Mechanika Analityczna - Opracowanie zagadnień
Lukier
9 czerwca 2005 roku
1 Przedmiot kinematyki i dynamiki układów
Zajmuje sie ruchami mas pod wpływem sił.
" kinematyka - stwarza metody opisywania ruchów
" dynamika - przy pomocy kinematyki opisuje ruch pod wpływem sił
2 Trajektoria punktu materialnego, trójścian Freneta
Trajektoria - równanie położenia od czasu:
c(t) = [c1(t), c2(t), c3(t)]T
c(t) musi być ciągłe i gładkie (różniczkowalne)
Trójścian Freneta, takie strzałeczki uczepione w punkcie na torze w czasie t. Te wektorki to:
" c(t) - trajektoria
" %0ł(t) - prędkość
-
%0ł(t)
" t = - wektor styczny do trajektorii
||%0ł(t)||
-
-
" n - wektor normalny |||| = 1
n
-
-
-
" b = t n - wektor binormalny
-
-
-
I wlasnie wektorki t , n i b rozpinają trójscian.
2.1 Zasada determinizmu i niezmienniczości w mech. Newtonowskiej
Zasada determinizmu:
Ruch jest wyznaczony przez położenie i prędkość c = F (c, %0ł, t)
Zasada niezmienniczości (względności):
Ruch jest niezmienniczy ze względu na:
" przesunięcie w czasie
" przesunięcie w przestrzeni
" ruchy jednostajne
" obroty w R3
3 Zasady dynamiki Newtona
Wstyd nie wiedzieć ale napisze:
1. Jeśli na ciało nie działają żadne siły to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza sie ruchem
jednostajnym = c = 0
2. F = m - działająca siła jest proporcjonalna do przyśpieszenia (siła nadaje przyśpieszenie)
c
3. Jeśli ciało A działa na ciało B to ciało B działa na ciało A
1
4 Pęd, moment pędu i energia ukł. pkt. mat.
Pęd
p = m%0ł
Co oczywiste że dla całego układu:
n n
p = pi = mi%0łi (1)
i=1 i=1
n n n n n
W = mici = = Fi = Fki + Fi = Fi (2)
i=1 i=1 i,k=1 i=1 i=1
Fi = Fki + Fi - siła działająca na mi (3)
n
Zmiana pędu układu to suma sił zew. W = Fi
i=1
Jeżeli suma sił = 0 to p = const.
Moment pędu:
- Ł
-
M = c m
c
Czyli dla układu:
Mi = ci p = ci mi%0łi (4)
n n
M = Mi = ci mi%0łi (5)
i=1 i=1
n n n n n
@ = %0łi mi%0łi + ci mici = ci Fi = ci Fki + ci Fi (6)
i=1 i=1 i=1 i,k=1 i=1
Zmiana momentu pędu układu = sumie momentów sił zew.
n
@ = ci Fi
i=1
Energia:
" Kinetyczna:
1 1
Ki = mi(%0łi; %0łi) = mi(%0łi)T %0łi
2 2
" Kinetyczna układu:
n
K = Ki
i=1
" Moc:
n n
Ł
K = mi %0łi; ci = %0łi; Fi
i=1 i=1
" Potencjalna:
V (c) = V (c1, c2, . . . , cn)
2
Siła Fi jest potencjalna gdy:
"V
Fi = -
"ci
Praca sił potencjalnych między a; b " R3n:
n n
b b bi bi
T
W = (F ; dc) = F dc = Fi; dci = FiT dci =
a a ai ai
i=1 i=1
n n
T T
b b
"V "V
= - dci = - dci = - dV = V (a) - V (b)
"ci "ci
a a
i=1 i=1
Czyli praca nie zależy od drogi ale od połozenia pkt. końcowych. Całkowita energia układu:
E = K + V
n
T
"V
Ł Ł
= K + V = Fi + %0łi
"ci
i=1
Jeśli siły działające w układzie są potencjalne to energia układu jest stała.
5 Zasada najmniejszego działania Hamiltona
To klu mechaniki analitycznej!
