Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Temat: Wybrane zagadnienia kinematyki mechanizmów
Ruch punktu:
" prostoliniowy,
" krzywoliniowy (np. po okręgu, elipsie, dowolnej krzywej)
Ruch bryły:
" postępowy,
Liczbę niezależnych współrzędnych (współ-
" obrotowy,
rzędnych uogólnionych) potrzebnych do określenia
" płaski,
położenia punktu lub bryły w przestrzeni nazywamy
" kulisty,
liczbą stopni swobody
" śrubowy,
" dowolny.
RUCH POST
POWY BRYA
Y
Ruch postępowy członu zachodzi wówczas, jeżeli dowolny odcinek AB zwią-
zany sztywno z członem zachowuje położenie równoległe w kolejnych położe-
niach mechanizmu: A1B1 �ł�łA2B2
Rys. 1
Twierdzenie: Jeżeli bryła porusza się ruchem postępowym to wszystkie punkty
bryły poruszają się po torach przystających i w każdej chwili  t mają te same
prędkości i przyspieszenia.
= =
v v v v
A1 B1 A2 B2
= =
a a a a
A1 B1 A2 B2
x = x(t ), y = y(t ), z = z(t )
Równania ruchu postępowego:
x,y,z - współrzędne uogólnione
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 1
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Przykład 1. Równoległobok przegubowy
Rozkład prędkości i przyspieszeń punk-
tów członu w ruchu postępowym.
Rys. 2
Tory punktów B, C, K, M są równoległe a ich prędkości i przyspieszenia równe.
aB = aC = aK = aM vB = vC = vK = vM �2 = 0 �2 = 0
RUCH OBROTOWY BRYA
Y
Bryła wykonuje ruch obrotowy, jeżeli wszyst-
kie punkty tej bryły poruszają się po torach ko-
łowych leżących w płaszczyznach do siebie
równoległych. Środki geometryczne torów
(okręgów) leżą na jednej prostej, która jest
osią obrotu bryły.
Rys. 3
� = �(t )
Bryła w ruchu obrotowym ma jeden stopień swobody, ,
�(t )
- współrzędna uogólniona
d�
� = �(t )
Kąt obrotu bryły: , Prędkość kątowa: � =
dt
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 2
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
d�
d2�
Przyspieszenie kątowe: � = =
dt
dt2
v = � � r , v = � �" r
Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły:
Przyspieszenie liniowe styczne dowolnego punktu bryły:
t
= � � r ,
a at = � �" r
Przyspieszenie liniowe normalne dowolnego punktu bryły:
n
= � �v = � �� � r ,
a
2
�" r
an = �
Przykład 2. Człon mechanizmu płaskiego w ruchu obrotowym
Rys. 4
vB = � �" AB
n
aB = �2 �" AB,
t
aB = � �" AB
aB = AB �4 + �2
t
vB vM
aB � �" AB �
tgą = � = =
tg� = = =
n 2 2
AB AM
aB � �" AB �
RUCH PA
ASKI BRYA
Y
Bryła wykonuje ruch płaski, jeżeli
wszystkie punkty bryły poruszają się w
płaszczyznach równoległych do pewnej
płaszczyzny nieruchomej.
Rys. 5
= (t ), y0 y
= (t ), � = �(t ).
Równania ruchu płaskiego: x x
0 0
0
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 3
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Twierdzenie: Jeżeli figura płaska porusza się w swej płaszczyz
nie to z każde-
go położenia daje się przesunąć w inne położenie poprzez obrót dookoła punk-
tu leżącego w płaszczyz
nie, zwanego chwilowym środkiem obrotu.
Przykład 3.
vB
Dane: prędkość punktu B - , oraz kierunek prędkości punktu C.
Należy wyznaczyć wartość prędkości punktu C należącego członu 2, który wykonuje ruch
płaski.
