ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE
DO MOMENTU ROZPOCZ
CIA EGZAMINU!
Miejsce
na naklejkę
MMA-R1_1P-082
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
MAJ
ROK 2008
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdz
, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 18 stron
(zadania 1  12). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla Za rozwiązanie
i linijki oraz kalkulatora. wszystkich zadań
9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL. można otrzymać
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla łącznie
egzaminatora. 50 punktów
Życzymy powodzenia!
Wypełnia zdający
przed rozpoczęciem pracy
KOD
PESEL ZDAJ
CEGO ZDAJ
CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (4 pkt)
Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia
warunek f (0) = 90 . Wielomian g dany jest wzorem g x = x3 -14x2 + 63x - 90 . Wykaż,
( )
że g x =- f dla x " R .
( ) (-x
)
y
f
1
-6 -5 -3
x
1
0
Z rysunku odczytuję miejsca zerowe funkcji f i zapisuję jej wzór w postaci
iloczynowej f (x) = a(x + 6)(x + 5)(x + 3) .
Funkcja spełnia warunek f (0) = 90, czyli a(0 + 6)(0 + 5)(0 + 3) = 90.
Obliczam współczynnik a: a =1 i zapisuję wzór funkcji f:
f (x) = (x + 6)(x + 5)(x + 3) .
Wzór funkcji f zapisuję w postaci: f (x) = x3 +14x2 + 63x + 90 .
32
Ą#
- f = - (-x +14 + 63 + 90ń# =
(-x
) ) (-x
) (-x
)
Ł#Ś#
3 2
=- Ą#-x +14x - 63x + 90ń# =
Ł#Ś#
3 2
= x -14x + 63x - 90 = g x
( )
Zatem - f = g x dla x" R .
(-x
) ( )
Egzamin maturalny z matematyki 3
Poziom rozszerzony
Zadanie 2. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność x - 2 + 3x - 6 < x .
3x - 6 = 3�" x - 2 , więc nierówność przyjmuje postać: 4 x - 2 < x .
Rozwiązanie nierówności:
ż#-4 x - 2 < -x gdy x"
( ) (-",0
)
�#
�#
-4 x - 2 < x gdy x" 0,2
( ) )
�#
�#
4 x - 2 < x gdy x" 2,"
( ) )
�#
�#
8
ż#
x > gdy x"
(-",0
)
�#
3
�#
8
�#
x > gdy x" 0,2
)
�#
5
�#
8
�#
x < gdy x" 2,"
)
�#
3
�#
W przedziale
(-",0 nierówność nie ma rozwiązania.
)
Rozwiązaniem nierówności w przedziale 0,2 są liczby rzeczywiste należące do
)
8
�#
przedziału , 2ś# , natomiast rozwiązaniem nierówności w przedziale 2," są
)
ś# ź#
5
�# #
8
ś#.
liczby rzeczywiste należące do przedziału 2,
ź#
3
#
8 8
ś#
Rozwiązaniem nierówności x - 2 + 3x - 6 < x , jest więc przedział �# , .
ś# ź#
5 3
�# #
4 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 3. (5 pkt)
Liczby x1 = 5 + 23 i x2 = 5 - 23 są rozwiązaniami równania x2 - p2 + q2 x + p + q = 0
( )
( )
z niewiadomą x. Oblicz wartości p i q .
Zapisuję równanie kwadratowe w postaci iloczynowej:
x - 5 - 23 �" x - 5 + 23 = 0
( ) ( )
przekształcam je do postaci ogólnej
2
x
( - 5 - 23 = 0
)
2
x -10x + 2 = 0
Porównuję odpowiednie współczynniki obu postaci równania i stwierdzam, że
2 2
muszą być spełnione równocześnie dwa warunki: p + q =10 i p + q = 2 .
2 2
ż# p + q =10
Rozwiązuję układ równań
�#
p + q = 2
�#
Dokonuję podstawienia: q = 2 - p i otrzymuję równanie kwadratowe z jedną
niewiadomą: p2 - 2 p - 3 = 0.
Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są liczby: p1 = 3 lub p2 =-1.
Obliczam wartości q w zależności od p:
Dla p1 = 3, q1 =-1, natomiast dla p2 = -1, q2 = 3.
Egzamin maturalny z matematyki 5
Poziom rozszerzony
Zadanie 4. (4 pkt)
Rozwiąż równanie 4cos2 x = 4sin x +1 w przedziale 0, 2Ą .
Przekształcam równanie: 4 1- sin2 x = 4sin x +1
( )
4sin2 x + 4sin x - 3 = 0
Wprowadzam pomocniczą niewiadomą sin x = t i t " -1,1 , i zapisuję równanie
4t2 + 4t - 3 = 0 .
