Prowadzący:

Matematyka

11.10.08

mgr Barbara Pakleza

Wykład 1

semestr III

Liczby zespolone

Niech Z oznacza zbiór złożony z par (a,b), gdzie a Î R , b Î R . Dwie pary nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio równe są elementy tych par czyli: ( a , b = a , b

1

1 )

( 2 2)

c

a = a Ù b = b

1

2

1

2

Są to więc pary uporządkowane.

Określamy w tym zbiorze dwa działania:

Dodawanie: ( a , b + a , b = a + a , b + b 1

1 )

( 2 2) ( 1 2 1 2)

Mnożenie: ( a , b * a , b = a a - b b , a b + b a 1

1 )

( 2 2) ( 1 2 1 2 1 2 1 2)

DEF.

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych, dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie:

1. ( a , b = a , b Û a = a Ù b = b 1

1 )

( 2 2)

1

2

1

2

2. ( a , b + a , b Û a + a , b + b 1

1 )

( 2 2)

1

2

1

2

3. ( a , b * a , b = a a - b b , a b + b a 1

1 )

( 2 2) ( 1 2 1 2 1 2 1 2)

Liczbę (0,1) nazywać będziemy jednostką urojoną i oznaczać literą „i” czyli:

i=(0,1)

Uważamy, że 2

i = ( )(

1

,

0

)

1

,

0

= (- ,

1 )

0 = -1

Każda liczba zespolona (a,b) da się przedstawić za pomocą liczby „i” oraz liczb (a,0), (b,0): z = ( a, b) = ( a, ) 0 + ( ,

b )

0

Stąd krótko z = a + bi , np. z = 2 + i, z = 3 - i 4

Otrzymaną postać nazywamy postacią kartezjańską (algebraiczną) liczby zespolonej.

Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy Rez (czyt. realis) Liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy Imz (czyt. Imaginaris) Jeżeli Rez=0 to liczbę nazywamy czysto urojoną.

Jeżeli Imz=0 to liczbę nazywamy czysto rzeczywistą.

Mamy też:

2

2

z = a + b -moduł liczby zespolonej z = a - bi

-liczba sprzężona do z

Działania na liczbach zespolonych (w postaci kartezjańskiej) Dodawanie , odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonujemy tak, jak działana na dwumianach z uwzględnieniem, że i2=-1

- 1 -

Prowadzący:

Matematyka

11.10.08

mgr Barbara Pakleza

Wykład 1

semestr III

z + z = ( a + b i) + ( a + b i) = a + a + ( b + b ) i 1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

.

np 3 + 4 i + 5 - 2 i = 3 + 5 + (4 - ) 2 i = 8 + 2 i

z * z = a + b i) * ( a + b i) = a a + a b i + b a i, 2

+ b b i =

1

2

1

1

2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

= ( a a - b b ) + ( a b + b a ) 1 2

1 2

1 2

1 2

np 1

.( - 2 i) * (2 + i) = 2 + i - 4 i - 2 2

i = 2 + 2 + 1

( - )

4 i = 4 - 3 i

20

i = ( 2

i )10 = (- )

1 10 = 1

Dzielenie liczb zespolonych (w postaci kartezjańskiej) Aby podzielić z1, przez z2, należy je jednocześnie pomnożyć przez z 2 (czyli liczbę sprzężoną będącą w mianowniku);

z

a + b i a - b i

a a + b

( a - a b i

) + b b

a a + b b

1

1

1

=

* 2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

=

=

+

z

a + b i a - b i

a 2 + b 2

a 2 + b 2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

b a - a b

1 2

1 2

+

* i

a 2 + b 2

2

2

1 - i

1 - i

2 - i

3

2 - i

3 - i

2 + i

3 2

-1- i

1

5

np.

=

*

=

=

= -

-

i

2 + i

3

2 + i

3

2 - i

3

4 + 9

13

13 13

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych Liczbę zespoloną interpretujemy jako punkt (a,b) na płaszczyźnie Gaussa, w której wyróżniamy dwie wzajemnie prostopadłe osie zwane odpowiednio: pozioma – oś rzeczywista, pionowa - oś urojona

Niech z=a+bi

T

z =

a

Każdej liczbie zespolonej z=a+bi odpowiada dokładnie jeden punkt (a,b) na tej płaszczyźnie i odwrotnie.

Jeżeli punkt (a,b) połączymy z (0,0) to odległość tych dwóch punktów będzie równa 2

2

z = a + b czyli promieniowi r.

- 2 -

Prowadzący:

Matematyka

11.10.08

mgr Barbara Pakleza

Wykład 1

semestr III

Jeżeli przez a oznaczymy kąt jaki tworzy promień r z dodatnim kierunkiem osi Rez w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to nazywamy go argumentem liczb z, przy czym ograniczając się do zakresu < ,

0 ,

2 p > - argumentem głównym liczby z:

a = arg z

Mamy wówczas (patrz rys wcześniej)

a

b

b

cosa =

;sina =

; tg a =

z

z

a

Oraz z = a + bi = z * cosa + z * sina * i = z (cosa + sina * i) Ostatni zapis liczby zespolonej nazywany jest jej postacią trygonometryczną czyli z = z * (cosa + sina * i) a można wyznaczyć więc albo z układu:

a

b

b

cosa =

;sina =

; tg a = wówczas mamy:

z

z

a

b

Jeżeli

= a

tg , a

Ù

1

1 należy do pierwszej ćwiartki to:

a

a = a1

,jeżeli należą do I ćwiartki

a = P - a1

,jeżeli należą do II ćwiartki

a = P + a1

,jeżeli należą do III ćwiartki

a = 2P -a1

,jeżeli należą do IV ćwiartki

Przykład

Znaleźć postacie trygonometryczne liczb:

1.

