Elementy analizy wektorowej

Caªki krzywoliniowe niezorientowane

Zadanie

1.1

Obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych ªukach:

a) Z

dl , , { odcinek ª¡cz¡cy punkty (0; 1), (2;0);

p

x + y

,

2

2

,

b) Z xy dl, , { cz¦±¢ okr¦gu x + y = R le»¡ca w I ¢wiartce ukªadu;

2

2

2

,

c*) Z (x + y)dl, , { ¢wiartka okr¦gu x + y + z = R , y = x le»¡ca w pierwszym oktancie ukªadu wspóªrz¦dnych.

2

2

2

2

,

Zadanie

1.2

Obliczy¢ dªugo±ci podanych ªuków:

a) , : x = a(t sint); y = a(1 cos t), gdzie 0 t 2 oraz a > 0;

,

,

¬

¬

b) , : jeden zwój linii ±rubowej o skoku h nawini¦tej na walec o promieniu r;

c) , : x = e t cost; y = e t sint; z = e t, gdzie 0 t < .

,

,

,

¬

1

Zadanie

1.3

Obliczy¢ pole cz¦±ci powierzchni bocznej walca x + y = 1 ograniczonej pªaszczyznami z = x; z = 5 + y.

2

2

,

Zadanie

1.4

Obliczy¢ masy podanych ªuków o wskazanych g¦sto±ciach liniowych:

a) , : x = acos t; y = bsint, gdzie 1 t 2; (x;y) = y oraz a > 0, b > 0;

¬

¬

j

j

b) , : x = t; y = t22; z = t33, gdzie 0 t 1; (x;y;z) = p2y;

¬

¬

c) , : x = r cos t; y = r sint; z = bt, gdzie 0 t 2; (x;y;z) = x2 + y2 + z2 oraz b > 0.

¬

¬

Zadanie

1.5

Okre±li¢ wspóªrz¦dne ±rodków masy podanych ªuków jednorodnych:

a) linia ªa«cuchowa y = a

2 e + e

, gdzie a x a;

x=a

,x=a

,

¬

¬

b) linia ±rubowa x = r cos t; y = r sint; z = bt, gdzie 0 t 2;

¬

¬

c) brzeg trójk¡ta sferycznego x + y + z = 1, gdzie x 0, y 0, z 0;

2

2

2

­

­

­

Zadanie

1.6

Obliczy¢ momenty bezwªadno±ci podanych ªuków jednorodnych wzgl¦dem wskazanych osi, przyj¡¢ = 1:

0

a) brzeg kwadratu o boku a, wzgl¦dem przek¡tnej;

b) odcinek AB, gdzie A = (1;2;3), B = (3;5;4), wzgl¦dem osi Oz;

c) linia ±rubowa x = acos t; y = acos t; z = bt, gdzie x t 2:

¬

¬

Zadanie

1.7

Obliczy¢ nat¦»enie pola elektrycznego pochodz¡cego od ªadunku Q rozªo»onego równomiernie na brzegu kwadratu o boku a: Nat¦»enie pola obliczy¢ w punkcie poªo»onym w odlegªo±ci d nad jednym z wierzchoªków kwadratu.

Zadanie

1.8

Obliczy¢ siª¦, z jak¡ póªokr¡g o masie M i promieniu R przyci¡ga mas¦ punktow¡ m poªo»on¡ w ±rodku póªokr¦gu.

1

Caªki krzywoliniowe zorientowane

Zadanie

2.1

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych ªukach (zorientowanych zgodnie ze swoj¡ parametryzacj¡):

a) (x;y) = ,x2 + y2;xy; , : x = t; y = et, gdzie t [0;1];

~

F

2

b) (x;y;z) = (yz;xz;xy) , : x = cost; y = sint; z = t, gdzie t [0;2];

~

F

2

c) (x;y;z) = (y;z;x); , { odcinek AB, gdzie A = (1; 1;2), B = (0;2;3):

~

F

,

Zadanie

2.2

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe z podanych pól wektorowych po ªukach okre±lonych wskazanymi równaniami (orientacja ªuku jest zgodna ze wzrostem parametru x):

a) (x;y) = (x y;x + y), , : y = sinx, gdzie 0 x ;

