Spis zagadnień egzaminacyjnych z przedmiotu:
Algebra z geometrią.
Automatyka i Robotyka.
1. Podać definicje działań: wewnętrznego, zewnętrznego (rodzaje działań zewnętrznych); działanie łączne, przemienne, element jednostkowy, odwrotny działania. Przykłady.
2. Grupoid, półgrupa, monoid, grupa – przykłady (w tym – monoid Cmn, grupa Zn).
3. Pierścień, ciało, ciała i pierścienie skończone – przykłady.
4. Twierdzenie o skracaniu w grupie, twierdzenie o rozwiązalności w grupie
5. Podgrupy, kryterium na to, aby podzbiór nośnika grupy był nośnikiem podgrupy (dowód).
6. Homomorfizmy grup, pierścieni, jądro homomorfizmu.
7. Zdefiniować liczbę zespoloną i określić działania na tych liczbach.
8. Podać interpretację geometryczną liczby zespolonej i wyprowadzić postać
trygonometryczną liczby zespolonej.
9. Wyprowadzić wzór na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych podanych w postaci trygonometrycznej .
10. Podać wzór na potęgowanie liczb zespolonych (de Moivre’a) i uzasadnić jego prawdziwość.
11. Podać wzór na pierwiastkowanie liczb zespolonych.
12. Pierwiastki z jedności, pierwiastki pierwotne. Interpretacja geometryczna. Kryterium na to, aby pierwiastek z jedności był pierwiastkiem pierwotnym. Jaką strukturę tworzą pierwiastki z jedności?
13. Omówić rozwiązywanie równania kwadratowego o współczynnikach zespolonych.
14. Podać zasadnicze twierdzenie algebry.
15. Podać twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki.
16. Podać i uzasadnić twierdzenie o pierwiastkach zespolonych wielomianu o
współczynnikach rzeczywistych.
17. Określić macierz, podać klasyfikację macierzy i wymienić działania na macierzach.
18. Określić mnożenie macierzy w sensie Cauchy’ego.
19. Zdefiniować macierz odwrotną, omówić sposoby wyliczania macierzy odwrotnej.
20. Macierz osobliwa i nieosobliwa, rząd macierzy.
21. Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej, twierdzenie Laplace’a o rozwinięciu wyznacznika.
22. Układ Cramera. Twierdzenie o rozwiązaniu układu Cramera. Układ jednorodny.
23. Zapisać układ równań liniowych w postaci macierzowej i wyprowadzić sposób rozwiązywania układu metodą macierzową.
24. Omówić sposób rozwiązywania układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.
25. Pierścienie, pierścienie wielomianów, pierścienie Zn, homomorfizmy pierścieni.
26. Ciała, ciało Galois.
27. Określić przestrzeń liniową i podać przykłady przestrzeni liniowej.
28. Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów.
29. Powłoka liniowa układu wektorów.
30. Wymiar przestrzeni liniowej i jej baza.
31. Omów zagadnienie przejścia z bazy do bazy przestrzeni liniowej.
32. Określić odwzorowanie liniowe.
33. Związek odwzorowania liniowego z macierzą.
34. Wektor własny przekształcenia liniowego.
35. Równanie charakterystyczne macierzy i jego pierwiastki – wartości własne macierzy.
36. Podać twierdzenie Cayleya – Hamiltona.
37. Macierze podobne. Diagonalizacja macierzy.
1
38. Określić iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej.
39. Określić działania na wektorach w przestrzeni trójwymiarowej.
40. Określić wektor w postaci analitycznej (w układzie kartezjańskim).
41. Podać sposoby wyliczania iloczynu wektorowego wektorów .
42. Warunki równoległości i prostopadłości wektorów.
43. Podać znane postaci równania płaszczyzny. Wyprowadzić równanie parametryczne płaszczyzny.
44. Równania prostej w przestrzeni trójwymiarowej.
45. Wyprowadzić równania prostej w postaci parametrycznej i kierunkowej.
46. Omówić wzajemne położenie prostych, płaszczyzn oraz prostej i płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej.
47. Definicja elipsy, paraboli, hiperboli i ich równania.
48. Kwadryki i ich klasyfikacja.
2