Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
69; 561
0; 136
4; 639
23643540
184404
1.
W badania przeprowadzonych w ostatnich latach w Wietnamie rozwa·
zano grup ¾
e
100000 noworodków. Wyniki badań dotycz ¾
ace prze·
zywalności populacji w Wietnamie uleg÷
y
jednak cz ¾
eściowemu zniszczeniu i zachowa÷
y si ¾
e jedynie nast ¾
epuj ¾
ace informacje: l69 = 55550,
q69 = 0; 04, l71 = 45000, p0 = 0; 9732, l99 = 564, q100 = 0; 25. Wiadomo równie·
z, ·
ze w populacji
tej prawdziwe jest za÷
o·
zenie o jednostajnym rozk÷
adzie zgonów w ci ¾
agu roku. Rozstrzygnij, czy
na podstawie zachowanych informacji mo·
zna obliczyć median ¾
e zmiennej losowej T (1), a jeśli tak, to wyznacz j ¾
a. Odpowiedź podaj z dok÷
adności ¾
a do trzech miejsc po przecinku.
Na podstawie zachowanych informacji wnioskujemy, ·
ze l1 = l0 p0 = 100000 0; 9732 = 97320
oraz l70 = l69 p69 = 55550 0; 96 = 53328. Z de…nicji mediany mamy, ·
ze median ¾
a jest ka·
zda
liczba m spe÷
niaj ¾
aca równanie P (T (1) = t) = 1 . Poniewa·
z l
2
0 = 97320, wi ¾
ec median ¾
a zmiennej
losowej T (1) b ¾
edzie ilość lat, jakie up÷
yn ¾
a a·
z do pozostania w rozwa·
zanej grupie 97320 = 48 660
2
osób. Poniewa·
z l70 = 53328 oraz l71 = 45000, wi ¾
ec medT (1) 2 [69; 70]. Wyznaczymy teraz moment pomi ¾
edzy 70 a 71 rokiem ·
zycia, w którym b ¾
edzie w grupie 48660 osób. Na mocy za÷
o·
zenia UDD otrzymujemy, ·
ze szukan ¾
a chwil ¾
a jest t = 70 + 53328 48660 = 70 389 = 70; 5605.
53328 45000
694
Zatem medT (1) = 69; 561.
2.
Grupa pakistańskich demografów przeprowadzi÷
a badania w pó÷
nocnych Chinach
chc ¾
ac zebrać informacje o prze·
zywalności Mongo÷
ów oraz Daurów oraz wzajemne powi ¾
azanie
pomi ¾
edzy d÷
ugości ¾
a trwania ·
zycia w tych populacjach.
Po pi ¾
eciu latach wyt ¾
e·
zonej pracy
naukowcy ustalili, ·
ze czas trwania ·
zycia Mongo÷
ów najlepiej aproksymuje zmienna losowa T1 o rozk÷
adzie normalnym z parametrami (60; 102), zaś zmienna losowa T2 z rozk÷
adu
normalnego z parametrami (70; 122) jest dobr ¾
a aproksymacj ¾
a d÷
ugości trwania ·
zycia Daurów.
Uda÷
o si ¾
e ponadto ustalić, ·
ze czynniki środowiskowe (np.
zmiany temperatury, kl ¾
eski
·
zywio÷
owe) nie maj ¾
a wp÷
ywu na wymieralność w obydwu populacjach, zaś d÷
ugości trwania
·
zycia osób z ró·
znych populacji urodzonych tego samego dnia s ¾
a nieskorelowane.
Oblicz
prawdopodobieństwo P (40 < T1
50jT2 > 50).
Przy obliczeniach przydatne mog ¾
a być
wartości dystrybuanty standardowego rozk÷
adu normalnego:
x
0; 0
0; 2
0; 4
0; 6
0; 8
1; 0
1; 2
1; 4
1; 6
1; 8
2; 0
.
(x)
0; 500
0; 579
0; 655
0; 726
0; 788
0; 841
0; 885
0; 919
0; 945
0; 964
0; 977
Wiadomo, ·
ze je·
zeli dwie zmienne losowe o rozk÷
adzie normalnym s ¾
a nieskorelowane, to s ¾
a
niezale·
zne. St ¾
ad i z w÷
asności prawdopodobieństwa warunkowego otrzymujemy, ·
ze
P (40 < T1
50jT2 > 50) = P (40 < T1
50) = P (T1
50)
P (T1
40) =
= P
T1 ET1
p
50 ET1
p
P
T1 ET1
p
40 ET1
p
= P
T1 ET1
p
50 60
P
T1 ET1
p
40 60
=
V arT1
V arT1
V arT1
V arT1
V arT1
10
V arT1
10
=
50 60
40 60
=
( 1)
( 2) = 1
(1)
[1
(2)] =
10
10
=
(2)
(1) = 0; 977
0; 841 = 0; 136.
1
Powszechnie wiadomo, ·
ze populacja Irakijek charakteryzuje si ¾
e wymieralności ¾
a de
Moivre’a z wiekiem granicznym ! = 80.