Re z = 2 > 0 ü

ü

z = 2 - 2 i,

ý Þ z Î

ï

IVcw

Im z = - 2 < 0þ

ï

z = ( 2)3 + (- 2)2

ï

P

= 4 =

7

2

ý Þ a = P

2 -

= P

ï

4

4

- 2

P

ï

a

tg

=

= -1 = 1 Þ a =

1

2

1

4

ïïþ

7

7

Czyli z =

2 - 2 i = 2 * (cos P + sin P * i) 4

4

- 3 -

Prowadzący:

Matematyka

11.10.08

mgr Barbara Pakleza

Wykład 1

semestr III

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) z = z * (cosa + sina * i) 1

1

1

1

Niech : z = z *(cosa + sina * i) 2

2

2

2

Mamy:

z * z = z * z * (cos(a + a ) + sin(a + a ) * i) 1

2

1

2

1

2

1

2

z

z

1

1

=

* (cos(a - a ) + sin(a - a ) i)

1

2

1

2

z

z

2

2

Przykład

1 1

Dla liczb z = 4 + i

4

z = - +

z * z

z : z

1

oraz

i

2

obliczyć

oraz

korzystając z

2 2

1

2

1

2

ich postaci trygonometrycznych:

P

z = 16 + 16 = 16 * 2 = 4 2

a =

1

;

1

(bo w I ćwiartce)

4

1 1

1

2

3

z =

+ = 2 * =

a =

2

;

P (bo w II ćwiartce)

4 4

4

2

2

4

2

P 3

P 3

z * z = 4 2 *

(cos(

+ P) + sin( + P i)) = 4 * (cosP + sin P i)) = - i 4

1

2

2

4

4

4

4

3

2

1

3

2

1

1

-

0

z

4 2

P 3

P 3

P

P

1 =

* (cos(

- P) + sin( - P i)) = (

8 cos(- ) + sin(-

i

) ) = - i

8

z

2

4

4

4

4

2

2

2

4

1

4

2 3

4

1

4

2 3

2

0

1

-

Potęgowanie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) 2

2

Skoro z * z = z * (cos 2a + i sin 2a ) = z n

n

Stąd z * z *...* z = z = z * (cos n a + i sin n a ) 4

1

4

2 3

n- razy

Mamy więc wzór:

zn = z n * (cos a

n + i sin a

n )

- 4 -

Prowadzący:

Matematyka

11.10.08

mgr Barbara Pakleza

Wykład 1

semestr III

Przykład

1

3

Obliczyć

3

(- -

i)

2

2

1 3

ü

z =

+ = 1 = 1Ù z Î

ï

IIIcw

4 4

ï

1

3

ï

4

z = - -

i,

- 3

ýa = P

2

2

P

2

ï

3

a

tg

=

= 3 Þ a =

1

1

1

3

ï

-

ï

2

þ

Mamy więc zgodnie ze wzorem:

3

z =

4

13 * (cos5 * P +

4

i sin5 * P) =

20

cos

P +

20

i sin

P =

3

3

3

3

=

2

cos6 P +

2

i sin 6 P =

2

cos P +

2

i sin P

3

3

3

3

(skorzystaliśmy z własności okresowości funkcji sinus i cosinus: sin( {

2 P

k

+ a) = sin( {

2 P

k

+ a) = cosa

l. parzysta

l. parzysta

Pierwiastkowanie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) Każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga równa się liczbie zespolonej z, nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z i piszemy: n

w = z

Twierdzenie

Każda liczba zespolona z ¹ 0 posiada dokładnie n różnych pierwiastków określonych wzorem:

a + 2 P

k

a + 2 P

w =

k

n z * (cos

+ i sin

), k =

,

1

,

0

,...,

2

n -1

k

n

n

Interpretacja geometryczna pierwiastków

Wszystkie pierwiastki leżą na okręgu o S(0,0) i n

R = z i są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

- 5 -

Prowadzący:

Matematyka

11.10.08

mgr Barbara Pakleza

Wykład 1

semestr III

Przykład

1.

3 1 = ?

z = ,

1

z = ,

1 a = 0

w 1

3

0

0

w =

(cos

1

+ i sin ) = 1

0

3

3

w 0

P

P

3

2

2

w =

(cos

1

+ i sin

)

1

3

3

w 2

P

P

3

4

4

w =

(cos

1

+ i sin

)

2

3

3

Wielomian zmiennej zespolonej

Wielomianem stopnia n w dziedzinie zespolonej nazywamy wyrażenie postaci: 2

n

W ( z) = a + a z + a z + ... + a z n

0

1

1

n

Gdzie współczynniki a , a , a ,..., a ( a ¹ ) 0 Î Z, a Î Z

0

1

2

n

n

0

Twierdzenie

Jeżeli liczba z = x + yi jest pierwiastkiem wielomianu W ( z) n

o współczynnikach

rzeczywistych to liczba z = x - yi jest również pierwiastkiem.

Przykład

Rozwiąż równanie:

4

z + 2 3

z - 2 2

z - 2 z - 3 = 0

Bez trudu zauważymy, że W(1)=W(-1)=0 czyli 2 pierwiastki: z = , 1 z = -1

1

2

. W takim

razie W(z) dzieli się bez reszty przez ( z - )(

1 z + )

1 = 2

z -1 Þ z podzielenia uzyskany

wynik to 2

z + 2 z + .

3

Trójmian ten ma D < 0 , więc pierwiastki będą zespolone i zgodnie z poprzednim do siebie sprzężone

D = 4 -12 = -8 ® D = - 8 =

i

8 2 = 2 2 * i

- 2 + 2 i

2

z =

= 1

- +

i

2

3

2

- 6 -