Zadania powtórzeniowe z pracy, energii i pędu

Zadanie 1. Jaką początkową prędkość miała książka, jeśli zatrzymała się po przebyciu 1m. Współczynnik tarcia fk = 0,5.

Rozwiązanie.

Możemy na zjawisko patrzeć na dwa sposoby.

Pierwszy:

Energia kinetyczna, którą miała książka pozwoliła jej wykonać pracę trąc o stół z siłą fkmg (zaznaczoną na pomarańczowo) na drodze s. Książka wykonała tyle pracy ile miała energii.

mv

2

pocz

= f mg

2

k

Gdzie fkmg jest pracą wykonaną przez książkę podczas tarcia o stół.

Drugi :

Książka zmieniała energię, bo działała na nią siła inna niż grawitacji, tzn. siła tarcia. Ile pracy wykona ta siła, o tyle zmieniła się energia książki.

E

∆ = E

− E

= W

koń

pocz

Gdzie W jest tym razem pracą siły tarcia nad książką. Ale siła tarcia działająca na książkę jest skierowana przeciwnie do ruchu książki. Zatem ta praca jest ujemna (co oznacza tyle, że energia jest za pomocą tej pracy odbierana książce)

2

mv

2

mvpocz

koń

−

= −f mg

2

2

k

Ponieważ vkoń = 0 dostajemy:

mv

2

mv

2

0

pocz

−

= −f mg czyli

pocz

= f mg

2

k

2

k

Drugi sposób jest zatem dłuższy ale prowadzi do tego samego równania.

Zauważamy, ze masa się skraca. Obliczamy vpocz..

Zadanie 2.

Z okna (akademika) na wysokości 9 m wylatuje pod kątem 60° do poziomu butelka o prędkości 5m/s (rzucona przez pijanego studenta nieświadomego, że mógłby kogoś nią zabić) . Z jaką prędkością butelka uderzy w ziemię?

Rozwiązanie:

Zadanie to można rozwiązać za pomocą zasad dynamiki, rzut składa się bowiem z dwu części – wznoszącej i opadającej. Pierwsza to odwrócenie w czasie rzutu poziomego. Druga to klasyczny rzut

poziomy. Można by zatem po kolei wyliczyć czas wznoszenia,

wysokość na którą się wzniesie butelka, potem czas spadania, zasięg i kąt, pod którym butelka uderzy w ziemię. Ale nas interesuje tylko wartość prędkości końcowej, do wyznaczenia czego wystarczy zasada zachowania energii.

W tym przypadku podczas lotu nie działają siły inne niż grawitacja, zatem ilość energii mechanicznej nie ulega zmianie. ( Zakładamy, że opór powietrza nie odgrywa istotnej roli.)

E

= E

koń

pocz

2

mv

2

mv

koń

= mgh

pocz

+

2

2

Zauważamy, że masa skraca się z obu stron równania i wyliczamy wartość prędkości końcowej.

Zadanie 3.

O ile wzniesie się butelka z poprzedniego zadania?

Rozwiązanie:

Rozkładamy prędkość na składową pionową i poziomą. Pozioma nie ulega zmianie, a pionowa spada do zera.

Dla prostoty przyjmujemy poziom odniesienia (od którego mierzymy energię potencjalną) na wysokości, z której butelka wyleciała. Zatem w najwyższym punkcie lotu butelka wciąż ma energię kinetyczną wynikającą z prędkości poziomej.

mv

2

m(v

cos 60o )2

pocz

= mgh

pocz

+

2

2

Zadanie 4.

Piłka spada z wysokości 10 m. Oblicz prędkość uderzenia piłki w ziemię jeśli opór powietrza odebrał ¼ energii.

Rozwiązanie

Skoro są siły inne niż grawitacja i wykonują one pracę musimy uwzględnić, że będą powodować zmianę energii mechanicznej. Praca sił oporu jest zawsze ujemna, bo siła oporu działa przeciwnie do ruchu ciała.

