Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2008 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

WART=max(X-ŚR;0)

CENA = ( 3

2

2

2

2

,

0 6 ⋅ 6 ,

5 025 + ,

0 6

,

0 4 ⋅ ,

1 65 + ,

0 6

,

0 4 ⋅17 9

, + ,

0 6

,

0 4 ⋅ 30 9

, + ,

0 6 ⋅ ,

0 4 ⋅ ,

1 ) 1

4

3

1

,

1 5

æ

100 + 120 + 160 + 150

ö

ZWROT = maxç150 −

0

; ÷ = 17 5

,

è

4

ø

CENA 1

( + i 3

) = ZWROT

1

æ ZWROT ö3

ODP = i = ç

÷ −1 ≈ ,

7

%

46

≈ 6

,

7 %

è CENA ø

Zadanie 2

Xs

= 10000 Ea I ≅ J ( , 0

07

,

0

;

03

)

3 ;

6 0,004

3; I

æ

3 ö

æ 1 ö

æ 1 ö3

ç

÷

1 − ç

÷

0,07 1 − ç

÷

ç

è1+ I ø ÷

0,07

3

0,07

Ea

=

1

x

1

1

(

x)

1

1

1

E

25

25

3; I

ç

÷ = ò

è + ø

= ò

+

− =

3

ò æ

ö

çç −

3 ÷

÷

I

x

,

0 07 − ,

0 03

x 1

( +

ç

÷

x)

x

x 1

(

x)

0,03

0,03

0,03

è

+

ø

ç

÷

è

ø

1

A

B

C

D

( A 1+3 x+3 x 2 + x 3)+ B( x+2 x 2 + x 3)+ C( x+ x 2)+

= +

+

+

=

Dx =

x 1

( + x 3

)

x

1 + x

1

( + x 2

)

1

( + x 3

)

1

( + x 3

) x

x 3 ( A + B) + x 2 3

( A + 2 B + C) + x 3

( A + B + C + D) + A

=

1

( + x 3

) x

ì A = 1

ï

ì A + B = 0

B = −1

ï

ï3

ï A + 2 B + C = 0

3

ï − 2 + C = 0

1

1

1

1

1

í

→ í

→

= −

−

−

3

2

3

3 A + B + C + D = 0

C

ï

= −1

ï

x 1

( + x)

x

1 + x

1

( + x)

1

( + x)

ïî A =1

3

ï −1−1+ D = 0

ïïî D = −1

0,07

,

1 07

Ea

=

1

1

1

1

1

1

25

1

x

t

25

3 I

ò æ

ö

+

+

= + = =

çç

2

3 ÷

÷

ò æ

ö

ç +

+ ÷ =

2

3

1

x

1

(

x)

1

(

x)

t

t

t

0,03

è +

+

+

ø

è

ø

,

1 03

é

1

1 ù ,

1 07

é

1

1

1

1

ù

= 25 ln t − −

=

ê

25 ln 0

,

1 7

ln 0

,

1 3

2 ú

ê

−

−

−

+

+

ú

ë

t

2 t û

0

,

1 7

2

0

,

1 7

0

,

1 3

,

1 03

ë

⋅

2

2 ⋅

2

0

,

1 3 û

Ea

⋅ 0

,

0 04 ⋅10000

3

X =

I

≈ 705

0

,

1 0436 −1

Zadanie 3

S = 53

0

K=50; T=0,75; r=10%; σ = 2 %

0 ; R = K + C − S; R = K − P − S

C

P

Chcemy by: R

R

C = −

c

zyl

i K

P

+ C - S = -K + P + S

100=P+2S-C

100 + C − P

S =

2

C,P wyznaczone dla S = 53

0

−

WIEMY:

rT

C − P = S

0 − Ke

Z tego:

−

100 + 53 − 50 0,075

=

e

S

≈ 53 3

, czyli zmiana wzrost o 0,3

2

Zadanie 4

(i)TAK

E( S

E X

X

X

S

n+ Φ n

=

+ + n + n+ Φ n = n +

1

) (

...

1

1

)

0

(ii)TAK

E( S 2

n 1

E X

...

X

X

2

n 1

n+1 −

− Φ n )= (( 1 + + n + n+1) − − Φ n )=

= E (( X

1 + ... + X

2

2 X

...