W celu wyznaczenia chwilowego środka obrotu członu 2 rysujemy prostą prostopadłą
do wektora prędkości punktu B w jego początku oraz analogicznie rysujemy prostą
prostopadłą do wektora prędkości punktu C. Na przecięciu obydwu prostych znajdu-
jemy punkt O stanowiący chwilowy środek obrotu członu 2. Następnie obliczamy
�2 �2
prędkość kątową . Znając prędkość kątową obliczamy prędkość dowolnego
punktu tego członu, np. punktu C i K.
vB = �1AB
Rys. 6
Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń metodą grafoanalityczną nazywanej
również metodą planów prędkości i przyspieszeń lub metodą superpozycji
Prędkości i przyspieszenia punktów członów mechanizmów są wy-
znaczane na podstawie składania ruchu unoszenia i ruchu względnego
Metoda planów prędkości i przyspieszeń jest metodą grafoanalityczną, co
oznacza, że niektóre wielkości (prędkości i przyspieszenia liniowe i oraz pręd-
kości i przyspieszenia kątowe) obliczamy z równań algebraicznych a pozostałe
prędkości i przyspieszenia liniowe wyznaczamy z równań wektorowych.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 4
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Przykład 4
Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie punktów B, C, D mechanizmu korbowo-suwakowego
grafoanalityczną metodą planów.
Dane: �1 = const , wymiary mechanizmu AB, BC, BD.
Zadanie rozwiązać dla zadanego położenia kątowego członu napędzającego �1.
Rys. 7
Równania planu prędkości
=
Obliczamy: v �1 �" AB ,
B
= +
v v v
C B CB
następnie piszemy równanie wektorowe: (P4.1)
AC Ą"AB Ą"BC
Przyjmujemy punkt biegunowy Ą i rozwiązujemy wykreślnie w podziałce równanie (1), ry-
v
sując tzw. plan prędkości, (rys. 8). Z planu prędkości otrzymamy wartość prędkości:
,
v v
C CB
Rys. 8
Prędkość kątową dz
wigni 2 obliczymy po odczytaniu z planu prędkości wartości wekto-
v
CB
=
�
ra (odcinek bc) : ;
v 2
CB
CB
W celu wyznaczenia prędkości punktu D napiszemy równania:
= +
v v v
D B DB
(P4.2)
=
v �2 �" DB
DB
Prędkość względną - można również wyznaczyć korzystając z proporcji:
v
DB
cb CB
v
CB
= =
db DB
v
DB
następnie należy zaznaczyć na planie punkt  d (koniec wektora ).
v
DB
Po połączeniu bieguna Ą z punktem  d z otrzymamy wektor prędkości punktu D tj.
v
v D
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 5
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Równania planu przyspieszeń:
Równania przyspieszeń piszemy podobnie jak równania prędkości.
n n
= + at = 0 ponieważ = 0
a a at = aB �1
B
B B B
AB
n t
+
aC = a aCB + aCB
2
B
vCB
n
aCB = = �2 �"CB
(P4.3) gdzie:
2
CB
AC AB CB Ą"CB
Rys. 9
Rozwiązujemy wykreślnie w podziałce równanie (3), rysując tzw. plan przyspieszeń
z dowolnie przyjętego bieguna (rys. 9),
Ą
a
t
i
Otrzymamy przyspieszenia: a aCB
C
t
Przyspieszenie kątowe dz
wigni 2 obliczymy po odczytaniu wartości wektora z planu
aCB
t
aCB
przyspieszeń (odcinek bc): = .
�
2
CB
Następnie znajdziemy przyspieszenie punktu D na podstawie równań:
n t
= + +
a a a a
D B
DB DB
(P4.4)
n
gdzie: at = �" DB, oraz
� aDB = �2 �" DB
2
DB 2
n t
= +
Przyspieszenie względne - a a a , można też wyznaczyć korzystając
DB
DB DB
aCB cb CB
z proporcji: = = .
aDB db DB
Wyznaczając w ten sposób położenie punktu  d na planie przyspieszeń i łącząc następnie
biegun z tym punktem znajdziemy wykreślnie przyspieszenie .
Ą a
a D
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 6
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Analiza kinematyczna mechanizmów dz
wigniowych metodą wieloboku
wektorowego
W opisywanej metodzie łańcuch kinematyczny dowolnego płaskiego me-
chanizmu dz
wigniowego przedstawia się w postaci zamkniętego wieloboku
wektorowego (Rys. 10), który określa chwilowe położenie członów.
Ii
Każdy z wektorów tego wieloboku zdefiniowany jest we współrzędnych
Ii = Ii oraz kąt
�i
biegunowych przez dwa parametry: długość wektora
określający jego kierunek.
