ki wielokrotne.
Zadanie 1 Zbadać, który z obszarów ograniczonych podanymi krzywymi jest normalny wzgl ¾
edem osi Ox, a który wzgl ¾
edem osi Oy. Naszkicować te ob-
szary.
p
a) y = x2; y =
x;
b) y = 0; x = 2; y = x2;
c) y = 1 ; y = x; y = 2x (x > 0) ; d) x2 + y2 = 1;
x
p
p
e) y =
1; y = 1; x = 2
1
y2; x =
1
y2
1;
f ) y = jsin xj ; y = 1; x =
; x = :
2
2
RR
Zadanie 2 Zamienić ca÷
k ¾
e podwójn ¾
a
f (x; y) dxdy na ca÷
ki iterowane, je·zeli
D
obszar D ograniczony jest podanymi krzywymi: p
a) y = 1 +
2x
x2; x = 0; x = 2; y = 0;
b) y = x; xy = 1; y = 1 ;
2
c) yx2 = 1; y = 1; y = 2;
c) y = jx
1j ; y = 2
jx
1j ;
p
e) x = 0; x2 + y2 = 1; y =
x (y
0);
f ) x = y2; y = x
2:
Zadanie 3 Narysować obszary ca÷
kowania, a nast ¾
epnie dokonać zmiany ko-
lejności ca÷kowania w podanych przyk÷adach: 1
R
1
R
R sin x
R
a)
f (x; y) dy
dx;
b)
f (x; y) dy
dx;
0
x
0
0
!
!
2
R
4
R
e2
R
ln y
R
c)
f (x; y) dx
dy;
d)
f (x; y) dx
dy:
2
y2
1
0
Zadanie 4 Obliczyć podane ca÷
ki podwójne we wspó÷
rz ¾
ednych prostok ¾
atnych:
RR
a)
(x2
xy) dxdy, D = f(x; y) 2 R2 : y
x; y
3x
x2g ;
D
RR
b)
(3x
2y) dxdy, D = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2
1g ;
D
1
p
c)
xydxdy, D = f(x; y) 2 R2 : y
6
x; y
x; x
0g ;
D
RR
n
o
d)
ydxdy, D =
(x; y) 2 R2 : x
arcsin y; y
1
p ; x
0 :
2
D
Zadanie 5 Wprowadzaj ¾
ac wspó÷
rz ¾
edne biegunowe obliczyć podane ca÷ki podwójne:
RR
a)
e (x2+y2)dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzyw ¾
a x2 +y2 = 2;
D
RR
b)
ydxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x2 + y2 = 4, D
x2 + y2 = 1, y = x, y = 0, (x
0, y
0),
RR
c)
1
dxdy,
gdzie D
jest
obszarem ograniczonym
krzywymi:
(x2+y2)2
D
x2 + y2 = 4, x = 0, y = 1, (x
0, y
1),
RR
d)
xdxdy,
gdzie
D
jest
obszarem
ograniczonym
krzywymi:
D
x2 + (y
1)2 = 1, y = x, (x
y).
Zadanie 6 Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi: a) x + y = 3; x = 0; y = 0;
b) x = y2; x = 1;
c) y = cos x; y = sin x; x =
; x = ;
4
4
d) xy = 1; y = x; y = 2x; (x > 0; y > 0), p
e) y =
jxj; y = x2;
f ) x2 + (y
2)2 = 4; y = x, (y
x):
Zadanie 7 Wyznaczyć moment statyczny oraz moment bezw÷
adności:
a) jednorodnego prostok ¾
ata o bokach a i b; wzgl ¾
edem boku a,
b) jednorodnego trójk ¾
ata prostok ¾
atnego o przyprostok ¾
atnych a i b; wzgl ¾
edem
przyprostok ¾
atnej a,
c) jednorodnego ko÷
a o promieniu R; wzgl ¾
edem stycznej,
d) jednorodnej ćwiartki ko÷a o promieniu R; wzgl ¾
edem osi symetrii.
2
rz ¾
edne środka masy oraz moment dewiacyjny: a) jednorodnego prostok ¾
ata o bokach a i b;
b) jednorodnego trójk ¾
ata prostok ¾
atnego o przyprostok ¾
atnych a i b;
c) jednorodnego ko÷
a o promieniu R;
d) jednorodnej ćwiartki ko÷a o promieniu R.
Zadanie 9 Obliczyć podane ca÷
ki potrójne po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami:
RRR
p
a)
xydxdydx, gdzie U : y = 0; y = x; x =
9
z2; z = 0;
U
RRR
b)
ydxdydx, gdzie U : z = y; z = 0; y = 1
x2;
U
RRR
c)
(x2 + y2) dxdydx, gdzie U : z = y2
x2; x = 0; y = 1; y = x; z = 0;
U
RRR
d)
cos z dxdydx, gdzie U : y = ; y = x; x = ; z = xy; z = 0; y
6
2
U
RRR
e)
x2yzdxdydx, gdzie U : x = 2; y =
x; y = x2; z = 0; z = x + y:
U
Zadanie 10 Wprowadzaj ¾
ac wspó÷
rz ¾
edne walcowe obliczyć podane ca÷ki po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami: RRR
a)
x2dxdydx, gdzie U : z = 9
x2
y2; z = 0;
U
RRR
p
b)
(x2 + y2) dxdydx, gdzie U : z = 2
x2 + y2; z = 8;
U
RRR
p
p
c)
z2dxdydx, gdzie U : z =
8
x2
y2; z =
x2 + y2;
U
RRR
d)
xyzdxdydx, gdzie U : x2 + y2 + z2 = 4: U
Zadanie 11 Wprowadzaj ¾
ac wspó÷
rz ¾
edne sferyczne obliczyć podane ca÷ki po-trójne:
RRR p
a)
z2
x2 + y2 + z2dxdydx, gdzie U jest obszarem ograniczonym po-U
p
wierzchniami: z =
4
x2
y2; z = 0;
RRR
b)
dxdydx , gdzie U jest obszarem ograniczonym powierzchniami: x2+y2+z2
U
p
z =
1
x2
y2; z = 1 ;
2
3
c)
(x2 + y2) dxdydx, gdzie U jest obszarem ograniczonym powierzchnia-U
p
p
mi: z =
9
x2
y2; z =
x2 + y2;
RRR
d)
dxdydx
p
, gdzie U jest obszarem ograniczonym powierzchniami: x2+y2+z2
U
x2 + y2 + z2 = 4; x2 + y2 + z2 = 16; RRR p
e)
x2 + y2 + z2dxdydx, gdzie U jest obszarem ograniczonym powierzch-U
niami: x2 + y2 + z2
z = 0;
RRR
f )
xyzdxdydx, gdzie U
jest obszarem ograniczonym powierzchniami: U
x2 + y2 + z2 = 4; x = 0; y = 0; z = 0 (I oktant).
Zadanie 12 Obliczyć obj ¾
etości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami:
a) 3x + 6y + 4z = 12; x = 0; y = 0; z = 0; b) y = x2; y + z = 4; x = 0; z = 0;
c) y2 + z2 = 1; y = x; x = 0;
d) x2 + y2 + z2 = 16; x2 + y2 = 4x;
p
e) x2 + y2 + z2 = 9; z =
x2 + y2;
f ) z = 4x2 + y2; z = 4
3y2:
Bibliogra…a
[1] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. De…nicje, twierdze-nia, wzory, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷
aw, 2001.
[2] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przyk÷
ady i zada-
nia, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷
aw, 2002.
4