Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

Zawartość

1.0. STANY NIEUSTALONE ....................................................................................................................... 1

1.1. Warunki początkowe ........................................................................................................................ 2

1.2 . Przykład 1 ........................................................................................................................................ 3

1.3. Przykład 2 ........................................................................................................................................ 5

1.4. JAK TO ZROBIĆ W MATLABIE ........................................................................................................... 7

1.0 STANY NIEUSTALONE

Omówimy teraz sposób obliczania stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych metodą operatorową, zobaczymy ze praktycznie wyznaczenie odpowiedzi –

stany przejściowego odpowiada odpowiedzi układu o danej transmitancji na wymuszenie czy to stałe (źródło napięcia stałego) lub zmienne ( sinusoidalne) .

Zanim przejdziemy do omawiania analizy obwodów wprowadzimy kilka pojęć ułatwiających analizę stanów nie ustalonych .

Stanem ustalonym nazywamy stan obwody elektrycznego w którym wszystkie napięcia i prądy, oraz energia zmieniają się okresowo lub mają wartości stałe.

Stanem nieustalonym nazywamy stan obwodu w którym w wyniku komutacji (zwarcie, przełączenie włącznika , nagła zmiana parametrów obwodu) następuje

stan pośredni po zaniku którego obwód znajdzie się w nowym stanie ustalonym .

Postulaty wynikające z ciągłości stanu energetycznego:

- ciągłość napięcia na elementach pojemnościowych

-ciągłość prądu na elementach indukcyjnych

Zmiana skokowa wartości prądów i napięć ( elementy idealne) :

- prąd w elemencie pojemnościowym i rezystancyjnym może zmieniać się skokowo

- napięcie w elemencie indukcyjnym i rezystancyjnym może zmieniać się skokowo.

Powyższe postulaty wynikają z zasady zachowania energii którą gromadzą elementy L i C. Często przy wyłączaniu wyłączników lub przy ich włączaniu pojawią się łuk elektryczny, który odpowiada zmiennej rezystancji - w analizie stanów nieustalonych będziemy pomijali te zjawisko.

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 1

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

Obliczanie prądów i napięć w stanie nieustalonym metodą operatorową sprowadza się do :

- Określenia warunków początkowych ( wartości prądu na płynącego w cewce i napięcia na kondensatorze)

- Rozwiązanie obwodu w stanie ustalonym po przełączeniu

- rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu.

Rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym jest superpozycją składowej ustalonej oraz składowej przejściowej.

1.1 Warunki początkowe

Chwilę w której następuje komutacja oznaczamy t=0 – jest to początek stanu nieustalonego. Wartość napięcia i prądu przez komutacją oznaczymy poprzez :

0 , 0 a tuz po komutacji : 0 , 0 . Stany przed komutacją wyznaczamy znając poprzedni stan ustalony.

Wyznaczenie stanu przejściowego będzie przebiegało według poniższych kroków: 1. Stworzenie schematu obwodu dla składowej przejściowej - wyeliminowanie źródeł

poprzez : zwarcie źródeł napięcia , rozwarcie źródeł prądu – tak aby układ dla składowej przejściowej nie zawierał żadnych źródeł wymuszającej

Dla wymuszeniu sinusoidalnym:

Dla źródła wymuszającego sinusoidalnego.

2. Określenie warunków początkowych dla składowej przejściowej przy zachowaniu postulatów ciągłości

0 0 0

0 0 0

Przy wymuszeniu stałym źródłem nie rozbijamy obwodu na cześć ustaloną u przejściową

– źródło zastępujemy jego modelem operatorowym.

3. Utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejściowym poprzez zastąpienie elementów ich modelami operatorowymi i uwzględnieniu warunków początkowych

4. Wyznaczenie transformaty odwrotnej.

5. Po wyznaczeniu transformaty odwrotnej przebieg przejściowy składa się z przebiegu ustalonego i przejściowego

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 2

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

Zrobimy teraz kilka przykładów , zobaczymy jak wiąże się to z wyznaczaniem odpowiedzi układy o danej transmitancji na wymuszenie.. Zrobimy przykład symbolicznie oraz numerycznie.

Zaczniemy od poznanego już szeregowego układu RLC.

1.2 Przykład 1

Wyznacz przebieg prądu i napięć w stanie nieustalonym dla szeregowego układy RLC.

Wartość źródła napięcia i elementów:

E=1 V , R=30 Ohm L= 0,1 H C= 0.001 F

0 0

0 0

0 0

Prawa napięciowego mamy:

1

1

Zauważmy ze gdybyśmy nie mieli sprecyzowanego wymuszenia to otrzymalibyśmy:

1

1

czyli transmitancję zależności prądu od napięcia - i teraz chcąc sprawdzić odpowiedź układy na wymuszenie skokowe o wartości E - podstawiamy jego transformatę E(s)=

Wracając do przykładu otrzymujemy:

Napięcie na kondensatorze:

!

