AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

6

§ 2.

Przestrzenie unormowane

Przestrzenie liniowe możemy rozpatrywać z różnymi topolo-giami. Jeśli wprowadzona topologia zapewnia ciag lość dzia lań, to

‘

uzyskana przestrzeń nazywamy przestrzenia liniowo-topologiczna

‘

‘

‘

(p.l.t.). Niektóre klasy p.l.t. przedstawia poniższy rysunek.

przestrzenie liniowo-topologiczne

przestrzenie lokalnie-wypukłe

przestrzenie unormowane

przestrzenie Banacha

przestrzenie Hilberta

przestrzenie

euklidesowe

Normy i seminormy

Niech X p.liniowa. Funkcje (funkcjona l) ϕ : X → R nazywamy

‘

norma na X, jeśli:

‘

(1) ϕ(x) ≥ 0

nieujemność,

(2) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y)

nierówność trójkata,

‘

(3) ϕ(λx) = |λ|ϕ(x)

jednorodność,

(4) ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0

warunek zerowania sie.

‘

Jeśli ϕ ma w lasności (1) - (3), to ϕ nazywamy seminorma.

‘

Każda norma jest seminorma ale nie odwrotnie.

‘

Przyk lady

(a) ϕ(x) = |x|, x ∈ R, jest norma w R.

‘

(b) ϕ(x) = supt |x(t)|, x ∈ X, jest norma na C([0, 1]). ϕ

‘

1(x) =

|x(0)| jest seminorma na C([0, 1]).

[CW]

‘

(b) ϕ(x) = R 1 |x(t)| dt jest norma na C([0, 1]) i tylko seminorma 0

‘

‘

na L1([0, 1])

= {x ∈ R[0,1] : x mierzalna Lebesgue’a, R 1 |x(t)| dt < ∞}.

0

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

7

Jeśli ϕ jest norma, to piszemy ||x|| zamiast ϕ(x) oraz || · || zamiast

‘

ϕ. Pare (X, || · ||) nazywamy przestrzenia unormowana. Aksjo-

‘

‘

‘

maty normy maja zatem postać:

‘

(1) ||x|| ≥ 0,

(2) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,

(3) ||λx|| = |λ| · ||x||,

(4) ||x|| = 0 ⇔ x = 0.

Ponadto |||x|| − ||y||| ≤ ||x − y||. Funkcja d(x, y) = ||x − y||, x, y ∈ X, jest metryka na X oraz ||x|| = d(x, 0). d nazywamy

‘

metryka normy.

‘

Przyk lady

(a) Normami w Rk, k = 1, 2, . . . , sa funkcje:

‘

||x||e = px21 + . . . + x2, norma euklidesowa,

k

||x||tax = |x1| + . . . + |xk|, norma taksówkowa,

||x||max = max{|x1|, . . . , |xk|}, norma maksimum.

(b) Norma w przestrzeniach l∞, c i c

‘

0 jest funkcja:

||(tk)|| = sup |tk|, norma supremum.

k∈N

(c) Norma w C([a, b]) jest funkcja ||x|| = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}.

‘

Norma jest tu także funkcja ||x|| = R b |x(t)| dt.

‘

a

Uwagi

1. Z p.semiunormowanej (X, ϕ) możemy zawsze utworzyć przestrzeń unormowana:‘

Y = {z ∈ X : ϕ(z) = 0} jest podprzestrzenia liniowa.

‘

‘

ϕ(x − y) = 0 ⇔ x − y ∈ Y .

x ∼ y ⇔ ϕ(x − y) = 0 jest relacja równoważności w X.

‘

˜

X = X/∼ = X/Y = {[x] : x ∈ X} jest p.liniowa.‘

˜

ϕ([x]) = ϕ(x) jest norma na ˜

X.

‘

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane 8

2. Dla seminormy ϕ(x) = R 1 |x(t)| dt w L1([a, b]) mamy: 0

ϕ(x − y) = 0 ⇔ R b |x(t) − y(t)| dt = 0 ⇔ x(t) = y(t) p.w.

a

Zatem stosowana może być identyfikacja przestrzeni L1([a, b]) z L1([a, b])/∼ i traktowanie (L1([a, b]), ϕ) jako przestrzeni unormowanej - gdy identyfikujemy funkcje równe sobie p.w.

