Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
1
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II - POZIOM ROZSZERZONY
Numer
Liczba
czynnoci
Opis wykonywanej czynnoci
Modelowy wynik etapu (czynnoci)
punktów
Sprawdzenie, ¿e dla m = 0 dane równanie 11.1 ma rozwi¹zanie
1 p
Podanie uk³adu warunków (1) na to, by
m ≠ 0
11.2 równanie kwadratowe nie mia³o rozwi¹zania 1 p
(1)
∆ < 0
Wyznaczenie wartoci spe³niaj¹cych
3
11.3
1 p
m ∈ − ,
3 −
warunek ∆ < 0
5
3
11.4 Podanie odpowiedzi.
1 p
m ∈ − ,
3 −
5
12.1 Wykorzystanie zale¿noci ( A ∩ B) ⊂ A 1 p
P( A ∩ B) ≤ P( ) A
Zastosowanie definicji prawdopodobieñstwa 12.2
1 p
P( A ∩ B) ≤ 1 − P( '
A )
zdarzenia przeciwnego
Wykorzystanie definicji prawdopodobieñstwa 12.3
1 p
P( A / B) ⋅ P( B) ≤ 1 − P( A' ) warunkowego
Wykorzystanie zale¿noci P( B) > 0 do 12.4
1 p
wykazania tezy
13.1 Powo³anie siê na definicjê izometrii 1 p
Wybór dwóch ró¿nych punktów A i B i 13.2 wyznaczenie wspó³rzêdnych ich obrazów A’ i 1 p
B’
Sprawdzenie, ¿e odleg³oci AB i '
A B' s¹
13.3
1 p
równe
Wyznaczenie równania obrazu danego okrêgu 13.4
2
2
w przekszta³ceniu
2 p
x + y − x + =
P
np.
4
3
0
Wyznaczenie dziedziny nierównoci
14.1 logarytmicznej log
x −
≥ −
x ∈ − ∞,−1 ∪ ,
1 +∞
1 (
)1 2
1 p
(
) (
)
2
Wykorzystanie monotonicznoci funkcji
14.2
x − ≤
logarytmicznej do rozwi¹zania nierównoci 1 p
1
4
Rozwi¹zanie nierównoci x −1 ≤ 4
14.3
1 p
x ∈ − ,
5 − )
1 ∪ ,
1
( 5
z uwzglêdnieniem jej dziedziny
14.4 Rozwi¹zanie nierównoci y > 0
1 p
y ∈ R \ { }
0
14.5 Naszkicowanie figury F
1 p
14.6 Napisanie równañ osi symetrii figury F
x =
1 p
,
0 y = 0
Wyznaczenie d³ugoci h wysokoci walca 250
15.1 w zale¿noci od d³ugoci r promienia 1 p
h =
podstawy
2
r
Wyznaczenie pola powierzchni ca³kowitej 2 r
π 3 +
π
500
15.2
1 p
P( r) =
walca jako funkcji zmiennej r
r
P( r)
r ∈ ( ,
0 +∞)
15.3 Okrelenie dziedziny funkcji
1 p
3
π −
π
P
r
'( r)
4
500
15.4 Wyznaczenie
1 p
P'( r) =
2
r
Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
15.5 Rozwi¹zanie równania P'( r) = 0
1 p r = 5
Uzasadnienie, ¿e dla r = 5 funkcja 15.6 przyjmuje wartoæ najmniejsz¹
1 p
16.1
x
Naszkicowanie wykresu funkcji y = 2
1 p
Naszkicowanie wykresu funkcji
16.2
x +1
1 p
y = 2
x + 1
Przekszta³cenie wyra¿enia
do
x
16.3
1 p
1
postaci 1 +
x
1
16.4 Naszkicowanie wykresu funkcji y =
1 p
x
Naszkicowanie wykresu funkcji
16.5
1
y =
+1
1 p
x
Naszkicowanie wykresu funkcji
16.6
1
y =
+1
1 p
x
Podanie liczby ujemnych rozwi¹zañ
16.7
1 p 2 rozwi¹zania
równania f ( x) = g( x) 17.1 Wyznaczenie dziedziny danego równania 1 p x ∈ ( , 0