1 3
Rozwiązaniem tego równania są liczby: t1 = lub t2 = - , t2 " -1,1 .
2 2
1
Powracam do podstawienia i otrzymuję: sin x = .
2
1 Ą 5Ą
Rozwiązuję równanie sin x = w przedziale 0,2Ą : x = lub x = .
2 6 6
6 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 5. (5 pkt)
2
Dane jest równanie + 3 = p z niewiadomą x. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania
x
w zależności od parametru p.
2
Szkicuję wykres funkcji f x = + 3 dla x `" 0.
( )
x
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
2
Z wykresu odczytuję liczbę rozwiązań równania + 3 = p w zależności od
x
parametru p:
" dla p < 0 równanie nie ma rozwiązania,
" dla p = 0 lub p = 3 równanie ma jedno rozwiązanie,
" dla 0 < p < 3 lub p > 3 równanie ma dwa rozwiązania.
Egzamin maturalny z matematyki 7
Poziom rozszerzony
Zadanie 6. (3 pkt)
Udowodnij, że jeżeli ciąg a, b, c jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny,
( )
to a = b = c .
Stosuję związki między sąsiednimi wyrazami ciągów arytmetycznego
i geometrycznego do zbudowania układu równań:
a + c
ż#
= b
�#
2
�#
2
�#a �" c = b
�#
a + c
Podstawiam do drugiego równania w miejsce b wyrażenie i otrzymuję
2
2
a + c
�# ś#
równanie: ac =
ś# ź#
2
�# #
Wykonuję równoważne przekształcenia:
22
4ac = a + 2ac + c
22
a - 2ac + c = 0
2
a
( - c = 0 , a stąd otrzymuję równość a = c .
)
Korzystając z równości a = c i z pierwszego równania układu otrzymuję:
2 �" c
= b , stąd otrzymuję równość c = b.
2
Ponieważ zachodzi a = c i b = c , więc a = b = c , co należało udowodnić.
8 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 7. (4 pkt)
1
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y = x2 +1 jest równoodległy od osi Ox i od
4
punktu F = (0, 2) .
y
1
�#
2
P = x, x +1ś#
ś# ź#
4
�# #
F = 0, 2
( )
x
0
P = x,0
( )
x
Wybieram dowolny punkt P leżący na paraboli i oznaczam jego współrzędne
1
�#
w zależności od jednej zmiennej P = x, x2 +1ś# .
ś#ź#
4
�# #
Punkt Px = x,0 jest rzutem punktu P na oś Ox. Odległość punktu P od osi Ox
( )
1
jest równa PPx = x2 +1 .
4
1 11
x2 +1 > 0 dla każdego x" R , więc PPx = x2 +1 = x2 +1.
4 44
Wyznaczam odległość punktu P od punktu F:
2
1
�#
PF = x2 + x2 +1- 2ś#
ś#ź#
4
�# #
1 1
PF = x4 + x2 +1
16 2
2
11 1
�#
PF = x2 +1ś# = x2 +1 = x2 +1
ś#ź#
44 4
�# #
Zatem PPx = PF .
Egzamin maturalny z matematyki 9
Poziom rozszerzony
Zadanie 8. (4 pkt)
Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
2 22
x
( -16 + y2 = 4 jest okrąg o równaniu x - 6 + y - 4 = 16 , a skala tej jednokładności
) ( ) ( )
jest liczbą ujemną.
2
Środkiem okręgu x -16 + y2 = 4 jest punkt S1 = 16, 0 , a promień r1 = 2 .
( ) ( )
22
Środkiem okręgu x - 6 + y - 4 =16 jest punkt S2 = 6, 4 , a promień r2 = 4.
( ) ( ) ( )
y
12
11
10
9
8
7
6
5
S2
4
3
2
S
1
S1 x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Na płaszczyz
nie każde dwa okręgi są jednokładne. W tym przypadku stosunek
długości promieni danych okręgów jest równy 2, więc szukam punktu
S = x, y , który jest środkiem jednokładności o skali .
( ) (-2
)


Z własności jednokładności wynika równanie: SS2 =-2 �" SS1 ,


SS2 = 6 - x,4 - y , SS1 = 16 - x,-y
[] [ ]
6
[ - x, 4 - y = -2 �" 16 - x, - y
] [ ]
6
[ - x, 4 - y = + 2x, 2y
] [-32
]
10 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
38
Obliczam odciętą punktu S: 6 - x = -32 + 2x , stąd x = .