M ¾
a·
z trzydziestoletniej Irakijki rozwa·
za zakup
bezterminowego ubezpieczenia na ·
zycie wyp÷
acaj ¾
acego świadczenie w wysokości t
30 w chwili
śmierci, je·
zeli jego ·
zona umrze w wieku t lat. Oblicz sk÷
adk¾
e jednorazow ¾
a netto dla tego
ubezpieczenia wiedz ¾
ac, ·
ze i = 6%. Odpowiedź podaj z dok÷
adności ¾
a do trzech miejsc po
przecinku.
Wiadomo, ·
ze w modelu de Moivre’a tp30
=
1
dla t
30+t
2 [0; !
30].
Zatem
! 30
(
)
! x
R
50
R
50
R
t
1 vt
(IA)
=
t vt
dt =
t vt
1 dt = 1
tvtdt =
ln v
=
30
t px
x+t
50
50
0
0
0
1
vt
50
50
R
h
i
h
i
= 1
tvt
1
vtdt = 1
50v50
1
(vt)50 = 1
50v50
v50 1
=
50
ln v
ln v
50
ln v
0
50
ln v
0
ln2 v
ln2 v
0
50 ( 1 )50
( 1 )50 1
= 1
1;06
1;06
= 4; 6391.
50
ln( 1 )
ln2( 1 )
1;06
1;06
4. Su÷
tan Brunei zdecydowa÷si ¾
e na zakup ubezpieczenia na ca÷
e ·
zycie, które w chwili śmierci
gwarantuje wyp÷
at ¾
e w wysokości miliarda dolarów jego ·
zonie. Pewna znana azjatycka …rma ubezpieczeniowa pobra÷
a sk÷
adk¾
e za to ubezpieczenie w taki sposób, ·
ze z prawdopodobieństwem
0; 95 ma ona pokryć przysz÷
e świadczenia. Ustalono ponadto, ·
ze w÷
adca Brunei nale·
zy do
populacji o wyk÷
adniczym czasie trwania ·
zycie z
= 0; 04. Oblicz jak ¾
a sk÷
adk¾
e pobra÷
a …rma
x
ubezpieczeniowa, je·
zeli
= 5%. Odpowiedź podaj w postaci liczby ca÷
kowitej.
Niech T b ¾
edzie zmienn ¾
a losow ¾
a oznaczaj ¾
ac ¾
a przysz÷
y czas trwania ·
zycia su÷
tana,
zaś P b ¾
edzie sk÷
adk ¾
a pobran ¾
a przez towarzystwo ubezpieczeniowe. Wówczas P 109vT < P = 0; 95 () P vT < 10 9P = 0; 95 () () P T < ln 10 9P = 0; 95 ()
q
ln v
ln 10
9P
x = 0; 95 () 1
e 0;04 ln 10 9P
ln v
= 0; 95 ()
ln v
0;04 ln 10
9P
() e
ln v
= 0; 05 ()
0;04 ln 10 9P = ln 0; 05 ()
ln v
() 0; 04 ln 10 9P =
ln v ln 0; 05 () ln 10 9P = 25 ln v ln 0; 05 () () 10 9P = e 25 ln v ln 0;05 () P = 109e 25 ln v ln 0;05 () () P = 109e 25 ( 0;05) ln(0;05) = 109eln(0;05)1;25 = 109 (0; 05)1;25 = 23643540.
5. Japońscy uczeni odkryli, ·
ze dla m ¾
e·
zczyzn w wieku 25 lat mieszkaj ¾
acych na wyspie
Honsiu, zmienna losowa K (25) = [T (25)], b ¾
ed ¾
aca skróconym przysz÷
ym czasem ·
zycia, daje si ¾
e
aproksymować rozk÷
adem Poissona z wartości ¾
a oczekiwan ¾
a 50. Pewien dwudziestopi ¾
ecioletni
mieszkaniec zamieszkuj ¾
acy Honsiu rozwa·
za zakup bezterminowej renty ·
zyciowej wyp÷
acaj ¾
acej
10000 jenów na pocz ¾
atku ka·
zdego roku. Wyznacz wartość obecn ¾
a tej renty, je·
zeli d = 5%.
Odpowiedź podaj w postaci liczby ca÷
kowitej.
Wiadomo, ·
ze 1 = Ax + d•
ax, a wi ¾
ec •
ax = 1 Ax . Z drugiej strony
d
1
P
1
P
1
P
A
(50v)k
x =
vk+1 P (K = k) =
vk+1 e 50 50k = e 50 v
= e 50 v e50v =
k!
k!
k=0
k=0
k=0
5
= e 50 (1
d) e50(1 d) = e 50 0; 95 e50 0;95 = 0; 95e 2 .
St ¾
ad szukana wartość obecna renty wynosi 5
5
10000•
a
2
x = 10000
1 0;95e
= 200000 1
0; 95e 2
= 184403; 85.
0;05
2