Belki na sprężystym podłożu.

-rozważamy dowolnie obciążoną belkę spoczywająca na podłożu

-zagadnienie polega na wyznaczeniu sil przekrojowych, przemieszczeń belki i wyznaczeniu odpowiedzi podłoża- zagadnienie kontaktowe

-grunt dozna przemieszczeń nie tylko w pkt. Leżących bezpośrednio pod belką, ale także poza nią:

-jeśli przyłożymy obciążenie belka na skutek deformacji może stracić kontakt z podłożem

hipotezy Winklera:

• Więzy pomiędzy podłożem a konstrukcją są dwustronne (więzy łączące belkę z podłożem „pracują” na rozciąganie i na ściskanie) - oznacza to, że belka nie odrywa się od podłoża i gładkie (brak tarcia między podłożem i spoczywającą na nim belką)

• Podłoże traktujemy jako ciało, w którym przemieszczają się wyłącznie te punkty, które leżą na prostej działania siły i przemieszczenie to jest proporcjonalne do działającej siły

Doświadczenie potwierdza słuszność hipotez Winklera jedynie dla belek długich( szyny kolejowe, ławy fundamentowe) doznających małych ugięć

-hipotezy te pozwalają zbudować prosty model więzów i podłoża w postaci sprężyn przypiętych do belki i ułożonych do niej prostopadle:

-oznaczamy charakterystykę sprężyny przez k=b*c gdzie b to szerokość belki, a c moduł podatności podłoża

-odpór podłoża na belkę, czyli siłę z jaką belka działa na dany pkt. Podłoża zapisujemy:

r(x)=kw(x)

- odpór podłoża r(x) w punkcie (liczony na jednostkę długości belki) jest proporcjonalny do ugięcia w tym punkcie q (x)

h

x

b

r (x)

w

-Równania linii ugięć oraz momentów zginających i sił poprzecznych Q x

p x

II ( )

M ( )

x

w

x = −

III ( )

( )

w

x = −

IV ( )

( )

w

x =

EI

EI

EI

EI w II ( )

x = − M ( )

x

IV ( ) b c

q x

+

w ( )

( )

w

x

x =

EI

EI

def.

α4 = b c

α [1/m]

4 EI

ζ = α x - współrzędna bezwymiarowa

∂ w ∂ ζ

w I ( )

x

w I

=

=

(ζ)α

∂ ζ ∂

x

∂

w II ( )

x

ζ α ∂ ζ

ζ α2

M

= − EI 2 wII

ζ

α

ζ

∂ ζ [ wI ( ) ]

w II

=

=

( )

∂

⇒

( )

( )

x

III

w ( x)

∂

=

[ II

w (ζ )

∂ζ

2

α ]

III

= w (ζ ) 3

α

Q

= − EI 3 wIII

ζ

α

ζ

∂ζ

∂

⇒

( )

( )

x

∂

w IV ( )

x

ζ α3 ∂ ζ

ζ α4

∂ ζ [ wIII ( )

]

w IV

=

=

( )

∂

x

4

ζ

IV (ζ) + 4 (ζ)

q ( )

w

w

=

k = b c równanie to wraz z warunkami brzegowymi k

tworzy zagadnienie brzegowe rządzące rozwiązaniem belki leżącej na podłożu winklerowskim

rozwiązanie

ζ

− ζ

: w (ζ) = ws(ζ) + e (A cos ζ + B sin ζ) + e (C cos ζ + D sin ζ)

-stałe A,B,C,D dobieramy z kinematycznych warunków brzegowych, to jest wartości w i w’ oraz wyrażonych poprzez przemieszczenia wartości sił

przekrojowych, a także z warunków zszycia (relacji pomiędzy tymi wielkościami w pkt. węzłowych przedziałów charakterystycznych)

-znając funkcję ugięcia belki znajdujemy siły przekrojowe My(x)=-EIyw’’(x) Fz(x)=-EIyw’’’(x)

Belki nieskończenie długie

∗ warunek skończonej wielkości ugięć powoduje zerowania się stałych A i B

w (ζ) w

− ζ

= s(ζ) + e (C cos ζ +D sinζ)

wI (ζ) wI

− ζ

= s(ζ) + e ([D − C) cosζ − (D + C) sinζ]

wII ( ) wII

ζ

− ζ

= s(ζ) + 2 e (C sinζ −D cos ζ)

wIII ( ) wIII

ζ

− ζ

= s (ζ) + 2 e ([D + C) cosζ + (D − C) sinζ]

Belka obciążona siłą skupioną

ws(ζ) = 0

P

dla ζ ≥ 0

1) w (ζ → ∞) = 0

ζ

wI (ζ → ∞) = 0

w

2) wI (ζ = 0) = 0

Q (ζ = +

0 ) = −P 2

∗ z warunków kinematycznych 1) wynika, że :

∗ A = 0 , B = 0

∗ z warunku kinematycznego i statycznego 2) wynika, że : C = D =

α

P

2 b c

∗ ostatecznie zatem dla ζ ≥ 0

α

P

− ζ

α

w (ζ) = P

e

( cosζ + sinζ) =

η(ζ)

2 b c

2 b c

2

II

P

− ζ

P

M (ζ) = − EI α w (ζ) =

e

( cosζ − sinζ) =

η1 (ζ)

4 α

4 α

3

III

P − ζ

P

Q (ζ) = − EI α w (ζ) = − e cos ζ =

η2 (ζ)

2

2

∗ dla ζ < 0

P α

P

w (ζ) =

η(ζ)

;

M (ζ) =

η1 (ζ) ;

2 b c

4 α

P

Q (ζ) = −

η2 (ζ)

