Matemat
yk
a
dyskretna
materiaªy
¢wiczenio
w
e
Studia
dzienne
PJWSTK
SPRA
WDZIAN
I
I
I
Imi¦
i
nazwisk
o:
Nr
indeksu:
Nr
grup
y:
Uw
aga!
Spra
wdzian
jest
testem
wielokrotnego
wyb
oru,
gdzie
wszystkie
mo»liw
e
k
om
binacje
o
dp
o
wiedzi
s¡
dopuszczalne
(tj.
zaró
wno
wszystkie
o
dp
o
wiedzi
p
opra
wne,
cz¦±¢
o
dp
o
wiedzi
p
opra
wna
jak
i
brak
o
dp
o
wiedzi
p
opra
wn
yc
h).
P
opra
wne
o
dp
o
wiedzi
nale»y
zaznaczy¢,
z
lew
ej
stron
y
k
artki,
sym
b
olem
+.
Natomiast
sym
b
ol
-
jak
i
brak
sym
b
olu
przy
o
dp
o
wiedzi
oznacza
o
dp
o
wied¹
niep
opra
wn¡.
Pytanie
jest
uznane
za
p
opra
wnie
rozwi¡zane
(tj.
+1pkt)
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
gdy
wszystkie
jego
o
dp
o
wiedzi
zaznaczone
s¡
p
opra
wnie.
yczym
y
p
o
w
o
dzenia
...
1.
Zaªó»m
y
,
»e:
•
α
i
0 < i ≤ 103
p
ewna
wªasno±¢
zac
ho
dzi
dla
liczb
naturaln
yc
h
takic
h,
»e
,
•
α
j, j + 1, . . . , j + 102
je»eli
wªasno±¢
zac
ho
dzi
dla
p
ewn
yc
h
liczb
naturaln
yc
h
,
to
zac
ho
dzi
j + 102 + 1
tak»e
dla
liczb
y
,
α
wtedy
wªasno±¢
zac
ho
dzi
dla:
0
(a)
[]
,
104
(b)
[+]
,
109
(c)
[+]
do
w
olnej
liczb
y
naturalnej
wi¦kszej
o
d
.
2.
Rozw
a»m
y
nast¦puj¡cy
algorytm
∈ N
int
Cos(int
n)
{
//
wp:
n
int
i=0,
s=0;
≤
while
(i
n)
{
i=i+1;
s=s+i;
}
return
s;
}
wtedy:
s = i(i+1)
(a)
[+]
niezmiennikiem p
¦tli
w
programie
Cos
jest
form
uªa
2
,
s = (i−1)i
(b)
[]
niezmiennikiem p
¦tli
w
programie
Cos
jest
form
uªa
2
,
i ≥ 0
(c)
[+]
niezmiennikiem p
¦tli
w
programie
Cos
jest
form
uªa
.
3.
W
urnie
zna
jduje
si¦
15
kul
biaªyc
h,
20
kul
szaryc
h
oraz
25
kul
czarn
yc
h.
W
yjm
ujem
y
p
o
jedynczo
z
urn
y
14
kul
i
usta
wiam
y
je
jedna
za
drug¡.
Ile
ró»n
yc
h
(w
sensie
k
oloró
w
kul)
usta
wie«
mo»em
y
uzysk
a¢?
14
314 · 14 ·
(a)
[]
3
.
14!
(b)
[]
.
314
(c)
[+]
.
1
P
a
w
eª
Remb
elski
Matemat
yk
a
dyskretna
materiaªy
¢wiczenio
w
e
Studia
dzienne
PJWSTK
4.
W
skrzynce
zna
jduje
si¦
16
jabªek,
20
gruszek
i
24
±liwki.
W
yjm
ujem
y
p
o
jedynczo
ze
skrzynki
13
o
w
o
có
w
i
usta
wiam
y
je
jeden
za
drugim.
Ile
ró»n
yc
h
(w
sensie
gatunku
o
w
o
có
w)
usta
wie«
mo»em
y
uzysk
a¢,
je»eli
wiem
y
,
»e
zbudujem
y
ci¡
g
o
w
o
có
w
skªada
j¡cy
si¦
z
jednego
jabªk
a,
sze±ciu
gruszek
i
sze±ciu
±liw
ek?
12 · 13!
(a)
[]
6
.
60 · 13!
(b)
[]
13
.
12
+ 13 · 3
(c)
[]
6
.