3. ϕ((tk)) = P∞ |t

na l1. ϕ(x) = R b |x(t)| dt jest

1

k| jest norma‘

a

seminorma na L1([a, b]).

‘

4. Określenie normy lub seminormy w lp i Lp([a, b]) = {x ∈

R[0,1] : x mierzalna Lebesgue’a, R 1 |x(t)|p dt < ∞}, dla p > 1 jest 0

bardziej z lożone niż w przypadku p = 1.

Niech p, q > 1. Jeśli 1/p + 1/q = 1, to p i q nazywamy wyk lad-nikami sprze żonymi. Dla dowolnych wyk ladników sprzeżonych

‘

‘

i dowolnych a, b > 0 zachodzi nierówność Younga: ab ≤ ap/p + bq/q.

Interpretacja geometryczna

x

x=tp-1 iff t=xq-1

v

t

u

Wykres funkcji x = tp−1 jest identyczny z wykresem f.odwrotnej t = x1/(p−1) = xq−1. Mamy: pole prostokata = uv, pole dolnego

‘

obszaru = R u tp−1 dt = up/p, pole górnego = R v xq−1 dx = vq/q.

0

0

Dowód 1. Dla x = up/vq, x1/p ≤ x/p + 1/q, x > 0. Dalej badamy monotoniczność funkcji f (x) = x1/p − x/p − 1/q, x > 0.

[CW]

Dowód 2. Funkcja f (x) = ln x jest wkles la na (0, ∞), tzn. dla

‘

dowolnych α, β ∈ [0, 1] takich, że α + β = 1 i dowolnych x, y ∈

[0, ∞], f (αx + βy) ≥ αf (x) + βf (y) (równoważnie, f ′′(x) ≤ 0

dla x ∈ [0, ∞]. Zatem mamy ln(ap/a + bq/q) ≥ (1/p) ln ap +

(1/q) ln bq = ln(ab).

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

9

Z pomoca nierówności Younga można uzyskać ważne w zas-

‘

tosowaniach nierówności Höldera.

Nierówności Höldera (NH). Niech p, q - wyk ladniki sprzeżo-

‘

ne. Dla dowolnych (tk), (sk) ∈ Rn

n

n

n

(a)

P |t

P

P

ksk | ≤ (

|tk|p)1/p · (

|sk|q)1/q.

k=1

k=1

k=1

Dla dowolnych (tk) ∈ lp i (sk) ∈ lq

∞

∞

∞

(b)

P |t

P

P

ksk | ≤ (

|tk|p)1/p · (

|sk|q)1/q.

k=1

k=1

k=1

Dla dowolnych x ∈ Lp[0, 1] i y ∈ Lq[0, 1]

(c)

R 1 |x(t)y(t)| dt ≤ (R 1 |x(t)|p dt)1/p · (R 1 |y(t)|q dt)1/q.

0

0

0

Dla p = q = 2 otrzymujemy z (a) nierówność Schwarza:

n

2

n

n

P |t

P

P

ksk |

≤ (

|tk|2) · (

|sk|2).

k=1

k=1

k=1

Dowód. (a) Stosujemy (*) dla k = 1, . . . , n przyjmujac

‘

|t

|s

u =

k|

,

v =

k |

.

(Pn |t

(Pn |s

1

k|p)1/p

1

k|q )1/q

Sumujemy stronami i uwzgledniamy 1/p + 1/q = 1. Z (a) przy

‘

n → ∞ otrzynujemy (b). (c) Stosujemy (*) dla:

|x(t)|

|y(t)|

u =

,

v =

.

(R 1 |x(t)|p dt)1/p

(R 1 |y(t)|q dt)1/q

0

0

i ca lkujemy stronami.