Napięcie na cewce:

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 3

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

Podstawiając dane wartości otrzymujemy i rozbijając na ułamki proste poznanymi metodami:

0.001

0.0447

0.0447

0.0001 0.03 1 38.19 261

1

0.171

1.171

1

0.0001* 0.03 261 38.19

0.0001

1.17

0.17

0.0001 0.03 1 261 38.19

Korzystając teraz z tablic wyznaczamy przebiegi w dziedzinie czasu:

0.0447+,*-.. / 0.001+,0 /

1 0.171+,0/ 1.171+,*-.. /

1.17+,0/ 0.17+,*-.. /

Rozwiązanie symboliczne:

678947:34;94<

+,5

34

/ +,5 8947:34;94

34

/)

1,234

678947:34;94<

= +,5

34

/ +,5 8947:34;94

34

/

1,234

Uc=E-Ri(t)-UL(t)

Wypadało by jeszcze przeanalizować wpływ wartości

elementów na przebiegi – wróćmy do

Zapisu operatorowego prądu

1

Pierwiastki mianownika:

∆ ? 4

przebiegi w układzie nie mają charakteru oscylacji jeżeli 21 ,

@ 21 drgania tłumione .

( 21 ) wystapią drgania nie rosnące – rezonans.

Jeżeli R=0 ( i elementy LC bierzemy jako idealne) to otrzymamy układ oscylacyjny (

rezonansowy)

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 4

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

1.3. Przykład 2

Dla układu z przykładu 1 znajdź przebieg prądu w obwodzie i napięcia na kondensatorze jeżeli źródło napięcia jest sinusoidalne :

Asin E F

Um=1 [V]

F 30 °

E 1

Przebieg wyznaczymy metoda superpozycji w stanie ustalonym po przełączeniu i w stanie przejściowym.

Stan ustalony po przełączeniu postaci zespolonej ;

Impedancja

1

G ? E E 1000.35

E 1

I JKLM N

E

O 88.28 °

A

+QR

√2

A

G G+QS

+QR,S 0.0007+Q-,- °

G√2

0.0007√2sin E 118.28 °

Napięcie na cewce:

TU E +Q.V ° 0.0007+Q-,- ° 0.00007+QV-,- °

0.0007√2sin E 208.28 °

Napięcie na kondensatorze:

1

T E +Q,.V ° 0.0007+Q-,- ° 0.7+Q-,- °

0.7√2sin E 28.28 °

Napicie na rezystancji:

30 W 0.0007+Q-,- ° 0.021+Q-,- °

0.021√2sin E 1118.28 °

Warunki początkowe :

0 0

0 0

0 0.0007√2 sinE0 118.28 ° 0.00087

0 0.7√2 sinE0 28.28 ° 0.47

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 5

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

Tworzymy schemat operatorowy:

Z prawa napięciowego:

1

0

0

0

1

0 0

Po przekształceniu:

0 0

1

Podstawiamy wartości :

8.7 W 10,0 0.47

0.1 1 1000

Po rozbiciu na ułamki proste:

2.3529i

2.3529i

5 99.8749i s 5 99.8749i

Po przekształceniach:

2.3529eY.V°

2.3529eY.V°

5 99.8749i s 5 99.8749i

Teraz na podstawie tablic możemy wyznaczyć przebiegi w dziedzinie czasu:

iZ 2 W 2.3529e,[\cos(99.88 t 90°

Transformata napięcia na kondensatorze:

8.7 W 10,* 470

T 0.1* 1 1000

Po rozbiciu na ułamki proste:

0.235 0.0122i 0.235 0.0122i 0.47

s 5 99.87i s 5 99.87i

0.235e,Y..^°

0.235eY..^°

0.47

s 5 99.87i s 5 99.87i

L_ 0.47 2 W 0.235e,[\cos 99.87t 2.97°

Rozwiązanie stanu przejściowego:

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 6

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

iZ 2 W 2.3529e,[\cos(99.88 t 90° 0.0007√2sin E 118.28 °

0.47 2 W 0.235e,[\ cos99.87t 2.97° 0.7√2sin E 28.28 °

1.4. - JAK TO ZROBIĆ W MATLABIE

Wykorzystując polecenia z Symboli Toolbox jak i również Cotrol Toolbox można rozwiązać równania różniczkowe na wiele sposobów, przedstawić wyniki w formie symbolicznej , jak i numerycznej w postaci przebiegów

Wróćmy do przykładu 1 gdzie wyznaczaliśmy odpowiedz prądu, i napięć na wymuszenie skokowe napięcia zasilającego ( zamknięcie klucza).