X

X

X 2

n 1

n )

+ ( 1 + + n ) n+1 + n+1 − − Φ n )=

= S 2 + 2 S ⋅ 0 +1− n −1 = S 2 − n n

n

n

(iii)TAK

E( E( X

1 Φ +1 Φ

= E X 1 Φ

n

) n) (

n )

Zadanie 5

X

X

X

X

X

300000 =

+

+

+

+

+

1

,

1

1

,

1 ⋅ 0

,

1 8

1

,

1 ⋅ 0

,

1 8 ⋅ 0

,

1 6

1

,

1 ⋅ 0

,

1 8 ⋅ 0

,

1 6 ⋅ 0

,

1 7

1

,

1 ⋅ 0

,

1 8 ⋅ 0

,

1 6 ⋅ 0

,

1 7 ⋅ 0

,

1 4

+

X

+

1

XA

+

1

XA

+ + XAA +

2 1

...

XA

+ ... +

3

XA +

1

,

1 ⋅ ,

1 08 ⋅ ,

1 06 ⋅ ,

1 07 ⋅ ,

1 04 ⋅ ,

1 05

1

,

1

1

,

1 ⋅ ,

1 08

1

,

1

1

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

3

A

+

3 1

XA

+ +

4

XA +

4 1

...

XA

+ ... +

5

XA =

1

,

1

1

,

1

é

ù

ê

ú

=

1

1

1

1

X ê

+

+

+ ... +

+ A + AB + A 2 B + A 3 B + A 4 Bú ê 1

,

1

1

,

1 ⋅ 0

,

1 8

1

,

1 ⋅ 0

,

1 8 ⋅ 0

,

1 6

1

,

1 ⋅ 0

,

1 8 ⋅ 0

,

1 6 ⋅ 0

,

1 7 ⋅ 0

,

1 4

ú

ë1

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

B

û

2

3

4

1 − 5

= X [ B + AB + A B + A B + A B]

A

= XB

1 − A

300

−

=

A

X

B(000 1

(

≈

5

− A ) ) 24018

1

Zadanie 6

W (A) (B) i (E) rozpatrujemy 1 zł

W C i D rozpatrujemy 1USD

1

(A) kredyt w PLN, dep w EUR DEP =

7

,

0 ⋅ 0

,

1 4 ⋅ ,

3 27 KREDYT=1,09

,

2 2

(DEP – zwrot z depozytu 1 zł w zł; KREDYT>DEP czyli NIE) analogicznie dalej sprawdzamy

(B) kredyt USD, dep PLN DEP=1,06 KREDYT=1/2,2*1,04*2,35 NIE

kredyt PLN, dep USD

DEP=1/2,2*1,02*2,35 KREDYT=1,09

(C) kredyt USD, dep EUR

DEP=0,7*1,04*1/0,72

KREDYT=1,04 NIE

kredyt EUR, dep USD

DEP=1,02

KREDYT=0,7*1,06*1/0,72 NIE

(D) kredyt EUR, dep USD

DEP=1,02

KREDYT=0,7*1,06*1,039 NIE

kredyt USD, dep EUR

DEP=0,7*1,04*1,39 KREDYT=1,04 NIE

(E) kredyt EUR, dep PLN

DEP=1,06

KREDYT=1/2,2*0,7*1,06*1/0,32=1,05 TAK

czyli odpowiedź (E) jest prawidłowa Zadanie 7

Z – zgromadzone środki

= K

Z

⋅

K

3500 ⋅

120

120

,

1 003

,

1 0025

+

3

( 500 +

119

120

30 ,

1

) 003

,

1 0025

+

100

100

+ K

K

3

( 500 + 2 ⋅

118

120

30 ,

1

) 003

,

1 0025

+ ... +

3

( 500 + 119 ⋅ 30 ,

1

) 003 ⋅

120

,

1 0025

+

100

100

K + 3

120

K +

+

3

( 500 + 120 ⋅ 30 ,

1

)

+

3

0025

3

( 500 + 121⋅ 30 ,

1

) 0025119 + ... +

100

100

K +

+

3

K

3

( 500 + 239 ⋅ 30 ,

1

) 0025 =

⋅ 3500 ⋅

120

,

1 0025

s&

&

+

12 ;

0 0,003

100

100

6

4

4

4

4

4

4

4

7

A

4

4

4

4

4

4

4

8

+ K 30 ⋅ 0

,

1 025120 ( 0

,

1 03119 + 2 ⋅ 0

,

1 03118 + ... + 119 ⋅ 0

,

1 0 )

3 +

100

B

K + 3

K + 3

+

3500 &

& s

+

30

⋅

+

⋅

+ +

⋅

12 ;

0 0,0025

(6

4

4

4

4

4

4

4

4

4

7

4

4

4

4

4

4

4

4

4

120

0

,

1 025120

121

0

,

1 025119

...

