¢wiczenia z algebry liniowej dla grupy 13
pierwsza kartka
relacje
1. Sprawdzi¢ czy nast¦puj¡ce relacje s¡ relacjami równowa»no±ci:
a) R = {(1 , 2) , (2 , 1) , (3 , 4) , (4 , 3) } w zbiorze { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, b) a ∼ b ⇔ a 2 + 2 a = b 2 + 2 b w zbiorze Z, c) x ∼ y ⇔ x < y lub y < x w zbiorze R,
d) x ∼ y ⇔ ( x − y)2 < 1 w zbiorze R.
2. Sprawdzi¢ ile jest relacji równowa»no±ci na zbiorze 3-elementowym.
3. W zbiorze N zdeniujmy relacj¦ ρ nast¦puj¡cym warunkiem:
√
√
n ρ m wtw gdy b nc = b mc
√
( b xc oznacza najwi¦ksz¡ liczb¦ caªkowit¡ nie wi¦ksz¡ od x).
(1) Sprawdzi¢, »e ρ jest relacj¡ równowa»no±ci.
(2) Wyznaczy¢ klasy elementów: 2 , 3 , 5.
(3) Obliczy¢ liczb¦ elementów klasy [333].
4. Dla X, Y ⊂ Z niech X + Y = {x + y : x ∈ X, y ∈ Y } oraz X · Y = {xy : x ∈ X, y ∈ Y }. Niech k ∈ Z. W zbiorze Z zdeniujmy relacj¦ ∼k nast¦puj¡cym warunkiem:
a ∼k b ⇔ istnieje l ∈ Z takie, »e kl = a − b.
Niech Z k = Z /∼ .
k
a) W zale»no±ci od k, ile elementów posiada zbiór Z k?
b) Dla k = 7 opisa¢ klasy [7] i [8].
c) Pokaza¢, »e dla a, b ∈ Z zachodzi wzór [ a] + [ b] = [ a + b] .
d) Pokaza¢, »e dla a, b ∈ Z zachodzi wzór [ a] · [ b] = [ ab] .
funkcje
5. Które z nast¦puj¡cych relacji s¡ funkcjami?
a) R ⊂ R × R, xRy ⇔ x = y+1, b) R ⊂ R × R, xRy ⇔ x 2 = y 2, c) R ⊂ R × R, xRy ⇔ x = y 3, d) R ⊂ R × R, xRy ⇔ x 3 = y, e) R ⊂ R × R, xRy ⇔ x = y 2, f) R ⊂ [0 , + ∞) × [0 , + ∞), xRy ⇔ x = y 2, g) R ⊂ R × [0 , + ∞), xRy ⇔ x = y 3, h) R ⊂ R × R, xRy ⇔ x < y, i) R ⊂ Z × Z, xRy ⇔ x = y 3.
6. Wyznaczy¢, je±li istniej¡, zªo»enia f ◦ g i g ◦ f, dla
a) f : 2
2
2
2
R → R , f ( x, y) = (ln( x 2 + 1) , π) i g : R → R , g( t, s) = ( t − s, t + s), b) f :
3
3
R → R , f ( x) = ( x, x + 1 , x + 2) i g : R → R , g( x) = ( x, x − 1 , x − 2), c) f : 2
3
2
R → R , f ( x, y) = ( x, y, x − y) i g : R → R , g( x) = (sin x, cos x).
7. Wyznaczy¢ obraz zbioru (0 , 1) i przeciwobraz zbioru [1 , 2] przez funkcj¦
f : R → R gdy f jest dane wzorem:
a) f( x) = x + 1, b) f( x) = x 2, c) f( x) = 1 , d) f( x) = 4 x(1 − x).
x 2+1
wyznaczniki 2 × 2 i 3 × 3
8. Obliczy¢ wyznaczniki nast¦puj¡cych macierzy:
3
1
0
3
517
2
3
2
1
17
a) 1 3 , b) 3 20 , c)
1
1
1
, d)
0
1
π
, e)
5
1
6
.
1
1
4
27
3
1
1
0
0
1
3
2
1