CIĄGI LICZBOWE
7.1.
GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO
Funkcję rzeczywistą określoną na zbiorze liczb naturalnych N nazywamy ciągiem liczbowym.
Wartości funkcji f ( n) przyporządkowane kolejnym liczbom naturalnym nazywamy wyrazami ciągu i piszemy
K
K
a , a ,
, a ,
lub
{ a .
n }
1
2
n
Wyraz a nazywamy n-tym lub ogólnym wyrazem ciągu.
n
Z pojęciem ciągu liczbowego jest związane pojęcie granicy ciągu liczbowego, która jest definiowana w następujący sposób: Liczbę g nazywamy granicą ciągu { a , jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu g na n }
osi liczbowej leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu.
Uwagi:
1. Zwrot „prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza wszystkie, z wyjątkiem skończonej liczby wyrazów..
2. Przez otoczenie liczby g o promieniu r na osi liczbowej rozumiemy przedział
otwarty ( g − r, g + r).
3. Fakt, że liczba g jest granicą ciągu { a , zapisujemy następująco: n }
lim a = g .
n
n→∞
Ciąg, który ma granicę, nazywamy zbieżnym, a ciąg, który nie ma granicy, nazywamy rozbieżnym.
Podana definicja granicy ciągu pozwala jedynie stwierdzić, czy dana liczba jest granicą ciągu, nie podaje jednak metody wyznaczania granicy. Jak liczyć granicę ciągu liczbowego, wyjaśnimy na zajęciach.
7.2.
CIĄG ARYTMETYCZNY
Ciągiem arytmetycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym różnica dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stała.
90
Jeżeli tę stałą różnicę oznaczymy literą r, to z powyższej definicji wynika następujący wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego a = a +
−1 .
n
1
( n ) r
Natomiast wzór na sumę n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego przybiera postać a 1 + a
S
n
=
⋅ n .
n
2
Zauważmy, że każdy (oprócz skrajnych) wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego: a
a
n
+
1
−
1
+
a
.
n =
n
2
7.3.
CIĄG GEOMETRYCZNY
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym iloraz dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały.
Jeżeli iloraz ciągu oznaczymy literą q, to wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać
n 1
−
a
a
q
,
n =
⋅
1
natomiast wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego 1 − q n
S = a
,
gdy
q ≠ 1
n
1 1− q
i
S = n ⋅ a , gdy
q = 1 .
n
1
Każdy (nie skrajny) wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego, tzn.
a
a
a
.
n =
n
⋅
1
−
n 1
+
Jeżeli q < 1 , to sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wyznaczamy z wzoru
a
S =
1
.
1 − q
91