Rys. 10. Mechanizm dz
wigniowy Rys. 11. Określanie kątów w metodzie
jako wielobok wektorowy wieloboku wektorowego
�i
Dodatni kąt jest to taki kąt o jaki należy obrócić oś x układu współrzęd-
nych Oxy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara w prawoskręt-
nym układzie współrzędnych aby jej dodatni zwrot pokrył się z dodatnim zwro-
Ii
tem wektora co przedstawiono na Rys. 11.
Ii (Iix ,Iiy )
Przy takiej umowie współrzędne wektora wynoszą zawsze:
Iix = Ii cos�i , Iiy = Ii sin�i
(1)
sin � cos �i
a znaki współrzędnych są określone poprzez znaki funkcji i .
i
Mechanizm płaski zdefiniowany jest przez zamknięty wielobok składający się
n
Ii = 0
"
z n wektorów, co zapisujemy następująco: (2)
i =1
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 7
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Wielobok wektorowy zbudowany na
członach mechanizmu posiada
2�"
�"n parametrów.
�"�"
n
Ii = 0
"
(2)
i=1
Rys. 10 powtórzony. Mechanizm dz
wigniowy jako wielobok wektorowy
Wielobok wektorowy opisany równaniem (2) po zrzutowaniu go na osie pła-
skiego układu współrzędnych odpowiada dwóm równaniom skalarnym:
n n
lix = 0, �! li cos = 0
�i
" "
(3)
i =1 i =1
n n
liy = 0, �! li sin = 0
�i
" "
(4)
i =1 i =1
Ponieważ układ równań (3), (4) musi być oznaczony, na jego podstawie
można wyznaczyć dwa szukane parametry geometryczne np. dwie długo-
ści, długość i kąt lub dwa kąty. Pozostałe 2n - 2 parametry muszą być zatem
znane i należy je przyjąć jako dane w momencie definiowania mechanizmu.
Po zróżniczkowaniu równań (3), (4) względem czasu otrzymujemy układy
równań:
n n
dliy
dlix
= 0, = 0
" "
(5)
dt dt
i =1 i =1
n n
d2liy
d2lix
= 0, = 0
" "
oraz (6)
i =1 dt2 i =1 dt2
Z układu równań (5) wyznacza się dwie szukane prędkości liniowe lub kątowe
a na podstawie (6) dwa szukane przyspieszenia liniowe lub kątowe.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 8
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Przykład 5. Mechanizm korbowo-suwakowy
Mechanizm można zapisać trzema wektorami w sposób pokazany na Rys. 3. Należy zatem
przyjąć 2�"3  2 = 4 parametry.
�1 = �1(t ), �0 = Ą AB = l1, BC = l2
Dane: ,
xC = xC (t ), = (t ) vC = vC(t ), �2 = �2(t ) aC = aC(t ), �2 = �2(t )
�2 �2
Szukane: , ,
Rozwiązanie
l1, l2 l0
Dwa wektory mają stałą długość. Wektor zmienia swoją długość w czasie ruchu
mechanizmu. Wpisujemy wielobok wektorowy w kontur mechanizmu i oznaczamy położenia
kątowe poszczególnych wektorów względem osi Ox za pomocą kątów skierowanych.
Rys. 12
Opisujemy wielobok wektorowy równaniem wektorowym:
l1 + l2 + l0 = 0
(P5.1)
Następnie piszemy odpowiednie równania skalarne:
l1 cos + l2 cos - l0 = 0
�1 �2
(P5.2)
l1 sin + l2 sin = 0
�1 �2
(P5.3)
l1
 =
Przyjmując oznaczenie mamy z (P5.3) mamy:
l2
sin = - sin = - sin
�2 l1 �1 �1
P5.4)
l
2
�2 = arc sin( - sin )
�1
i stąd (P5.5)
A = cos�2 = 1 - sin2 �2 = 1 - 2 sin2 �1
Dalej oznaczymy: (P5.6)
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 9
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
W celu wyznaczenia prędkości liniowej oraz przyspieszenia liniowego punktu C ko-
rC
nieczne jest wprowadzenie wektora promienia wodzącego tego punktu .