~

F

,

¬

¬

b) (x;y) = (lnx;lny), , : y = x2, gdzie 1 x e:

~

F

¬

¬

Zadanie

2.3

Obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych ªukach zamkni¦tych:

a) Z xy dx + x dy, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach A = (0;0), B = (1;2), C = ( 1;4); zorientowany dodatnio; 2

,

,

b) Z x y dx + xy(y + 1)dy, , { okr¡g x + y + 2y = 0; zorientowany dodatnio;

2

2

2

,

Z

c)

(3x + 5z)dx + (x + 4y)dy + (6x z)dz, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach

,

,

A = (2;0;0), B = (0;2;0), C = (0;0;2); obiegany w kolejno±ci ABCA:

Zadanie

2.4

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych pól wektorowych po dowolnym ªuku o pocz¡tku

~

F

A i ko«cu B:

a) (x;y) = (x;y), A = (1;1), B = ( 1; 2);

~

F

,

,

b) (x;y) = (sinxcosy;cos xsiny), A = , B = (;);

~

F

2; 2

c) (x;y;z) = ,x 2yz;y 2xz;z 2xy, A = (0;0;0), B = (1;1;1):

2

2

2

~

F

,

,

,

Zadanie

2.5

Sprawdzi¢, »e podane caªki krzywoliniowe nie zale»¡ od ksztaªtu krzywej caªkowania i nast¦pnie obliczy¢ je: (Z )

1;

2

a)

e cosy dx e siny dy;

x

x

,

(0;0)

(1;2)

Z

b)

y

1

x dx , x dy; wzdªu» ªuku nie przechodz¡cego przez o± Oy;

2

(2;1)

(2;3;4)

Z

c)

,x

2yz dx + ,y 2xz dy + ,z 2xy dz:

2

2

2

,

,

,

(1;1;1)

Zadanie

2.6

Wykorzystuj¡c twierdzenie Greena obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzi¢ wynik obliczaj¡c te caªki bezpo±rednio:

2

a) Z ,1 x y dx + x,1 + y dy, , { okr¡g x + y = R ; zorientowany dodatnio;

2

2

2

2

2

,

,

b) Z ,x + y dx + ,x + y dy, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach A = (1;1), B = (3;2), C = (2;5); zorientowany 2

2

2

,

dodatnio;

Z

c)

e (1 cos y) dx e (y siny)dy, , { brzeg obszaru 0 x , 0 y sinx; zorientowany dodatnio.

x

x

,

,

,

¬

¬

¬

¬

,

Zadanie

2.7

Za pomoc¡ caªki krzywoliniowej zorientowanej obliczy¢ pola obszarów ograniczonych podanymi ªukami zamkni¦tymi: a) elipsa , : x = acos t; y = bsint, gdzie t [0;2];

2

b) kardioida , : x = 2cost cos2t; y = 2sint sin2t, gdzie t [0;2]:

,

,

2

Zadanie

2.8

Obliczy¢ prac¦ w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych ªukach zorientowanych:

a) (x;y) = ,2xy;x , dowolny ªuk , ª¡cz¡cy punkty A = (1;0);B = (0;3);

2

~

F

b) (x;y;z) = (xy;y+z;z); wzdªu» ªuku , : x = cos t; y = sint; z = t od punktu A = (1;0;0) do punktu B = ( 1;0;);

~

F

,

c) (x;y;z) = ( x; y; z) wzdªu» dowolnego ªuku , ª¡cz¡cego punkt A = (x ;y ;z ) nale»¡cy do sfery x +y +z = r 2

2

2

2

~

F

,

,

,

1

1

1

z punktem B = (x ;y ;z ) nale»¡cym do sfery x + y + z = R :

2

2

2

2

2

2

2

Caªki powierzchniowe niezorientowane

Zadanie

3.1

Obliczy¢ podane caªki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych pªatach:

Z

Z

a)

,x

2

+ y2 dS, { sfera x + y + z = R ;

2

2

2

2

Z

Z

b)

