2. Wielomiany. Funkcje wymierne.
1. Dla jakich a i b wielomian W (x) = x4 − 3x3 + ax2 + bx + 2a jest podzielny przez x2 + 1?
2. Dla jakich a i b wielomian W (x) = 12x4 − 17x2 + ax + b dzieli się bez reszty przez 2x2 + x − 1 ?
3. Wielomian w(x) przy dzieleniu przez x − 1 daje resztę 2, natomiast przy dzieleniu przez x − 2
resztę 3. Znaleźć resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x − 1)(x − 2) .
4. Znaleźć resztę z dzielenia wielomianu x101! − x + 2 przez x3 − x.
W (1)
5. Wielomian W (x) = ax3 + bx2 + cx + d ma pierwiastki: −1, 2, 3. Obliczyć wartość ilorazu
.
W (0)
6. Dla jakich wartości a i b wielomian W (x) = x3 − 2x2 + ax + b ma pierwiastek podwójny x = 1 ?
7. Wielomian x3 + x + 2 rozłożyć na czynniki.
8. Rozłożyć na czynniki wielomian w(x) = x4 + x2 + 1.
9. Wielomian x8 − 1 rozłożyć na czynniki możliwie najniższego stopnia.
10. Wiedząc, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu x3 − 3x + m , rozłóż ten wielomian na czynniki.
11. Dana jest funkcja f (x) = 1 . Rozwiązać nierówność f (x − 1) < f( 1 ) + 1.
x
x
12. Funkcja f jest malejąca w R. Rozwiązać nierówność f ( 2 ) > f (1 + x).
x
13. Rozwiązać nastepujące równania lub nierówności:
1
1 + x3
a) x + 1 <
.
b)
¬ x.
x + 1
x2 − 4
1
2
2x − 1
2
c)
>
.
d)
<
.
x
x − 1
3x + 2
3
e) |x3 + 2x2 − x − 2| ¬ 0
f) 2x3 − 4x2 − 5x + 10 = 0.
x3 − x + 6
g) x99 − x98 + 98x − 98 = 0 .
h)
0.
x2
1 + x3
i)
¬ x.
j) (x2 + 3)(x − 1)3(2x − 3)(1 − 2x)(x − 4)4 < 0
x2 − 4
14. Obliczyć sumę współczynników wielomianu w(x) = (x2 + 2x − 1)10 − 20x − 3.
q
√
q
√
3
3
15. Pokazać, że
20 + 14 2 +
20 − 14 2 jest liczbą naturalną.
16. Podać interpretację geometryczną zbiorów:
A = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 − 2x + y2 ¬ 3}
B = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ y2 + xy − 2x2 < 0}.
Narysować na płaszczyźnie zbiory A ∩ B i A \ B.
17. (maturalne)
a) Dla jakich wartości parametru m równanie
mx3 − (2m + 1)x2 + (2 − 3m)x = 0
ma pierwiastki, których suma jest dodatnia?
b)? Dla jakich wartości parametru m równanie
mx3 − (2m + 1)x2 + (2 − 3m)x + 3 = 0
ma trzy różne rozwiązania, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
KursPG.W G.
Wyszukiwarka