5.
Na
ile
sp
osob
ó
w
mo»na
wªo»y¢
5
kul
p
on
umero
w
an
yc
h
liczbami
o
d
0
do
4
do
dw
ó
c
h
iden
t
yczn
yc
h
urn
tak,
ab
y
w
k
a»dej
urnie
zna
jdo
w
aªy
si¦
co
na
jmniej
dwie
kule?
5!
(a)
[]
.
5
5
+
(b)
[]
2
3
.
5 5 5 5
·
·
·
(c)
[]
5
4
3
2
.
6.
Mam
y
osiem
ró»n
yc
h
ksi¡»ek
angielskic
h,
sze±¢
niemiec
kic
h
i
dziewi¦¢
p
olskic
h.
Na
ile
ró»n
yc
h
sp
osob
ó
w
mo»na
usta
wi¢
w
rz¦dzie
siedem
sp
o±ró
d
t
yc
h
ksi¡»ek,
je»eli
»¡dam
y
ab
y
p
ewne
trzy
ksi¡»ki
(angielsk
a,
niemiec
k
a
i
p
olsk
a)
staªy
za
wsze
k
oªo
siebie
(w
do
w
olnej
k
olejno±ci)?
20 · 19 · 18 · 17 · 4!
(a)
[]
.
23
X
23
(b)
[]
i
.
i=1
23
23! ·
(c)
[]
7
.
7.
Rzucam
y
12
razy
symetryczn¡
monet¡.
Wiem
y
,
»e
w
pierwszym
rzucie
otrzymam
y
reszk
¦.
Ile
jest
mo»liwyc
h
wynik
ó
w
rzutó
w,
w
któryc
h
reszk
a
wypadªa
parzyst¡
liczb
¦
razy?
11
11
11
11
+
+
+ . . . +
(a)
[+]
1
3
5
11
.
14! · (2 + 4 + 6 + 8 + 10) (b)
[]
.
12
12
12
12
+
+
+ . . . +
(c)
[]
0
2
4
12
.
8.
Egzamin
z
matemat
yki
dyskretnej
zaliczyªy
62
osob
y
.
Ile
co
na
jmniej
liczy
grupa
studen
tó
w,
którzy
dostali
na
jcz¦±ciej
wysta
wion¡
o
cen¦,
je»eli
przyjm
ujem
y
sk
al¦
o
cen
caªk
o
wit
yc
h
o
d
2
do
5,
tj.
b
ez
plusó
w,
min
usó
w
itd.
16
(a)
[]
.
11
(b)
[]
.
19
(c)
[]
.
X
n
9.
Niec
h
b
¦dzie
-elemen
to
wym
zbiorem.
Ile
mo»na
ut
w
orzy¢
ró»n
yc
h
(w
sensie
par
skªado
wyc
h)
X
relacji
jedno
cze±nie
symetryczn
yc
h
i
asymetryczn
yc
h
nad
zbiorem
?
n(n
2
−1)
2
(a)
[]
.
2n2 n
−
+1
(b)
[]
.
n
X
n
2n −
(c)
[]
i
.
i=0
2
P
a
w
eª
Remb
elski
Matemat
yk
a
dyskretna
materiaªy
¢wiczenio
w
e
Studia
dzienne
PJWSTK
X
n
10.
Niec
h
b
¦dzie
-elemen
to
wym
zbiorem.
Ile
mo»na
ut
w
orzy¢
ró»n
yc
h
(w
sensie
klas
abstrak
cji)
X
m
m = n
relacji
ró
wno
w
a»no±ci
nad
zbiorem
,
które
dziel¡
ten
zbiór
na
klas
abstrak
cji,
gdzie
.
2n · n!
(a)
[]
.
n
(b)
[]
1
.
S (n, n)
(c)
[+]
.
11.
Na
ile
sp
osob
ó
w
mo»em
y
rozdzieli¢
26
ró»n
yc
h
czek
olad
do
5-ciu
iden
t
yczn
yc
h
toreb
tak,
ab
y
k
a»da
za
wieraªa
co
na
jmniej
jedn¡
ale
nie
wi¦cej
ni»
21
czek
olad?
24
S (25, 5) −
(a)
[]
5
.
26
S (26, 5) −
(b)
[]
5
.
26
S (26, 5) −
(c)
[+]
4
.
S
T
12.