S = 0
czyli ekstremala działania musi być równa zero. Działanie jest funkcjonałem czyli takim czymś co
bierze jako argument funkcje a zwraca liczbę ,(tym sie zajmuje rachunek wariacyjny). są różne funk-
cjonały, można długość minimalizować, średnia krzywizne liczyć, można też użyc Lagranżianu albo
Hamiltonianu żeby coś z energią układu zrobić. Np dla Lagranżianu:
t1
Ldt = 0
t0
A po co to? Bo każdy rzeczywisty układ poruszając sie minimalizuje wydatek energii, wiec znajac
jakiś wzorek opisujacy energie (Lagranzian albo Hamiltonian) mozemy zobaczyc kiedy energia będzie
najmniejsza i dostać wzor na trajektorie, sa to równania różniczkowe II-go (Eulera-Lagranga) albo
I-go (kanoniczne Hamiltona) rzędu.
6 Równania Eulera-Lagrange a
d "L "L
- = 0
dt "q "q
Ł
Czasem zamiast zera z prawej będą zew. siły potencjalne. To jest wogle warunek ekstremum.
7 Równania Eulera-Poissona
Równania te to warunek na istnienie ekstremum:
"L d "L d2 "L dk "L
- + + . . . + (-1)k = 0
"q dt "q dt2 "q dtk "x(k)
Ł
3
8 Mechanika Lagranżpowska
Simple na początku ale daje r.r II-go rzędu wiec potem trudniej je policzyć analitycznie.
L(q, q, t) = K - V
Ł
i używamy r.E-L:
d "L "L
- = 0
dt "q "q
Ł
Czasem nie jest tak prosto, bo jest krzywo (przestrzeń) i z pomocą przychodzi Riemann z metryką
Q(q) i mowi:
1 1
K = mv2 = qT Q(q)qŁ
Ł
2 2
Do dalszej zabawy potrzebujemy ficzera - symbola Christoffela I-go rodzaju:
1 "Qvj "Qkv "Qjk
v = + -
j,k
2 "qk "qj "qv
I teraz coś fajnego, nie trzeba już pisać r. E-L bo równanie (a właściwie równania bo v sie zmienia):
v = 1..n, q " RN Qvj qj + v (q) qj qk = 0
Ł Ł
j,k
j j,k
dają nam juz trajektorie, jednak gdy metryka jest prosta i ktoś jest fanem r.E-L może zawsze:
1
L = Qi,j qi qj
Ł Ł
2
i,j
i mając taki Lagranżian liczyć r.E-L
9 Mechanika Hamiltonowska
Troche trudniejsza ale daje równania I-go rzędu.
Hamiltonian to:
H(q, p) = K + V
ale to ciężko znaleść, lepiej wyprowadzić go z Lagranżianu (to jest przekształcenie Legendra):
H(q, p) = px - L
i teraz trzeba wyrugować stosujac:
"L
= px
"
Mając już Hamiltonian możemy coś z nim zrobić, czyli:
Równania kanoniczne Hamiltona:
"H
=
"p
"H
W = - (+F )
"x
(+F) bo moga byc siły zewnętrzne
4
10 Stałe ruchu, nawias Poissona
d
H = 0 - tak, hamiltonian jest niezmiennikiem - pierwsza całka
dt
Do HAMiltona przyda sie też jakiś ficzer - nawias Poissona:
T T
"F "H "F "H
{F ; H} = -
"q "p "p "q
Co z tym można zrobić:
Sprzężenie: F jest stałą ruchu WTW {F ; H} = 0
Własności: {F ; F } = 0 , {F1, F2} = -{F2, F1}
Tożsamość Jakobiego: {F1; {F2; F3}} + {F2; {F3; F1}} + {F3; {F1; F2}} = 0 Gdy F1 i F2 to stałe ruchu
to ich nawias tez jest stałą ruchu.
11 Twierdzenie Liouville a o kwadraturach - stałych ruchu
Układ hamiltonowski ma n stałych ruchu, zawsze 1-ną bo Hamiltonian też jest stały. W twierdzeniu
chodzi oto że jeśli mamy tyle niezmienników co zmiennych zmiennych w wektrorze q to możemy
rozwiązać równiania Hamiltona po ludzku, twierdzenie nie działa w druga strone, tzn twierdzenie
może sie nie sprawdzić ale równania będą takie proste że będzie sie dało po ludzku, ale najczęsciej sie
rozwiązuje po komputrowemu - numerycznie.
Inwolucja: {Fi; F2} = 0 i, j = 1...n
12 Twierdzenie Liouville a o dywergencji
Przypomnienie:
div(F ) = " F
Układ dynamiczny:
= f(x)
x " Rn , strumień: t(x) Objętości : vol(F ) I trzeba sie dowiedzieć kiedy strumień t(x) zachowuje
objetość taka jak układ dynamiczny
vol(D) = vol(t(D))?