239

0

,

1 025)

8

100

100

A

= 0

,

1 03118 + 2 ⋅ 0

,

1 03117 + ... + 119

0

,

1 03

æ

ö

s&

&

−119

1

ç

A 1 −

÷ = 0

,

1 03119 + 0

,

1 03118 + ... + 0

,

1 03 −119

11 ;

9 0,003

→ A =

è

0

,

1 03 ø

1

1 − 0,

1 03

B

= 120 ⋅ 0

,

1 025119 + 121⋅ 0

,

1 025118 + ... + 239

0

,

1 025

æ

ö

s&

&

+120 ⋅ ,

1 0025120 − 239

1

Bç1 −

÷ = 120 ⋅ ,10025120 + ,10025119 + ... + , 1 0025 − 239

11 ;

9 0,0025

→ B =

è

,

1 0025 ø

1

1 − ,10025

= K

Z

[3500⋅ ,10025120 s&&

+ 30 ⋅ ,10025120 A + 3500 s&&

+ 30 B

12 ;

0 0,003

12 ;

0 0,

]+

100

0025

+ 0

,

0 3 ⋅ 3500 s&

&

+ 0

,

0 3 ⋅ 30 B

12 ;

0 0,0025

RENTA = 2000 a

= Z

12 ;

0 0,002

120

é

ù

æ 1 ö

ê

1 − ç

÷

ú

ê

è 0

,

1 02 ø

0

,

1 025120 −1

ú

2000

− 0

,

0 3 ⋅ 3500

− 0

,

0 3 ⋅ 30 B 100

ê

ú

0

,

0 2

1

ê

1 −

ú

0

,

1 025

ê

ú

ë

û

K =

, gdzie

0

,

1 03120 −

−

120

1

0

,

1 025120

120

1

3500 ⋅ 0

,

1 025

+ 30 ⋅ 0

,

1 025

A + 3500

+ 30 B

1

1

1 −

1 −

0

,

1 03

0

,

1 025

0

,

1 03119 −1

119

−

0

,

1 025

−1

119

+120 ⋅ 0

,

1 025120 − 239

1

1

1 −

1 −

0

,

1 03

0

,

1 025

A =

B =

1

1

1 −

1 −

0

,

1 03

0

,

1 025

i wychodzi około 7,86

Zadanie 8

P(0,3) – to jest cena jednostkowa czyli jest to dyskonto Aby policzyć w milionach:

120

ODP = E max 4

( X −

−0,08 x −0 1

, 2

400 0

;

x

e

e

= ò 1

)

(4 x −

−0,2

400)

x

e

=

40

100

= [1

,

0 −

−0,2

5

x

xe

−

−0,2

25

x

e

]120 10 5 x

e

100 −

[− −0,2 ]120100 =

=

(1,

0 −

−24

600 e

−

−24

25 e

+

−20

500 e

+

−20

25 e

)−10( −20

5 e

− −24

5 e

)=

2

− 4

2

− 0

−20

= −12 5

, e

+ 5

,

2 e

= 5

,

2 e

(

4

1 − 5 −

e

)

Zadanie 9

σ

r − r = β r − r β =

i

f

i ( M

f )

iM

i

2

σ M

r

X =

1

,

0 + β( ,

0 22 −

)

1

,

0

cov( r , r

X

)

1

,

0 4 =

M

→ cov = 1

,

0 4 ⋅ 6

,

0 ⋅ 5

,

0

3

,

0 6

,

0 25

cov

1

,

0 4 ⋅ 6

,

0 ⋅ 5

,

0

1

,

0 4 ⋅ 6

,

0 ⋅ 5

,

0

β =

=

→ ODP = 1

,

0 + 1

,

0 2

= 1 ,1 %

4

3

,

0 6

3

,

0 6

3

,

0 6

Zadanie 10

A= 0,25*110+0,75*80=87,5 NIE

B = 0,25*160+0,75*110=122,5 nie równa się 130 czyli NIE

C E( S F =

⋅

+

⋅

=

≠

NIE

1

0 )

,

0 25 130

7

,

0 5 100

107 5

,

110

D

E( S F < S

<

NIE

1

0 )

b

o1

07,5

110

0

SPRAWDZAMY E

E( S F ≤ S

≤

1

0 )

b

o1

07,5

110

0

E( S F = S ≤ S OK.

1

1 )

1

1

E( S F =

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

≤

OK.

2

0 )

160

,

0 252

110

7

,

0 5

,

0 25 80

7

,

0 52

75 6

, 25

110

E( S F = 130 =

⋅

+

⋅

=

≤

OK.

2

1

) ,025 160 7,

0 5 110

122 5

,

130

E( S F = 100 =

⋅

+

⋅

=

≤

OK.

2

1

) ,025 110 7,

0 5 80

87 5

,

100

czyli (E) odpowiedź prawidłowa