Mat. stosowana i met. numeryczne : listopad 2008 – Wartości własne 1
Zadanie
1. Oblicz, stosując metodę potęgową, największą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny dla danej macierzy:
1
− 1
0
A = − 2
4
− 2
0
− 1
1
przyjmując wektor startowy x(0) = (1 , 0 , 0) T i dokładność ǫ = 0 . 1 .
Odpowiedź:
Krok I dla k = 0.
1. Przyjmujemy wektor startowy: x(0) = (1 , 0 , 0) T .
2. Dokonujemy normalizacji:
( 1 )
1
1 2
1
v(0) = 0
1 0 0 0
0
/
=
0
0
0
3. Wykonujemy krok potęgowy:
1
− 1
0 1
1
x(1) = Av(0) = − 2
4
− 2 0 = − 2
0
− 1
1
0
0
4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha:
1
ρ 1 = v(0) T x(1) = 1 0 0 − 2 = 1
0
Po wykonaniu pierwszego kroku nie badamy zbieżności iteracji.
Krok II dla k = 1.
2. Dokonujemy normalizacji:
( 1 )
1
1 2
1
0 . 447
1
v(1) =
∼
− 2 / 1
− 2 0 − 2
= − 2 √ = − 0 . 894
0
0
0
5
0
3. Wykonujemy krok potęgowy:
1
− 1
0 1
3
1 . 342
1
1
x(2) = Av(1) =
∼
− 2
4
− 2 − 2 √ = − 10 √ = − 4 . 472
0
− 1
1
0
5
2
5
0 . 894
4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha:
3
1
1
23
ρ 2 = v(1) T x(2) = 1 − 2 0 √ − 10 √ =
= 4 . 6
5
2
5
5
Mat. stosowana i met. numeryczne : listopad 2008 – Wartości własne 2
Odpowiedź:
(c.d.)
5. Badamy zbieżność iteracji: ǫ( λ) 2
= | ρ 2 −ρ 1 |= | 3 . 6
ρ 2
4 . 6 |∼
= 0 . 78
W celu obliczenia ǫ( x)
2
musimy wcześniej dokonać normalizacji v(2).
( 1 )
3
3
2
3
0 . 282
1
1
1
1
v(2) =
3
∼
− 10 √ /
− 10 2 √ − 10 √
= − 10 √
= − 0 . 941
2
5
5
2
5
2
113
0 . 188
Korzystając z normy średniokwadratowej: ǫ( x)
2
= k v(2) − v(1) k ∼
= k ( − 0 . 165 , − 0 . 047 , 0 . 188) T k ∼
= 0 . 255
6. ǫ 2 > ǫ, więc nie spełnia żądanej dokładności. Przechodzimy do kolejnego kroku iteracji.
Krok III dla k = 2.
2. Normalizacja v(2) została wykonana w p. 5. kroku II.
3. Wykonujemy krok potęgowy:
1
− 1
0 3
13
1 . 222
1
1
x(3) = Av(2) = − 2
4
− 2 − 10 √
= − 50 √
= ∼
= − 4 . 704
0
− 1
1
2
113
12
113
1 . 129
4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha:
13
1
1
563
ρ
∼
3 =
v(2) T x(3) = 3
− 10 2 √
− 50 √
=
= 4 . 982
113
113
12
113
5. Badamy zbieżność iteracji: ǫ( λ) 3
= | ρ 3 −ρ 2 |= | 0 . 382
ρ 3
4 . 982 |∼
= 0 . 077
W celu obliczenia ǫ( x)
3
musimy wcześniej dokonać normalizacji v(3).