Nierówności Minkowskiego (NM) Niech p ≥ 1. Dla dowolnych (tk), (sk) ∈ Rn

n

n

n

(a)

( P |t

P

P

k + sk |p)1/p ≤ (

|tk|p)1/p + (

|sk|p)1/p.

k=1

k=1

k=1

Dla dowolnych (tk), (sk) ∈ lp

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane 10

∞

∞

∞

(b)

( P |t

P

P

k + sk |p)1/p ≤ (

|tk|p)1/p + (

|sk|p)1/p.

k=1

k=1

k=1

Dla dowolnych x, y ∈ Lp[0, 1]

1

1

1

(c)

(R |x(t) + y(t)|p dt)1/p ≤ (R |x(t)|p dt)1/p + (R |y(t)|p dt)1/p.

0

0

0

Dowód. Dla p = 1 nierówności sa oczywiste. Niech p > 1. Na

‘

podstawie nierówności trójkata i NH dla q sprzeżonego z p mamy:

‘

‘

n

n

P |t

P

k + sk |p ≤

|tk + sk| · |tk + sk|p−1 ≤

k=1

k=1

n

n

P |t

P

k | · |tk + sk |p−1 +

|sk| · |tk + sk|p−1 ≤

k=1

k=1

n

n

( P |t

P

k|p)1/p · (

|tk + sk|q(p−1))1/q+

k=1

k=1

n

n

( P |s

P

k|p)1/p · (

|tk + sk|q(p−1))1/q.

k=1

k=1

Ponieważ q(p − 1) = p, to otrzymujemy NM. (b) otrzymujemy z (a) przy n → ∞. (c) uzyskujemy podobnie jak (a).

Wnioski

(1) Funkcja ϕ((tk)) = (P∞ |t

na lp, p ≥ 1.

k=1

k |p)1/p jest norma‘

(2) ϕ(x) = (R b |x(t)|p dt)1/p jest seminorma na Lp([a, b]), p ≥ 1.

a

‘

(3) ϕ([x]) = (R b |x(t)|p dt)1/p jest norma na Lp([a, b])/∼, gdzie: a

‘

x ∼ y ⇔ x(t) = y(t) p.w.

Dla wyk ladników sprzeżonych p i q mamy:

‘

(4)

(tk) ∈ lp i (sk) ∈ lq ⇒ (tksk) ∈ l1.

[CW]

(5)

x ∈ Lp[a, b] i y ∈ Lq[a, b] ⇒ xy ∈ L1[a, b].

[CW]

Zbie żność w przestrzeniach unormowanych

Zbieżność w przestrzeni unormowanej (X, || · ||) określana jest tak samo jak w przestrzeni metrycznej i ma postać:

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane 11

xn → x ⇔ d(xn, x) → 0 ⇔ ||xn − x|| → 0.

W konsekwencji:

(a) Ciag zbieżny jest ograniczony, tj. ∃M > 0 ∀n ||x

‘

n|| ≤ M .

(b) Norma jest funkcja ciag la, tj. x

‘

‘ ‘

n → x ⇒ ||xn|| → ||x||.

(c) Każda p.unormowana jest p.l.t.

Dowód. (a) Niech xn → x. Wtedy ||xn|| ≤ ||xn − x|| + ||x|| ≤

1 + ||x|| dla p.w. n. (b) 0 ≤ |||xn|| − ||x||| ≤ ||xn − x|| → 0, gdy xn → x. (c) Ciag lość dzia lań wynika z nierówności: 0 ≤

‘

||xn +yn −x0 −y0|| ≤ ||xn −x0||+||yn −y0||, 0 ≤ ||λnxn −λ0x0|| ≤

|λn| ||xn − x0|| + |λn − λ0| ||xn||.

Zbieżność w przestrzeniach z seminorma określana jest podob-

‘

nie. Każda seminorma ϕ : X → R generuje semimetryke d(x, y) =

‘

ϕ(x − y).

(1) Zbieżność w seminormie określa warunek:

xn → x ⇔ ϕ(xn − x) → 0.

(2) Każda seminorma ma w lasność: |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ ϕ(x − y).

(3) Każda seminorma jest funkcja ciag la bo 0 ≤ |ϕ(x

‘

‘

‘

n) − ϕ(x)| ≤

ϕ(xn − x) → 0, gdy xn → x.

(4) Każda p.semiunormowana (X, ϕ) jest p.l.t..