Wykład 1a
ROZDZIAA
2. ELEMENTY KINEMATYKI  cd
2.1.3. Twierdzenie Helmholtza
Wprowadz
my pewne twierdzenia dodatkowe które będziemy wykorzystywać przy
wyznaczaniu siły nośnej.
Jedno z twierdzeń które będziemy wykorzystywać to II twe. Helmholtza:
Strumień rotacji przez dowolny przekrój
poprzeczny rurki wirowej jest w każdej chwili
czasu jednakowy.
Rozpatrywany strumień rotacji jest pojęciem analogicznym do natężenia przepływu (wydatku
przepływu), co zapiszemy dla rurki wirowej jako
ÉndS
oczywiÅ›cie É jest prostopadÅ‚a do ds.
1
Rys. 2.4. Rurka wirowa
Rozpatrzmy wyrażenie
"É
"É "É
r
y
x z
divÉ = + + (2.11)
"x "y "z
jednocześnie
"v
ëÅ‚ "v öÅ‚
1
y
z
ìÅ‚ - ÷Å‚
É =
x
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
1 "v "v
ëÅ‚ öÅ‚
x z
É = (2.12)
ìÅ‚ - ÷Å‚
y
2 "z "x
íÅ‚ Å‚Å‚
2
"v
ëÅ‚ "v öÅ‚
1
y
x
ìÅ‚ - ÷Å‚
É =
z
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
czyli
ëÅ‚ "2v "2v öÅ‚
r 1 "2v "2v "2v "2v
y y
z x z x
ìÅ‚ ÷Å‚
divÉ = - + - + -
ìÅ‚ ÷Å‚ (2.13)
2 "y"x "z"x "z"y "x"y "x"z "y"z
íÅ‚ Å‚Å‚
więc
r
divÉ = 0 (2.14)
Z kolei, z twierdzenia Ostrogradzkiego, jeśli
r r
divÉdV = 0 to É dS = 0 gdyż divÉdV = É dS
+" +" +" +"
n n
V V
Dla rozpatrywanej strugi wirowej
É dS = ÉbndSb + É dS1 + É dS2 = 0
+" +" +" +"
wn n1 n2
S Sb S1 S2
Pierwszy człon prawej strony powyższego równania jest równy zeru z definicji strugi wirowej, a
pozostałe
É dS1 = -É1dS1
+"
n1
S1
3
 É dS2 = +É2dS2 .
+"
n2
S2
Wykorzystując powyższe zależności możemy zapisać
É dS - É dS = 0 (2.15)
2 2 1 1
lub inaczej
É dS = É dS = const (2.16)
1 1 2 2
Powyższa zależność to nic innego jak matematyczny zapis II twierdzenia Helmholtza.
Z twierdzenia tego wynika wniosek iż strugi wirowe mogą być zamknięte lub kończyć się na
granicach płynu (powierzchniach swobodnych lub ściankach  co zobrazowano na poniższym
rysunku.
4
Rys. 2.5. Możliwe układy strug wirowych.
2.1.4. Reguła Biota Savarta
Element dl strugi wirowej o natężeniu “ (zgodnie z twierdzeniem Stokesa miarÄ… natężenia strugi
wirowej może być cyrkulacja prÄ™dkoÅ›ci “)
5
Rys. 2.6. Reguła Biota Savarta
po dowolnym konturze zamkniętym, zawierającym wewnątrz tę strugę) indukuje w punkcie M
otaczającej go przestrzeni ( rys.2.6) prędkość indukowaną
“
(dl)
dv = sin Ä…dl (2.17)
i(M)
2
4Ä„r
zaś cała strugo o długości l indukuje w tym punkcie prędkość
“ sin Ä…
(l)
v = dl (2.18)
+"
i(M)
2
4Ä„ r
l
W praktyce szczególnie ważne są dwa przypadki
A. Wir prostoliniowy nieskończony
6
Rys. 2.7. Wir prostoliniowy nieskończony
Z rysunku (2.7)
CK rdÄ…
CD = dl = CK = rdÄ… dl =
sin Ä… sin Ä…
h
a z trójkąta OCM r =
sin Ä…
więc
“ “sin2 Ä… hdÄ… “dÄ…sin Ä…
dvi = sin Ä…dl = sin Ä… = (2.19)
4Ä„r2 2Ä„h2 sin2 Ä… 4Ä„h
7
Całkując otrzymamy więc
Ä…1
“ “
v = (cosÄ…1 - cosÄ…2 ) (2.20)
+"sin Ä…dÄ… =
i
4Ä„h Ä…2 4Ä„h
gdy A - " a B + "
“ “
v = [1- (-1)] = (2.21)
i
4Ä„h 2Ä„h
B. Wir prostoliniowy półnieskończony od 0 do + "
Rys. 2.8. Wir prostoliniowy półnieskończony od 0 do + "
“
v = (2.22)
i
4Ä„h
8
2.2. Potencjalny przepływ nieściśliwy
W wielu przypadkach wystarczy rozpatrywać przepływy jako niewirowe  szczególnie wtedy,
gdy nie uwzględniamy działania sił lepkości i powstawania warstwy przyściennej.