(x + y + z)dS, { cz¦±¢ pªaszczyzny x + y + z = 1 poªo»ona w pierwszym oktancie ukªadu wspóªrz¦dnych;

Z

Z

c)

px + y dS, { powierzchnia boczna sto»ka z = px + y , z 3:

2

2

2

2

¬

Zadanie

3.2

Obliczy¢ pola powierzchni podanych pªatów:

a) | cz¦±¢ pªaszczyzny 2x + 3y + z 6 = 0 wyci¦ta przez walec x + y = 4;

2

2

,

b) | cz¦±¢ paraboloidy z = x + y odci¦ta przez pªaszczyzn¦ z = h, gdzie h > 0;

2

2

c) | powierzchnia boczna sto»ka ±ci¦tego o promieniach podstaw r;R i wysoko±ci h, gdzie r < R; d*) | cz¦±¢ powierzchni Ziemi zawarta mi¦dzy poªudnikami 45 i 60

oraz równole»nikami 60 i 80 . Przyj¡¢, »e

W

N

promie« Ziemi jest równy 6370 km.

Zadanie

3.3

Obliczy¢ masy podanych pªatów o wskazanych g¦sto±ciach powierzchniowych:

a) powierzchnia sze±cianu 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1; (x;y;z) = xyz;

¬

¬

¬

¬

¬

¬

b) powierzchnia póªsfery z = pR x y ; (x;y;z) = z;

2

2

2

,

,

c) powierzchnia stó»ka z = px + y ; z 1; (x;y;z) = px + y + z .

2

2

2

2

2

¬

Zadanie

3.4

Znale¹¢ poªo»enia ±rodków masy podanych jednorodnych pªatów materialnych:

3

a) x + y + z = 4; x2 + y2 1;

¬

b) z = 2px + y ; 2 z 6;

2

2

¬

¬

b) z = x + y ; x 0; z 1;

2

2

­

¬

d) sze±cienne pudeªko o kraw¦dzi a (otwarte od góry).

Zadanie

3.5

Obliczy¢ momenty bezwªadno±ci podanych jednorodnych pªatów materialnych wzgl¦dem wskazanych osi:

a) sfera o promieniu R i masie M, wzgl¦dem ±rednicy;

b) paraboloida z = x + y ; z h; o g¦sto±ci powierzchniowej masy = , wzgl¦dem osi Oz;

2

2

¬

0

c) powierzchnia o±mio±cianu x + y + z = a o masie M; wzgl¦dem osi Oz;

j

j

j

j

j

j

d) powierzchnia boczna walca x + y = R ; H z H, o masie M; wzgl¦dem osi Ox:

2

2

2

,

¬

¬

Zadanie

3.6

Znale¹¢ siª¦, z jak¡ powierzchnia boczna sto»ka o promieniu podstawy r i wysoko±ci h; naªadowana równomiernie ªadun-kiem Q; przyci¡ga ªadunek punktowy q umieszczony w ±rodku jej podstawy.

Zadanie

3.7

Obliczy¢ nat¦»enie pola grawitacyjnego, jakie wytwarza powierzchnia jednorodnej póªsfery o masie M i promieniu R; w jej ±rodku.

Caªki powierzchniowe zorientowane i elementy analizy wektorowej

Zadanie

4.1

Obliczy¢ podane caªki powierzchniowe zorientowane:

Z

Z

a)

xy dydz + yz dzdx + xz dxdy, { zewn¦trzna strona powierzchni czworo±cianu ograniczonego pªaszczyznami

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1;

Z

Z

b)

xdydz + yz dzdx + z dxdy , { zewn¦trzna strona powierzchni sze±cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;

¬

¬

¬

¬

¬

¬

Z

Z

c)

x dydz + y dzdx + z dxdy ; { górna strona powierzchni sto»ka z = px + y , z 1;

2

2

2

2

2

¬

Z

Z

d)

z dxdy , { zewn¦trzna strona sfery x + y + z = 4:

2

2

2

2

Zadanie

4.2

Niech funkcje f; g maj¡ wszystkie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na obszarze V

3 : Uzasadni¢ wzory:

R

a)

f = g

f f

g

grad

,

grad

;

grad

g

g2

b)

h(f) = h0(f)

f, gdzie h jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na pewnym przedziale.

grad

grad

Zadanie

4.3

Uzasadni¢ podane wzory:

a)

(

U) = , gdzie U jest funkcj¡ maj¡c¡ ci¡gªe wszystkie pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du na obszarze

~

rot

grad

O

V

3 ;

R

b)

(f ) =

f ~, gdzie f jest funkcj¡ maj¡c¡ wszystkie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na obszarze

rot

~

c

grad

c

V

3 ; a

jest ustalonym wektorem.