"f(x)
Jeżeli div(f(x)) = tr i = 0, to t zachowuje objętość zbioru.
"x
13 Twierdzenie Poincare o powrocie
Mamy układ dynamiczny:
= f(x), div(f(x)) = 0
D jest zbiorem niezmienniczym t(D) = D o skończonej obiętości vol(D) < U wtedy:
Każdy punkt x " D ma w każdym swoim otoczeniu taki punkt x . że w pewnej chwili t(x ) " U
14 Ograniczenia konfiguracyjne i fazowe
Tu chodzi o więzy, czyli układ nie jest już swobodny. Może być np połaczony sztywno (więzy dwu-
stronne):
fk(r1, r2, ..., rn, t) = 0 k = 1..p
Albo mogą być połaczone np nitką (więzy jednostronne):
l(r1, r2, ..., rn, t) 0 l = 1..q
5
Są to równania/nierówności więzów.
Jeśli jawnie czas t nie wchodzi do tych wzorków to nazywamy więzy skleronomicznymi, a w przeciwnym
razie reonomicznymi. Więzy które da sie opisać takimi wzorkami to więzy holonomiczne (skończone).
Tak właśnie mniej więcej wyglądaja ograniczenia konfiguracyjne.
Ograniczenia fazowe są postaci:
Ł
A(q)q = 0
Ograniczenia fazowe są holonomiczne jeśli da sie je sprowadzić do konfiguracyjnych (są całkowalne)
Ograniczeń fazowych nieholonomicznych nie da sie sprowadzić do konfiguracyjnych bo nie da sie ich
scałkować.
Ogr. fazowe sa holonomiczne jeżeli istnieje taka macierz M(q) (nieosobliwa) i F (q) takie że:
"F
M(q)A(q) =
"q
gdzie F (q) to taka funkcja która spełnia:
A(q)q = 0 ! F (q) = 0
Ł
Warunek holonomiczności (to ma związek z nawiasem Liego!):
"Ai "Aj "M "M
M(q) - = Aj - Ai
"qj "qi "qi "qj
A tak ogólnie o co chodzi, ograniczenia np widać w robotach (mini)sumo. on nie może sobie nagle
ni stąd ni z owąd pojechać w bok, najpierw musi sie obrócic i wtedy prosto. Człowiek nie ma takich
ograniczen, moze sobie iść do przodu, bokiem itp.
Przykłady ograniczeń typu Pfaffa:
" Koło toczące sie:
1. BPB - brak poślizgu bocznego
2. BPW - brak poślizgu wzdłużnego
" Samochód kinematyczny:
1. BPBKP - brak poślizgu bocznego kół przednich
2. BPBKT - brak poślizgu bocznego kół przednich
Ł
Jak wygladaja ograniczenia w postać Pfaffa? (A(q)(q) = 0) example:
1. koło BPB - q = (x, y, ) A(q) = [sin, -cos, 0] (l = 1, n = 3)
sin -cos 0 0
2. koło toczące sie - q = (x, y, , ) A(q) =
cos sin 0 -R
15 Model dynamiki układu z więzami
Mamy ograniczenia :-( i co z tym zrobić.
Ograniczenia właśnie wchodzą do r.E-L tam gdzie było magiczne zero. Tam wstawiamy siły które
spełnia nam ograniczenia (FO) i inne siły sterujące (FS).
1
1. układ swobodny L(q, q) = K(q, q) - V (q) = qT Q(q)q - V q
Ł Ł Ł Ł
2
d "L "L
2. r.E-L - = F F = FO + FS
dt "q "q
Ł
6
Ale żeby te siły nam nic nie popsuły musimy zastosować zasade d Alemberta:
Siły nie wykonują pracy na dopuszczalnych przemieszczeniach
T
A(q)q = 0 ! FO q = 0
Ł Ł
T
FO = T A(q)
gdzie " R2 - wektor mnożników Lagrange a
co daje nam takie wzorki:
Q(q)q + R(q, q) = AT (q) + FS
Ł
A(q)G(q) = 0 q = G(q)
Ł
to współczynniki
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Fizyka 2 4 Mech kwant 1W4 MECH ENpyt teor mechKOTŁY OKRĘTOWE ZALICZENIE II MECHel mech part06 drganiamech gr projekt 2mech wspoldzialLab TMM 2011 MECHw8 mech zebate 09 v5Cechy fizyko mech 2009 2tech mech rozwmech gr09 projekt 3mech gr03a naprezenia pierwotnewięcej podobnych podstron