π
2 )\ {π }
Przekszta³cenie danego równania
cos x
17.2
1p (1) 4 sin x cos x +
= 4cos x
do postaci (1)
sin x
Przekszta³cenie równania z postaci (1) 17.3
1 p
cos x(4sin2 x +1− 4sin x) (2)
= 0
do postaci (2)
Rozwi¹zanie równania cos x = 0
π
3
17.4
1 p x =
∨ x = π
w wyznaczonej dziedzinie
2
2
Rozwi¹zanie równania
π
5
17.5
2
4 sin x − 4 sin x +1 = 0
1 p x =
∨ x = π
6
6
w wyznaczonej dziedzinie
Obliczenie mocy zbioru zdarzeñ
17.6
1p Ω =
elementarnych
6
Obliczenie mocy zdarzenia A
polegaj¹cego na tym, ¿e co najmniej
17.7 jedno z wylosowanych rozwi¹zañ jest A =
π
1 p
5
wielokrotnoci¹ liczby
2
Obliczenie prawdopodobieñstwa
5
17.8
1 p P( A) =
zdarzenia A
6
Zauwa¿enie, ¿e w ci¹gu, który jest lew¹
18.1
1
stron¹ danej nierównoci a = q =
1 p
1
x
2
Podanie warunku zbie¿noci i
wyznaczenie tych wartoci x , dla 18.2
x >
których ci¹g, który jest lew¹ stron¹ danej 1 p 0
nierównoci jest zbie¿ny
Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
3
x
1
Wyznaczenie sumy S ci¹gu, który jest
2
18.3
S =
lew¹ stron¹ danej nierównoci
1 p
x
− 1
1
2
Zamiana u³amka okresowego ,
0 (9) na
18.4
1 p
,
0 (9) = 1
zwyk³y
Wykonanie podstawienia pomocniczej
x
1
t
1
18.5 niewiadomej t = i zapisanie danej 1 p (1)
> −1
2
1 − t
t
nierównoci za pomoc¹ zmiennej t (1) Przekszta³cenie nierównoci (1) do
1
18.6
1 p (2) − 2 t t − ( t − ) 1 > 0
postaci (2)
2
1
18.7 Rozwi¹zanie nierównoci (2)
1 p t ∈ (− ∞ 0
, )∪ 1
,
2
x
x
x
1
1
1
1
18.8 Zapisanie warunku (3)
1 p (3) < 0 ∨
2
> ∧ <
2
2
2
1
18.9 Wyznaczenie x z warunku (3) 1 p x ∈ (
)1
,
0
Sprawdzenie czy otrzymane wartoci x 18.10 nale¿¹ do dziedziny nierównoci 1 p
i odpowied.
Wyra¿enie d³ugoci boków b, c trójk¹ta 19.1 za pomoc¹ a i r , gdzie a to d³ugoæ 1 p b = a + r, c = a + 2 r najkrótszego boku i r > 0
Wykorzystanie informacji, ¿e suma
19.2 d³ugoci boków trójk¹ta wynosi 30 do 1 p a + r = 10
wyznaczenia zwi¹zku pomiêdzy a i r Zastosowanie twierdzenia cosinusów do
( a + 2 r)2 = 2
a + ( a + r)2 − a( a + r)
⋅ − 1
2
19.3 wyznaczenia drugiego zwi¹zku
1 p
2
pomiêdzy a i r
Zapisanie uk³adu równañ
+ =
(1)
a
r
10
z
19.4
1 p (1)
niewiadomymi a i r
2
2
2 a
− ar − 3 r = 0
19.5 Rozwi¹zanie uk³adu równañ(1)
1 p r = ,
4 a = 6
19.6 Podanie d³ugoci boków trójk¹ta
1 p a = ,
6 b =
,
10 c = 14
19.7 Obliczenie pola trójk¹ta
1 p
∆
P = 15 3
Obliczenie d³ugoci R promienia okrêgu 14
19.8
R =
opisanego na trójk¹cie
1 p
3
3
Obliczenie d³ugoci s promienia okrêgu 19.9 wpisanego w trójk¹t
1 p s = 3
R
R
14
19.10 Wyznaczenie stosunku
1 p
=
s
s
3