Wektor promień wodzący dowolnego mechanizmu płaskiego lub przestrzen-
nego prowadzony jest zawsze od początku układu współrzędnych do danego
punktu, którego prędkość lub przyspieszenie chcemy obliczyć.
rC ( xC , 0 ) = - l0 = l1 + l2
(P5.7)
Rys. 12 powtórzony
Współrzędna wektora promienia wodzącego określająca położenie
xC = l1x + l2x = l1 cos�1 + l2 cos�2 = l1 cos�1 + l2 �" A
suwaka wynosi: P5.8)
W celu obliczenia prędkości kątowej różniczkujemy (P5.5) względem czasu:
& &
�2 cos�2 = -�1 cos�1
cos�1
(P5.9)
& & &
�2 = �2 = -�1 = -�1 A-1cos�1
cos�2
Następnie różniczkując (P1.8) względem czasu obliczymy prędkość liniową punktu C:
&
&
vC = xC = �1(sin�1 + 0,5
-l A-1sin 2�1 ) (P5.10)
1
W celu obliczenia przyspieszenia kątowego różniczkujemy (P5.9) względem czasu:
ńł �ł
�ł

�ł� 2 �ł
�łsin�1 - 2 cos �1 sin 2�1 �ł
&& &1 �ł &&
�2 = �2 = - �1 cos �1�ł
�ł żł
�ł (P5.11)
A A
�ł �ł
�ł łł
ół �ł
Następnie różniczkujemy (P5.10) i otrzymamy przyspieszenie liniowe punktu C: (P5.12)
�ł �ł
 3 
�ł �ł
&
&& &2
aC = x&C = -l1�1 sin�1 + sin 2�1 - l1�1 �łcos�1 + sin2 2�1 + cos 2�1 �ł
�ł �ł
�ł �ł
2A A
�ł łł 4A3
�ł łł
AB = I1 obraca się ze stałą prędkością kątową, wtedy jej przyspieszenie
Jeżeli korba
&&
= = = 0
�1 1 d�1 , co należy uwzględnić w równaniach.
�
kątowe jest równe zero czyli
dt
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 10
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Przykład 6. Mechanizm czworoboku przegubowego
W ten mechanizm wpisujemy cztery wektory (Rys. 13). Należy zatem przyjąć 2�"4  2 = 6
parametrów. Wszystkie wektory w przypadku tego mechanizmu mają stałą długość.
�0
Dane: �1, l1, l2 , l3 , l0 , = Ą
Szukane: �2 , �3 , �2 , �3 , �2 , �3 .
Rozwiązanie
l1 + l2 + l3 + l0 = 0
Mechanizm zapisujemy wielobokiem wektorowym: (P6.1)
Rys. 13
Po rzutowaniu równania (P2.1) na osie układu współrzędnych otrzymamy:
l1 cos�1 + l2 cos�2 + l3 cos�3 - l0 = 0
(P6.2)
l1 sin�1 + l2 sin�2 + l3 sin�3 = 0
Przekształcamy układ równań (P2.2) do postaci:
l1 cos�1 + l2 cos�2 - l0 = -l3 cos�3
(P6.3)
l1 sin�1 + l2 sin�2 = -l3 sin�3
A = l1 cos�1 - l0 , B = l1 sin�1,
Po wprowadzeniu oznaczeń: otrzymamy:
A + l2 cos�2 = -l3 cos�3
(P6.4)
B + l2 sin�2 = -l3 sin�3
Równania (P6.4) podnosimy do kwadratu i dodajemy stronami
2 2
A2 + 2Al2 cos�2 + B2 + 2Bl2 sin�2 + l2 - l3 = 0
(P6.5)
2Al2
Równanie (P6.5) dzielimy przez
2 2
A2 + B2 + l2 - l3 B
+ cos�2 + sin�2 = 0
(P6.6)
2Al2 A
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 11
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
2 2
A2 + B2 + l2 - l3
B
C =
D =
Przyjmiemy oznaczenia: , ,
2Al2
A
C + cos�2 + Dsin�2 = 0
zatem (P2.6) przyjmie postać: (P6.7)
Po podniesieniu (P2.6) stronami do kwadratu otrzymujemy:
(1 + D2 )cos2 �2 + 2C cos�2 + (C2 - D2 ) = 0
(P6.8)
Po podstawieniu w = cos�2 otrzymamy równanie kwadratowe w postaci:
(1 + D2 )w2 + 2Cw + (C2 - D2 ) = 0
(P6.9)
z którego wyznaczymy dwa pierwiastki w1, w2 , a następnie dwie wartości
�2
kąta , tj. kąty �2(1), �2( 2 ) .