Prawo napięciowe:

1

Po przekształceniu jak przykładzie mamy

1

Teraz możemy rozwiązać symbolicznie kownianie poprzez policzenie transformaty odwrotnej poleceniem ilaplace() :

>> syms E C R L s

>> i=ilaplace(E*C/(s^2*L*C+s*R*C+1))

i =

E*C*(exp(-1/2*(R*C-(R^2*C^2-4*C*L)^(1/2))/C/L*t)-exp(-1/2*(R*C+(R^2*C^2-

4*C*L)^(1/2))/C/L*t))/(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2)

Po uporzadkowaniu otrzymujemy :

678947:34;94<

+,5

34

/ +,5 8947:34;94

34

/)

1,234

Polecenie pretty(i) pozwala na dogodniejsza formę pokazania rozwiązania ( może się pokazać przez jakąś wielkością napis codegen:- należy go zignorować )

Jeżeli podstawimy dane zamiast oznaczeń symbolicznych to otrzymamy rozwiązanie liczbowe:

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 7

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

>>i=ilaplace(0.001/(s^2*0.0001+s*0.03+1))

i=

-1/50*5^(1/2)*(exp(-50*(5^(1/2)+3)*t)-exp(50*(5^(1/2)-3)*t))

Plecenie ezplot(i,[0 0.06]) rysuje nam przebieg w przedziale [0 ….0.06]:

>>ezplot(i,[0 0.06])

>> grid on % wlaczenie siatki

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

t

Rozwiązanie numeryczne

Otrzymaliśmy rozwiązanie symboliczne oraz wykreśliliśmy przebieg wykorzystując Symbolic Toolbox.

Ponieważ mamy transmitancję możemy rozwiązać równanie numerycznie – musimy podstawić za symbole ich wartości:

0.001

1 0.0001 0.03 1

Transmitacja:

0.001

1 0.0001 0.03 1

Najpierw tworzymy model transmitancyjny :

Dla pradu w zapisie operatorowym (jak powyżej):

>>L=[0.001];

>>M=[0.0001 0.03 1];

>>I=tf(num,den)

Ponieważ już podstawiliśmy wymuszenie E(s)=E/s – to chcąc uzyskać rozwiązanie numeryczne – wykres stosujemy polecenie impulse()

>>impulse(I)

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 8

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

lub : impulse(tf(L,M)) albo impulse(tf[[0.001],[0.0001 0.03 1]))

Jeżeli mamy zapis transmitancyjny to :

L=[0.001 0];

>>M=[0.0001 0.03 1];

>>I=tf(num,den)

Wywołujemy polecenie step():

>>step(I)

W wyniku wywołania komend zostanie wyświetlony przebieg:

Step Response

0.03

0.02

ed

litupm 0.01

A

00

0.05

0.1

0.15

Można zadać pytanie czemu dwie rudne komendy – a taki sam przebieg?

Wynika to z formy transmitancyjnej – dla :

1

Mamy już podstawioną transformatę wymuszenia - nie jest to transmitancja - tylko zapis operatorowy równania różniczkowego – chcąc otrzymać rozwiązanie w czasie musimy zastosować polecenie impulse() – ( wynika to z transformaty impulsu Diraca która równa jest 1 ) – nie możemy zastosować polecenia step() – gdyż otrzymamy odpowiedz dla układu o transmitancji

1

gdzie U(s) jest wielkością wejsciową – a my jiz przeciez podstawiliśmy w transmitancji transformatę wymuszenia .

Dla zapisu transmitancyjnego :

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 9

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

1

zastosujemy zawsze polecenie step() - które rysuje nam przebieg w czasie na wymuszenie jednostkowe. Gdybyśmy przy tym zapisie wywołali polecenie impulse() – otrzymalibyśmy odpowiedz układu za impuls a nie na skok ( zamknięcie włącznika).

Istnieje jeszcze jedno bardzo przydatne polecenie:

[r p k ]=residue(L,M)

Polecenie to rozbija nam transmitancję o liczniku L i mianowniku M na postać ułamków prostych których poszczególne wartości za zapisane w wektorach r , p k . transmitancję można przedstawić w postaci:

L(s) R(1) R(2) R(n)

---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s)

A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n)

Dla naszego zapisu transmitacji

0.001

0.00012 0.03 1

>>[r p k ]=residue([0.001],[0,0001 0.03 1])

r =

-0.0447

0.0447

p =

-261.8034

-38.1966

k =

[]

Wektor k jest pusty - oznacza to ze licznik jest mniejszy od mianownika.

To polecenie przydaje się, gdy w wyniku wywołania polecenia ilaplace() uzyskane rozwiązanie w postaci liczbowej ( za symbole podstawiamy ich wartości ) jest mało czytelne –

rozwiązanie może zawierać zapis w którym występują sinus i cosinus hiperboliczny a nie funkcja ekspotencjalna - jest to zapis równoważny – jednakże dla nas mało czytelny pod względem analizy otrzymanego wyniku .

Rozbicie na ułamki proste pozwala na uzyskanie bardziej czytelnego rozwiązania – w szczególności gdy mamy pod ręką tablice transformat – jesteśmy w stanie od razu napisać rozwiązanie.

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 10

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone

0.8-2009

Źródła:

1.Podstawy teorii układów elektrycznych -S.W Director R.A Rother PWN 1976.

2. Podstawy elektrotechniki R. Kurdziel PWN 1973

Ł. Szydłowski

Modelowanie i Sterowanie

Strona 11