Rozpatrzmy przepływ niewirowy gdy
r
rotv = 0 (2.23)
co zapiszemy inaczej
"v
"v
y
z
rotv = - = 0
x
"y "z
"v "v
x z
rotv = - = 0 (2.24)
y
"z "x
"v
"v
y
x
rotv = - = 0
zx
"x "y
Wprowadzając funkcję potencjału prędkości Ć spełniającą zależność
r
"Õ = v (2.25)
otrzymamy tożsamościowe spełnienie równania (2.23).
9
Dla współrzędnych prostokątnych
"Õ
v =
x
"x
"Õ
v = (2.26)
y
"y
"Õ
v =
z
"z
Jeżeli zależności te (2.26) uwzględnimy w równaniu ciągłości dla przepływu nieściśliwego
r
divv = 0 (2.27)
to otrzymamy
2
" Õ = 0 (2.28)
lub inaczej
"2Õ "2Õ "2Õ
+ + = 0 (2.29)
"x2 "y2 "z2
Innymi słowy potencjał prędkości w przepływie nieściśliwym spełnia równanie Laplace a będąc
funkcją harmoniczną klasy C2 w tym przepływie (oczywiście niezależnie od przyjętego układu
współrzędnych).
10
Przepływ w którym prędkość ma potencjał nazywać będziemy przepływem potencjalnym.
Wykorzystując wyrażenie na cyrkulację (2.10), prędkość wzdłuż skierowanego łuku AB dla
przepływu potencjalnego wyniesie
ëÅ‚ "Õ "Õ "Õ öÅ‚
“ = (v dx + v dy + v dz)= ìÅ‚ dx + dy + dz÷Å‚ =
+" +"
AB x y z
ìÅ‚ ÷Å‚
AB AB "x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
= dÕ = Õ - Õ (2.30)
+"
B A
AB
Wynika stąd, że cyrkulacja w potencjalnym przepływie wzdłuż łuku nie zależy od drogi całkowania,
a jedynie od wartości potencjału prędkości na końcu i początku drogi całkowania.
2.2.1. Płaski nieściśliwy przepływ potencjalny
Równanie ciągłości dla płaskiego nieściśliwego przepływu potencjalnego przyjmie postać
"v
"v
y
x
+ = 0 (2.31)
"x "y
a równanie linii prądu
11
dx dy
= (2.32)
v v
x y
lub inaczej
- v dx + v dy = 0 (2.33)
y x
Ponieważ z (2.31)
"v
"v
y
x
= -
"x "y
to lewa strona (2.33) stanowi różniczkÄ™ zupeÅ‚nÄ… d¨ pewnej funkcji ¨ dla której
"¨ "¨
d¨ = dx + dy = 0 (2.34)
"x "y
wtedy
"¨
v =
x
"y
(2.35)
"¨
v = -
y
"x
Funkcję tą nazywać będziemy funkcją prądu lub potencjałem prądu gdyż równanie linii prądu
możemy zapisać w postaci
12
 d¨ = 0. (2.36)
Funkcja prądu ma stałą wartość wzdłuż linii prądu
¨ = const. (2.37)
W płaskim przepływie niewirowym (potencjalnym) równanie niewirowości ma postać
"v
"v
r
y
x
rot v = - = 0 (2.38)
z
"x "y
czyli
"2¨ "2¨
+ = 0 (2.39)
"x2 "y2
lub
2
" ¨ = 0 (2.40)
A więc w przepływie potencjalnym funkcja prądu jest harmoniczna (spełnia równanie Laplace a).
Przedstawmy teraz składowe prędkości za pomocą funkcji prądu i potencjału prędkości
"Õ "¨
v = =
x
"x "y
(2.41)
"Õ "¨
v = = -
y
"y "x
13
Równania te są warunkami Cauchy  Riemana dla funkcji holomorficznej.
Tak więc do badania płaskiego przepływu potencjalnego można stosować holomorficzną funkcję
zmiennej zespolonej o postaci
f (z) = Õ(x, y) + i¨(x, y) (2.42)
Funkcję tę nazywamy zespolonym potencjałem płaskiego przepływu.
Pochodna tej funkcji
df "Õ "¨
Ć
= + i = v - iv = v (2.43)
x y
dz "x "x
jest równa sprzężonej wartości zespolonej prędkości przepływu
v = v + iv (2.44)
x y
i nazywana jest prędkością zespoloną
14
Rys. 2.9. Relacja między zespoloną sprzężoną prędkością przepływu i prędkością zespoloną.
Wyznaczmy jeszcze całkę z zespolonej sprzężonej prędkości wzdłuż zamkniętego konturu na
płaszczyz
nie zmiennej zespolonej.
15
v df = (dÕ + id¨) =
+"1
dz = +" +"
L L L
= (v dx + v dy) + i (v dy - v dx) = (2.45)
+" +"
x y x y
L L
= “L + iQL
Jak wynika z powyższej zależności całka ta jest równa zespolonej sumie cyrkulacji i wydatku dla
tego konturu.
16