E

− E

= W

koń

pocz

mv2

1

− mgh = − mgh

2

4

Czyli po przeniesieniu mgh na prawą stronę::

mv2

3

= mgh

2

4

Ostatnie równanie można było napisać od razu, bo oznacza, że energia kinetyczna to tylko ¾ energii potencjalnej, jaką ciało posiadało na początku.

Masa się skraca. Wyliczamy v.

Zadanie 5.

Do odciągnięcia cięciwy w łuku o 70 cm użyto siły 100 N. Z jaką prędkością zostanie wystrzelona strzała o masie 20 g?

Rozwiązanie:

Wyznaczamy współczynnik sprężystości ze wzoru

F

k =

x

Następnie stosujemy zasadę zachowania energii. Energia sprężystości łuku przeszła w energię kinetyczną strzały:

kx 2

mv2

=

2

2

Z tego wyliczamy v.

Zadanie 6.

Lecące poziomo dwie kulki plastelinowe - jedna o prędkości 5 m/s i masie 10 g, druga o prędkości 6 m/s i masie 15 g zderzają się i sklejają. Oblicz ich prędkość zaraz po zderzeniu.

Rozwiązanie

Ponieważ nie ma mowy o sile grawitacji ziemskiej, zakładamy, że zderzenie odbywa się np. w stanie nieważkości albo, że czas zderzenia jest na tyle krótki, że grawitacja ziemska nie zdąży podczas niego wpłynąć na pędy. Dlatego możemy zastosować zasadę zachowania pędu. Przyjmujemy umowę, że prędkości w prawą stronę są dodatnie a w lewą ujemne.

m v + m v = (m + m )v

1

1

2

2

1

2

Podstawiamy dane pamiętając o umowie co do znaków:

m

m

m

10

⋅ g

5 −15

⋅ 6g = 25 ⋅ v

s

s

s

Z tego obliczamy v.

Zadanie 7.

Z armaty o masie m1 =1000 kg wylatuje kula o masie m2 = 5 kg i prędkości 50 m/s. Oblicz prędkość odrzutu działa.

Rozwiązanie:

Obie części układu uzyskują przeciwnie skierowane, ale równe co do wartości pędy.

m v = m v

1

1

2

2

Z tego obliczamy szukaną prędkość.

Zadanie 8.

Armata z zadania 7 strzela pod kątem 30°do poziomu. Jaka będzie teraz prędkość jej odrzutu.

Rozwiązanie:

Tym razem musimy uwzględnić, że zasada zachowania pędu obowiązuje tylko w kierunku poziomym. W

kierunku pionowym działa siła odpowiedzi podłoża, która zatrzymuje ruch w pionie. Zatem: m v

1

1 = m v

cos

2

2

α

Z tego obliczamy v1.

Zadanie 9

W jabłko o masie 100g wiszące na sznurku (od punktu zaczepienia sznurka do środka jabłka jest odległość l=1m) wbija się rzutka o masie 20 g i prędkości 5 m/s. Oblicz prędkość jabłka po wbiciu się rzutki, kąt o który odchyli się sznurek oraz ilość energii kinetycznej zamienionej na ciepło.

Rozwiązanie

Zdarzenie ma dwa etapy. Najpierw następuje

wbicie się rzutki. Do tego etapu stosuje się zasada

zachowania pędu, bo czas wbijania jest bardzo

krótki i grawitacja nie wpływa na efekt.

m v = (m + m )v

1

1

1

2

Wyliczamy z tego v.

Aby obliczyć zmianę energii wystarczy odjąć od

energii jabłka z wbitą rzutką energię rzutki przed

uderzeniem.

(m + m )v2

mv 2

E

1

2

1

∆ =

−

2

2

Oczywiście ta zmiana wyjdzie ujemna.

Aby obliczyć kąt odchylenia korzystamy z zasady

zachowania energii mechanicznej, która po wbiciu

już zostaje niezmieniona.

(m + m )v 2

1

2

= (m + m )gh

2

1

2

Wyznaczamy z tego h i którąś z funkcji trygonometrycznych kąta wychylenia, np.: l − h

cos α =

l

Zadanie 10

Piłka o masie 10g i prędkości 5 m/s odbija się od ściany z prędkością 3 m/s. Oblicz średnią siłę uderzenia jeśli czas kontaktu piłki ze ścianą to 0,02 s.