Dwa rozwiązania równania kwadratowego (P6.9) odpowiadają dwóm warian-
tom położenia członów mechanizmu czworoboku przegubowego przy ustalo-
�1 �3
nym położeniu członu napędzającego co pokazano na Rys. 13. Kąt
znajdziemy z równania (P6.4). Otrzymamy odpowiednio: �3(1), �3( 2 ) .
W celu wyznaczenia prędkości kątowej członów 2 i 3 różniczkujemy pierwsze
z równań (P6.2) i otrzymujemy:
�1l1 sin�1 + �2l2 sin�2 + �3l3 sin�3 = 0
(P6.10)
d�1 d�2 d�3
�1 = , �2 = , �3 = ,
gdzie: - pochodne kątów,
dt dt dt
�3
W celu wyznaczenia prędkości kątowej obracamy układ współrzęd-
�2
nych o kąt . Równanie (P6.10) przyjmie postać:
�1l1 sin(�1 - �2 ) + �2l2 sin(�2 - �2 ) + �3l3 sin(�3 - �2 ) = 0
(P6.11)
a ponieważ wyrażenie �2l2 sin(�2 - �2 ) = 0 to otrzymamy:
�1l1 sin(�1 - �2 )
�3 = -
(P6.12)
l3 sin(�3 - �2 )
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 12
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
�3
Analogicznie obracając układ współrzędnych o kąt mamy:
�1l1 sin(�1 -�3 ) + �2l2 sin(�2 -�3 ) + �3l3 sin(�3 -�3 ) = 0
(P6.13)
sin(�3 -�3 ) = 0
Ponieważ to prędkość kątowa członu 2:
l1 sin(�1 - �3 )
�2 = - �"�1
(P6.14)
l2 sin(�2 - �3 )
W celu obliczenia przyspieszeń kątowych różniczkujemy równanie (P6.10)
2 2 2
�1 l1 cos�1 + �1l1 sin�1 + �2 l2 cos�2 + �2l2 sin�2 + �3 l3 cos�3 + �3l3 sin�3 = 0
(P6.15)
�3
Przyspieszenie kątowe członu 3 - otrzymamy obracając układ współrzęd-
�2
nych o kąt
2 2
�1 l1 cos( - �2 �1 2 2 �
) + �1l1 sin( - �
) + �2 l2 + �3 l3 cos( - �
)
�1
3 2
�3 = -
(P6.16)
l3 sin( - �2
)
�3
�2
Przyspieszenie kątowe członu 2 - otrzymamy obracając układ
�
współrzędnych o kąt
3
2
�1 l1 cos( - �3 �1 3 2 �2
) + �1l1 sin( - �
) + �2 l2 cos( - �3 2
) + �3 l3
�1
�2 = -
(P6.17)
l2 sin( - �3 )
�2
Równania (P6.15), (P6.16) i (P6.17) ulegną uproszczeniu jeżeli prędkość
kątowa �1 = const , wówczas przyspieszenie �1 = 0 .
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 13
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
Wspomaganie komputerowe analizy kinematycznej mechanizmów
Programy:
1. Analiza kinematyczna mechanizmów  AKM WIN 2,53 (ga-
laxy.uci.agh.edu.pl\~kmtmipa)
2. Simulation and Analysis of Mechanisms  SAM 4.2 (www.artas.nl)
3. Working Model
AKM WIN 2,53: analiza kinematyczną płaskich mechanizmów dz
wigniowych
i krzywkowych
SAM: Analiza kinematyczna i kinetostatyczna (siłowa) mechanizmów płaskich
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 14
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych Kinematyka mechanizmów
ZADANIA DO ROZWI
ZANIA NA ĆWICZENIACH
Mechanizm można również
zamodelować w programie SAM
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 15