( 1 )
13
13
2
13
0 . 245
1
1
1
1
v(3) =
∼
− 50 √
/ 13 − 50 12 √
− 50 √
= − 50 √
= − 0 . 943
12
113
113
12
113
12
2813
0 . 226
Korzystając z normy średniokwadratowej: ǫ( x)
3
= k v(3) − v(2) k ∼
= k ( − 0 . 037 , − 0 . 002 , 0 . 038) T k ∼
= 0 . 053
6. Ponieważ ǫ 3 < ǫ , zatem spełniona jest żądana dokładność.
7. Przyjmujemy, że λ 1 = ρ 3 i x1 = v(3).
Zadanie
2. Zastosować twierdzenie Gerszgorina dla zlokalizowania wartości wlasnych macierzy:
1
0
0
− 1
0
1
− 1 − 1 2
Odpowiedź:
Oznaczmy si = aii.
s 1 = 1 , R 1 = 0 + 0 = 0 , czyli K 1(1 , 0) s 2 = 0 , R 2 = | − 1 | + | 1 |= 2 , K 2(0 , 2) s 3 = 2 , R 3 = | − 1 | + | − 1 |= 2, K 3(2 , 2)
[
K =
Ki, i = 1 , 2 , 3 czyli K ∈ [ − 2 , 4]
i
Mat. stosowana i met. numeryczne : listopad 2008 – Wartości własne 3
Zadanie
3. Dana jest macierz:
4
− 1
1
− 1
3
− 2
1
− 2
3
a) Znaleźć przybliżoną wartość własną wykonując 2 kroki iteracji metodą potęgową.
b) Znaleźć przybliżoną wartość własną wykonując 2 kroki metodą iteracji odwrotnej.
Przyjąć wektor startowy (0 , 1 , 0) T .
Odpowiedź:
a) Krok I dla k = 0
− 1 1
ρ 1 = 3 , v(1) = 3 √
− 2
14
Krok II dla k = 1
− 9 1
ρ 2 = 5 . 5 , v(2) = 14 √
− 13
446
Przyjmujemy, że λ 1 = ρ 2.
b) Krok I dla k = 0.
1. Przyjmujemy wektor startowy: x(0) = (0 , 1 , 0) T .
2. Dokonujemy normalizacji: v(0) = (0 , 1 , 0) T .
3. Wykonujemy krok potegowy:
5
1
− 1
0
1
1
1
x(1) = A−1 v(0) = 1
11
7
1
11
18 = 18
− 1
7
11
0
7
4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha:
1
1
11
ρ
∼
1 =
v(0) T x(1) = 0
1
0 11
=
= 0 . 611
18
18
7
Krok II dla k = 1.
2. Dokonujemy normalizacji: v(1) = (1 , 11 , 7) T 1
√ 171
3. Wykonujemy krok potegowy: x(2) = A−1 v(1) = (1 , 19 , 17) T
1
√
2 171
4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha:
1
1
1
329
ρ 2 = v(1) T x(2) = 1 11 7 √
19
√
=
= 0 . 962
171
342
17 2 171
Punkt 5. i 6. pomijamy.
7. Przyjmujemy, że λ 3 = 1 = 1 . 04.
ρ 2
Mat. stosowana i met. numeryczne : listopad 2008 – Wartości własne 4
Zadanie
4. Wykonaj trzy pierwsze iteracje metody potęgowej dla macierzy
1
− 2
0
− 2
4
− 2
0
− 1
2
przyjmując x(0) = (1 , 0 , 0) T . Zadanie powtórz dla metody iteracji odwrotnej.
Zadanie
5.
Dany jest uogólniony problem wlasny A x = λ B x, gdzie:
4
1
− 1
1
0 . 5
0 . 25
A = 1
6
0 . 5 ,
B = 0 . 5
1 . 5
− 0 . 5 .
− 1 0 . 5 10
0 . 25 − 0 . 5
1 . 5
Sprowadzić ten problem do postaci standardowej. Obliczyć metodą potęgową dominującą wartość wlasną oraz odpowiadający jej wektor wlasny x. Wykonać 4 kroki iteracji.
Zadanie
6. Dla poniższej macierzy oblicz minimalną wartość własną i odpowiadający jej wektor własny wykonując dwie pierwsze iteracje.
5 3
0 4
Przyjmij wektor startowy x(0) = [3 . 0 , 4 . 0] T .
Zadanie
7. Dla poniższej macierzy oblicz wartość własną λ najbliższą liczbie 1.0 oraz odpowiadający jej wektor własny. Wykonaj dwie pierwsze iteracje, przyjmując wektor startowy x(0) = [1 . 0 , 0 . 0] T .
2 . 0 1 . 0
1 . 0 1 . 5