Rozwiązanie

Umawiamy się, że kierunek dodatni jest w prawo. Stosujemy drugą zasadę dynamiki w wersji pędowej: mv

−mv

= F t

∆

koń

pocz

Gdzie za vkoń wstawiamy wartość ujemną -3 m/s. Wartość F wyjdzie ujemna, bo kierunek siły działającej na piłkę jest w lewo. Taką samą siłą, ale w prawo, działa piłka na ścianę.

Zadanie 11

Kafar o masie 500 kg wbija w dno rzeki słup. Oblicz siłę uderzenia jeśli kafar nie odskakuje, jego prędkość w chwili uderzenia to vpocz.=5 m/s, a czas zagłębiania się słupa w dno 1s. Na jaką głębokość zagłębił się słup?

Rozwiązanie.

Kafar w chwili uderzenia porusza się pod wpływem siły wypadkowej dwóch sił: siły działającej od słupa Fkaf i siły własnej grawitacji mg. To siła wypadkowa odpowiada za zmianę jego prędkości, a więc i pędu. Obliczamy ją ze wzoru:

mv

−mv

= F

t

∆

koń

pocz

wyp

Gdzie vkoń=0. Przyjmijmy kierunek dodatni w dół. Otrzymujemy wtedy równanie: m

0 − 500kg ⋅ 5

= F ⋅ s

1

s

wyp

Wyliczamy, że siła hamująca kafar to -2500N. Ta siła jest siłą wypadkową działającą na kafar podczas uderzenia.

Siła uderzenia to siła wzajemnego oddziaływania między kafarem a słupem czyli Fkaf, którą wyznaczamy ze wzoru.

mg - Fkaf = Fwyp

Czyli:

5000 N- Fkaf = -2500 N

Fkaf = 7500 N

Głębokości zagłębienia wyliczymy jako drogę hamowania kafara korzystając ze wzorów na ruch jednostajnie opóźniony.

a( t

∆ )2

F

2500N

m

s = v

t

∆ −

gdzie

wyp

a =

=

= 5

pocz

2

2

m

500kg

s

Zadanie 12

Piłka o masie 0,2 kg uderza w szybę z prędkością 10 m/s i ugina ją maksymalnie na 0,5 cm. Oblicz siłę uderzenia.

Rozwiązanie

Nie możemy zastosować drugiej zasady dynamiki w wersji pędowej, bo nie wiemy jaką prędkość zyskała piłka wskutek uderzenia, ani jaki był jego czas. Nie można uznać zderzenia za sprężyste czyli przyjąć, że energia kinetyczna jest zachowana, bo szyba przejmuje część energii wpadając w drgania, które ją ogrzewają i poruszają powietrze.

Możemy skorzystać z zasady zachowania energii w odniesieniu do pierwszego etapu zderzenia i to też

upraszczając, że piłka i szyba ogrzewają się wtedy znikomo oraz dźwięk unosi znikomą ilość energii. Piłka kosztem swej energii kinetycznej wykonuje przy tym założeniu pracę jedynie wyginając szybę. W efekcie na chwilę zatrzymuje się. Potem szyba odpycha ją z powrotem, ale to nas nie interesuje. W pierwszym etapie zachodzi:

mv2 = F⋅ x

2

Gdzie x = 0,5 cm. Obliczamy z tego F. Tak obliczona siła jest siłą średnią. Na uwagę zasługuje fakt, że im dłuższa droga hamowania, tym mniejsza siła wzajemnego oddziaływania miedzy szybą a piłką.

Możemy obliczyć też siłę maksymalną występującą w chwili największego wgniecenia szyby, decydującą czy szyba wytrzyma uderzenie. W tym celu korzystamy z zamiany energii kinetycznej piłki w energię sprężystości szyby. Obliczamy k ze wzoru:

mv2

kx 2

=

2

2

Potem siłę maksymalną obliczamy ze wzoru: F=kx.

.