Niec
h
i
b
¦d¡
p
ewn
ymi
niepust
ymi
rozª¡czn
ymi
zdarzeniami
nad
przestrzeni¡
zdarze«
elemen-
Ω
tarn
yc
h
.
Pra
wd¡
jest,
»e:
P (S ∩ T ) = 0
(a)
[+]
,
P (S ∪ T ) = P (S) + P (T ) − 2 · P (S ∩ T ) (b)
[+]
,
P (S ∩ T ) 6= P (S) · P (T ) (c)
[+]
?
13.
Z
talii
52
k
art
wyci¡
gni¦to
loso
w
o
k
art¦.
Jakie
jest
pra
wdop
o
dobie«st
w
o,
»e
jest
to
sió
demk
a,
je»eli
wiadomo,
»e
wyci¡
gni¦ta
k
arta
nie
jest
gur¡
ani
asem?
1
(a)
[]
2 .
4
(b)
[+]
36 .
1
(c)
[+]
9 .
14.
Rzucam
y
k
ostk
¡,
a»
do
p
o
wtórzenia
liczb
y
o
czek
z
pierwszego
rzutu.
Jakie
jest
pra
wdop
o
dobie«-
st
w
o,
»e
wyk
onano
pi¦¢
rzutó
w?
1
(a)
[]
Co
na
jmniej
2 .
1
(b)
[+]
Co
na
jwy»ej
2 .
(c)
[]
Nie
mo»na
wyznaczy¢
pra
wdop
o
dobie«st
w
a
tego
zdarzenia
p
oniew
a»
elemen
tarne
rzut
y
k
ostk
¡
nie
s¡
zdarzeniami
niezale»n
ymi.
X
15.
Rozkªad
zmiennej
loso
w
ej
okre±la
funk
cja
pra
wdop
o
dobie«st
w
a
dana
p
oni»sz¡
tab
elk
¡,
wtedy:
xi
1
2
3
4
pi
0,1
0,2
0,3
0,4
F (2, 5) = 0, 3
(a)
[+]
,
E (X) = 3
(b)
[+]
,
V (X) = 7
(c)
[]
.
3
P
a
w
eª
Remb
elski
Matemat
yk
a
dyskretna
materiaªy
¢wiczenio
w
e
Studia
dzienne
PJWSTK
16.
Zapis
auten
t
ycznej
rozmo
wy
radio
w
ej
przepro
w
adzonej
mi¦dzy
ameryk
a«skim
okr¦tami
a
Kanadyj-
czyk
ami.
Miaªa
ona
miejsce
w
pa¹dzierniku
1995r.
u
wybrze»y
No
w
ej
F
unlandii.
• Kanadyjczycy: Prosz¦ o zmian¦ kursu o 15 stopni na poªudnie w celu unikni¦cia kolizji.
• Amerykanie: Radzimy wam zmieni¢ kurs o 15 stopni na póªnoc, aby unikn¡¢ kolizji.
• Kanadyjczycy: To niemo»liwe. To wy b¦dziecie musieli zmieni¢ kurs o 15 stopni na poªudnie, ab
y
unikn¡¢
k
olizji.
• Amerykanie: Mówi kapitan okr¦tu wojennego Stanów Zjednoczonych. Powtarzam ponownie: wy
zmie«cie
kurs.
• Kanadyjczycy: Nie. Powtarzam: zmie«cie kurs, aby unikn¡¢ kolizji.
• Amerykanie: Mówi kapitan lotniskowca USS "Lincoln" - drugiego pod wzgl¦dem wielko±ci okr¦tu
b
o
jo
w
ego
ameryk
a«skiej
marynarki
w
o
jennej
ot
y
atlan
t
yc
kiej.
T
o
w
arzysz¡
nam
trzy
niszczyciele,
trzy
kr¡»o
wniki
i
wiele
inn
yc
h
okr¦tó
w
wsp
omagania.
Domagam
si¦,
ab
y±cie
to
wy
zmienili
kurs
o
15
stopni
na
p
óªno
c.
W
inn
ym
przypadku
p
o
dejmiem
y
k
on
trdziaªania
w
celu
obron
y
grup
y!
• Kanadyjczycy: Mówi latarnia morska: wasz wybór!
Jak
sk
o«czyªa
si¦
o
w
a
historia:
(a)
dobrze,
(b)
¹le,
(c)
tego
nie
wiedz¡
na
w
et
na
jstarsi
górale.
4
P
a
w
eª
Remb
elski