R

~

c

4

Zadanie

4.4

Uzasadni¢ podane wzory:

a) div

=

, gdzie pola wektorowe i s¡ ró»niczkowalne na obszarze V

3 ;

~

~

~

~

~

~

~

~

F

G

G

rot

F

,

F

rot

G

F

G

R

b) div

= 0, gdzie pole wektorowe ma skªadowe dwukrotnie ró»niczkowalne w sposób ci¡gªy na obszarze

~

~

rot

F

F

V

3 :

R

Zadanie

4.5

Przy pomocy twierdzenia Gaussa{Ostrogradskiego obliczy¢ podane caªki powierzchniowe. Sprawdzi¢ otrzymane wyniki obliczaj¡c te caªki bezpo±rednio:

a) ZZ 2xy dydz y dzdx + 2z dxdy , { zewn¦trzna strona brzegu obszaru

2

,

V : x + y + z 9, x 0, y 0, z 0;

2

2

2

¬

­

­

­

Z

Z

b)

(x + z)dydz + (x + y)dzdx + (y + z)dxdy, { zewn¦trzna strona

brzegu obszaru V : x + y R , x + y + z R, z 0;

2

2

2

¬

¬

­

Z

Z

c)

x dydz + y dzdx + z dxdy , { wewn¦trzna strona powierzchni walca V : x + y R ; 0 z H:

3

3

3

2

2

2

¬

¬

¬

Zadanie

4.6

Korzystaj¡c z twierdzenia Stokesa obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe. Sprawdzi¢ otrzymane wyniki obliczaj¡c te caªki bezpo±rednio:

a) Z x y dx + dy + z dz, , { okr¡g x + y = R , z = 0; zorientowany dodatnio;

2

3

2

2

2

,

b) Z x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz, , : x = sint; y = cos t; z = sint + cost, gdzie t [0;2];

2

,

Z

c)

(y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, , { okr¡g x + y + z = R , x = y:

2

2

2

2

,

Zadanie

4.7

Obliczy¢ strumienie podanych pól wektorowych przez wskazane pªaty:

a) (x;y;z) = x

x ; 2z , { powierzchnia caªkowita walca z = x + y R , 0 z H;

2

2

2

2

~

F

3;z2 ,

3

¬

¬

¬

!

b) (x;y;z) =

x

y

z

,

;

,

;

,

,

~

p

p

p

F

x + y + z

x + y + z

x + y + z

2

2

2

2

2

2

2

2

2

{ powierzchnia zewn¦trzna sfery x + y + z = R ;

2

2

2

2

c) (x;y;z) = (5x + z;x 3y;4y 2z), { górna cz¦±¢ pªaszczyzny x + y + z = 2 odci¦ta pªaszczyznami ukªadu

~

F

,

,

wspóªrz¦dnych.

Zadanie*

4.8

Wyprowadzi¢ prawo Archimedesa.

Zadanie

4.9

Obliczy¢ cyrkulacje podanych pól wektorowych wzdªu» wskazanych ªuków zamkni¦tych:

a) (x;y;z) = ,y ;(x + y) ;z; , { ªamana zamkni¦ta ª¡cz¡c¡ punkty A = (1;0;0), B = (0;1;0), C = (0;0;1); 2

2

~

F

b) (x;y;z) = (y;1 x; z); , { ªuk zamkni¦ty otrzymany w wyniku przeci¦cia powierzchni walca (x 1) + y = 1 z 2

2

~

F

,

,

,

póªsfer¡ (x 2) + y + z = 4, z 0:

2

2

2

,

5