4 A+ D + C

4



0 = 8 A − 4 B + C

8 + 4 D

1 = 8 B + 8 D

skąd

1

1

1

1

A =

, B =

, C = −

, D =

.

64

16

64

16

Korzystając z wyliczonych stałych, daną całkę przedstawiamy jako sumę

dwu całek w sposób następujących:

90

1

1

1

1

dx

x +

− x +

1

( x + 4) dx

1

( x − 4) dx

1

1

64

16

64

16

I = ∫

= ∫

dx + ∫

dx =

∫

−

∫

=

I −

I .

4

2

2

2

2

1

2

x + 64

x + 4 x + 8

x − 4 x + 8

64

x + 4 x + 8

64

x − 4 x + 8

64

64

Całki I1, I2 wyliczymy wg metod podanych poprzednio:

x

dx

x

dx

dx

I

dx

x

x

1

∫ ( +

=

4)

1

4

2 ∫

2 +

=

4

+ 2

2

∫

= 1 ln( 2 + 4 + )

8 + 2

2

2

∫

x + 4 x + 8

x + 4 x + 8

x + 4 x + 8

( x + 2)2 + 4

Mianownik w ostatniej całce sprawdziliśmy do postaci kanonicznej.

Podstawiając x+2=2t mamy dx=2dt, a po podstawieniu do całki otrzymujemy:

dx

2 dt

dt

x + 2

1

1

1

∫

= ∫

= ∫

= arctgt = arctg

( x + 2)2 + 4

4 2

t + 4

2

2

t + 1

2

2

2

Wstawiając wynik do I1 mamy:

x + 2

1

2

I = ln( x + 4 x + )

8 + arctg

+ C

1

2

1

2

Liczymy w podobny sposób całkę I2:

x

dx

x

dx

dx

I

dx

x

x

2

∫ ( −

=

4)

1

4

2 ∫

2 −

=

4

− 2

2

∫

= 1 ln( 2 − 4 + )

8 − 2

2

2

∫

x − 4 x + 8

x − 4 x + 8

x − 4 x + 8

( x − 2)2 + 4

Podstawiamy w ostatniej całce x-2=2t, skąd dx=2dt oraz

dx

2 dt

dt

x − 2

1

1

1

∫

= ∫

= ∫

= arctgt = arctg

( x − 2)2 + 4

4 2

t + 4

2

2

t + 1

2

2

2

Wracając do mamy:

x − 2

1

2

I = ln( x − 4 x + )

8 + arctg

+ C

2

2

2

2

91

Podstawiając C1+C2=C, ostatecznie otrzymujemy:

dx



x + 



x − 

2

2

2

2

1

1

I = ∫

=  ln( x + 4 x + )

8

1

1

+ arctg

 −  ln( x − 4 x + )

8 − arctg

 =

4

x + 64

64

2



2

64

2





2 

2



x + 4 x + 8

x + 2

x − 2 

1

1

=

ln

+ arctg

+ arctg



 + C.

64

2

2



x − 4 x + 8

2

2 

92