2

∗ wiele sił skupionych

n

α

wα−α =

P3

P

P

∑Pi η(ζi)

1

2

2 b c i=1

α

n

1

α

ζ

Mα−α =

∑Pi η1(ζi)

4 α i

ζ

=1

1

ζ2

ζ3

∗

w

n





1

Qα−α = −

∑Pi η2 (ζi)

 2



i=1



*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym

Belka obciążona momentem skupionym ws(ζ) = 0

M

dla ζ ≥ 0

+

1) w (ζ → ∞) = 0

⇒

A =0 ; B = 0

ζ

wI (ζ → ∞) = 0

w

2) w (ζ = 0) = 0

⇒

C = 0

3) M (ζ = +

0 ) = M 2

⇒

D =

α2

M

b c

∗ ostatecznie zatem dla ζ ≥ 0

α2

M 2

w (ζ) M

e− ζ

=

sin ζ

α

=

η3 (ζ)

b c

b c

M − ζ

M

M (ζ) =

e

cos ζ = −

η2 (ζ)

2

2

M α

M

− ζ

α

Q (ζ) = −

e

( cosζ + sinζ) = −

η(ζ)

2

2

∗ dla ζ < 0

M α2

M

M α

w (ζ) = −

η3 (ζ) ;

M (ζ) =

η2 (ζ) ;

Q (ζ) = −

η(ζ)

b c

2

2

∗ wiele momentów skupionych

∗

m

 α2



M3

M1

M2

wα−α = −

∑Mi η3 (ζi)

α

 b c





i=1



∗

m

α

ζ





1

M

ζ

α−α = −

1

∑Mi η2 (ζi)

ζ2

 2



i=1



ζ3

w

m

α

Qα−α = −

∑Mi η(ζi)

2 i=1

*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym

Belka obciążona obciążeniem ciągłym q

α

α

ζ

w

ζ p

ζ

k

ζk

ζk

α

d ζ

qo

q

ζ

w

−

− =

q

o

k

ζ

α α

∫ o

η(ζ) =

e

∫

(cosζ + sinζ)dζ =

[η2]

2 b c

α

2 b c

2 b c

ζp

ζp

ζp

ζk

ζk

1

d ζ

qo

q

ζ

M

−

− =

q

o

k

ζ

α α

∫ o

η1 (ζ) =

e

cos

sin

2 ∫

( ζ − ζ)dζ = 2 [η3]ζp

4 α

α

4 α

4 α

ζp

ζp

ζ

q

k

o

q

ζ

Q

−

− =

∫ − e ζ cosζ d

o

ζ =

[η ] k

α α

1 ζ

p

2 α

4 α

ζp

Obciążenie łączne

M+

α

q

P+

α

ζ

ζ p

ζ

p

ζ k

ζ

w

k

∗

n

m

r

α



2



1

ζ

w − =

∑P

k

α α

∑

3

∑

i η (ζ

α

i ) + −

Mi η (ζi) +

qi [η2]

2 k



k



2 k

ζp

i=1



i=1



i=1

∗

n

m

r





1

1

1

ζ

M − =

∑P

k

α α

1

∑

2

∑

i η (ζi) + 

Mi η (ζi) +

qi

2

[η3] ζp

4 α

 2



4 α

i=1



i=1



i=1

∗

∗

n

m

r







1

1

ζ 

k

Qα−α = −

∑P 2

∑

∑

i η

(ζ

α

i ) −

Mi η (ζi) + −

qi [η ]

1



ζ

p

 2



2

 4 α





i=1



i=1



i=1



η

− ζ

= e (cosζ + sinζ)

η

− ζ

1 = e

(cosζ − sinζ)

η

ζ

ζ

2 = −

−

e

cos ζ

η3 = −

e

sin ζ

*) jeżeli ζ < 0 to wyrazy w nawiasach klamrowych z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym, zaś w funkcjach η÷η3 należy w miejsce ζ wstawić ζ .

Belki skończonej długości

4

ζ

IV (ζ) + 4 (ζ)

q ( )

w

w

=

k = b c

k

w (ζ) w

ζ

− ζ

= s(ζ) + e (A cosζ +B sinζ) + e (C cosζ +D sinζ)

∗ w belkach o skończonej długości ( ζ przyjmuje wartości skończone ) zachodzą warunki A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0. Te 4 stałe należy wyznaczyć z warunków kinematycznych i statycznych. Jeżeli belka składa się z kilku przedziałów charakterystycznych to należy napisać i rozwiązać tyle równań ile jest przedziałów, korzystając dodatkowo z 4 warunków zapisanych w punkcie zszycia każdych dwóch przedziałów. Taka droga jest rachunkowo uciążliwa.

Metoda F. Bleicha

∗ belkę o skończonej długości zastępuje się belką o nieskończonej długości

∗ obciążenie belki nieskończonej składa się z : 1. obciążenia pierwotnej belki skończonej (na długości tej belki) 2. dodatkowego obciążenia poza obszarem belki pierwotnej, takiego, aby zapewniona była zgodność statycznych warunków brzegowych obu belek.

Uzyskuje się to poprzez umieszczenie 4 sił skupionych R1 ÷ R4, po dwie z każdej strony belki, w takim rozstawie, który ułatwia obliczenia A

B

R1

R2

R3

R4

π/4α

π/4α

π/4α π/4α

π/4

π/4

π/4

π/4

∗ zapewniając zgodność momentu zginającego i siły poprzecznej w punktach belki nieskończonej, odpowiadających punktom końcowym A i B belki o skończonej długości - zapewniamy pełną zgodność rozwiązań w obszarze belki skończonej.

aktual. 9.03. 11jh