ANALIZA MATEMATYCZNA, Informatyka i Ekonometria rok I Lista 13
Całki wielokrotne
1. Obliczyć całki iterowane
√
1
1
1
2 x
1
x
2 − 2 x
2
2
3
(a) R dx R x 2 dy ,
(b) R dx R ( x − y + 1) dy, (c) R dx R dy R ydz, (d) R dy
R
dx R xz 2 dz
1+ y 2
√
0
0
0
x
0
0
1 −x
0
0
2 y−y 2
2. Zmienić kolejność całkowania
√
2
4
0
1 −x 2
(a)
R
dy R f ( x, y) dx, (b)
R
dx
R
f ( x, y) dy,
− 2
y 2
− 1
x+1
2
2 −y
1
x
2
2 −x
(c)
R
dy R
f ( x, y) dx
(d) R dx R f ( x, y) dy + R dx R f ( x, y) dy
− 6
y 2
0
0
1
0
− 1
4
3. Obliczyć całki podwójne:
(a) RR xy 2 dxdy,
D = [0 , 1] × [ − 1 , 1]
D
(b) RR x sin xy dxdy,
D = [0 , 1] × [ π, 2 π]
D
(c) RR ( x 2 + xy + 2 y 2) dxdy, gdzie D jest trójkątem ograniczonym osiami współrzędnych i prostą D
x + y = 1
(d) RR x 2( y − x) dxdy, D jest obszarem ograniczonym krzywymi x = y 2 i y = x 2
D
(e) RR e−( x 2+ y 2) dxdy, D : x 2 + y 2 ¬ 2
D
(f) RR xy dxdy,
D : x 0 , 1 ¬ x 2 + y 2 ¬ 2
D
(g) RR ( x 2 + y 2) dxdy, D : x 2 + y 2 − 2 y ¬ 0
D
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: (a) y = x 2 − x, y = x, (b) x 2 + y 2 − 2 y = 0 , x 2 + y 2 − 4 y = 0
5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: (a) x 2 + y 2 − 2 y = 0 , z = x 2 + y 2 , z = 0
(b) z = 4 − x 2 − y 2 , 2 z = 2 + x 2 + y 2
6. Obliczyć całki potrójne:
h
i
(a) RRR xz sin xy dxdydz, gdzie V = 1 , 1 × [0 , π] × [0 , 1]
6
2
V
(b) RRR dxdydz ,
gdzie obszar V jest ograniczony płaszczyznami x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0
1 −x−y
V
(c) RRR (4 + z) dxdydz,
gdzie obszar V jest ograniczony powierzchniami z = 0, z = 2, y = 1, y = x 2
V
√
(d) RRR ( x 2 + y 2) dxdydz, gdzie V :
x 2 + y 2 ¬ z ¬ 1
V
(e) RRR x 2 dxdydz,
gdzie V : 0 ¬ z ¬ 9 − x 2 − y 2
V
√
(f) RRR ( x 2 + y 2 + z 2) dxdydz, gdzie V : − 4 − x 2 − y 2 ¬ z ¬ 0
V
7. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: (a) z = 2 − x 2 − y 2 , z = 0
(b) x 2 + y 2 + z 2 = 2 z, z 2 = x 2 + y 2
1