Najwa»niejsze zagadnienia na egzamin z teorii matematyki dla studentów I roku TCH WIiTCH, semestr zimowy 2011/2012
1. Ci¡gi liczbowe.
1.1. Poj¦cie ci¡gu liczbowego.
1.2. Monotoniczno±¢ ci¡gu.
1.3. Ograniczono±¢ ci¡gu.
1.4. Granica ci¡gu.
1.5. Twierdzenie o jednoznaczno±ci granicy ci¡gu + dowód.
1.6. Twierdzenie o trzech ci¡gach + dowód.
1.7. Symbole nieoznaczone.
1.8. Ci¡gi liczbowe specjalne i ich granice + dowód.
2. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
2.1. Denicja Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.
2.2. Granice jednostronne, twierdzenie o istnieniu granicy.
2.3. Twierdzenie o granicy funkcji zªo»onej.
2.4. Twierdzenie o trzech funkcjach, wniosek z twierdzenie o trzech funkcjach.
2.5. Granice specjalne.
2.6. Poj¦cie ci¡gªo±ci funkcji.
2.7. Punkty nieci¡gªo±ci.
2.8. Twierdzenia o funkcjach ci¡gªych.
3. Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej.
3.1. Denicja ilorazu ró»nicowego i jego interpretacja geometryczna.
3.2. Denicja pochodnej funkcji w punkcie, obliczanie pochodnych funkcji z denicji.
3.3. Denicja stycznej do wykresu, interpretacja geometryczna pochodnej funkcji.
3.4. Warunek konieczny istnienia pochodnej.
3.5. Pochodne jednostronne, warunek konieczny i wystarczaj¡cy istnienia pochodnej.
3.6. Twierdzenia o pochodnej funkcji.
3.7. Twierdzenie Rolle'a.
3.8. Twierdzenie Lagrange'a + dowód, wnioski z twierdzenia Lagrange'a.
3.9. Reguªa de l'Hospitala, przeksztaªcenia symboli nieoznaczonych.
3.10. Denicja ekstremum lokalnego funkcji, warto±ci najwi¦kszej i najmniejszej funkcji.
3.11. Twierdzenia Fermata.
3.12. Warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum.
3.13. Denicja punktu przegi¦cia, funkcji wypukªej oraz wkl¦sªej.
3.15. Warunek konieczny i wystarczaj¡cy istnienia punktu przegi¦cia.
3.16. Warunki wystarczaj¡ce wypukªo±ci.
3.17. Denicja asymptot funkcji.
3.18. Warunek wystarczaj¡cy istnienia asymptoty uko±nej.
4. Caªka nieoznaczona.
4.1. Denicja pierwotnej i caªki nieoznaczonej.
4.2. Twierdzenie o caªkowaniu przez cz¦±ci.
4.3. Twierdzenie o caªkowaniu przez postawienie.
4.4. Wzory redukcyjne.
4.5. Denicja uªamków prostych.
4.6. Twierdzenie o rozkªadzie funkcji wymiernej na uªamki proste.
4.7. Caªkowanie uªamków prostych.
4.8. Caªkowanie funkcji trygonometrycznych.
4.9. I podstawienie Eulera.
4.10. II podstawienie Eulera.