3
4
Obliczam rzędną punktu S: 4 - y = 2y , stąd y = .
3
38 4
�# ś#
Odp. Środkiem jednokładności jest punkt S = , .
ś# ź#
3 3
�# #
Egzamin maturalny z matematyki 11
Poziom rozszerzony
Zadanie 9. (4 pkt)
Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji f x = log 8x - x2 .
( )
( )
2
2
2
Korzystam z faktu, że funkcja logarytmiczna dla podstawy równej jest
2
malejąca. Oznacza to, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość dla
największego argumentu.
Wyznaczam dziedzinę funkcji f:
8x - x2 > 0
x �" 8 - x > 0
( )
x" 0, 8
( )
Wyrażenie 8x - x2 osiąga największą wartość dla x = 4 i jest ona równa 16.
2
Najmniejszą wartością funkcji f x = log 8x - x jest liczba log 16 .
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
Obliczam wartość funkcji f dla argumentu 16, korzystając z definicji logarytmu:
log 16 = y
( )
2
2
y
�# ś#
2
=16
ś# ź#
2
�# #
y
1
-
�# ś#
4
2
2 = 2
ś# ź#
�# #
- y
= 4, więc y = -8
2
Odpowiedz
: Liczba jest najmniejszą wartością funkcji f.
(-8
)
12 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 10. (4 pkt)
Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo
dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety
jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.
Oznaczam: n  liczba kobiet, 2n  liczba mężczyzn i n e" 2.
Zdarzeniem elementarnym jest każdy dwuelementowy podzbiór zbioru
3n - elementowego.
Wyznaczam moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych �:
3n
�# ś# 3n 3n -1
( )
�= = .
ś# ź#
2 2
�# #
A  zdarzenie polegające na tym, że w delegacji znajdują się tylko kobiety.
Wyznaczam liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A:
n
�# ś# n n -1
( )
A = = .
ś#
2ź# 2
�# #
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia A:
n n -1
( )
n -1
2
P A == .
( )
3n 3n -1
( ) 3 3n -1
( )
2
Zapisuję równanie wynikające z warunków zadania :
n -1 1
=
3 3n -1 10
( )
10n -10 = 9n - 3
n = 7
Odpowiedz
: W grupie jest 7 kobiet i 14 mężczyzn.
Egzamin maturalny z matematyki 13
Poziom rozszerzony
Zadanie 11. (5 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H  wysokość ostrosłupa oraz
ą  miara kąta utworzonego przez krawędz
boczną i krawędz
podstawy ( 45 < ą < 90 ).
3
4 H
a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa �" .
3 tg2ą -1
2
3
b) Oblicz miarę kąta ą , dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa H . Wynik
9
podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.
S
H h
D
C
.
E
O
ą
a
A
B
Wprowadzam oznaczenia:
a  długość krawędzi podstawy ostrosłupa,
h  wysokość ściany bocznej ostrosłupa.
h a
a) Z trójkąta prostokątnego BES wyznaczam h: = tgą , stąd h = �" tgą .
a
2
2
Stosuję twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOE i otrzymuję:
2
a
�# ś#
22
H + = h .
ś# ź#
2
�# #
22
a a a
�# ś# �# ś#
2
Podstawiam wyrażenie �"tgą w miejsce h, otrzymuję H + = tgą .
ś# ź# ś# ź#
2 2 2
�# # �# #
14 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
2
Wyznaczam a :
2 2 2 2
a a a 4H
22 2 2
2
H + = �" tg ą , H = �" tg ą -1 , a = .
()tg ą -1
2
4 4 4
Obliczam objętość ostrosłupa:
2
1 4H
2 2
podstawiam do wzoru V = a H wyznaczoną wartość a = ;
2
3 tg ą -1
23
1 4H 4 H
V = �" �" H = �"  co należało wykazać.
22
3 tg ą -1 3 tg ą -1
3
24 H
3
b) Zapisuję równanie: �" H = �" .
2
93 tg ą -1
9 6
Mnożę obie jego strony przez i otrzymuję równanie: 1 = .
3 2
2 �" H tg ą -1
2
Stąd tg ą = 7 czyli tgą = 7 (odrzucam równość tgą =- 7 , bo ą jest kątem
ostrym).
7 H" 2,6458

Z tablic funkcji trygonometrycznych odczytuję szukaną miarę kąta ą : ą = 69 .
Egzamin maturalny z matematyki 15
Poziom rozszerzony
Zadanie 12. (4 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: BC = 9 , CA = 12 . Na boku
AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość
odcinka AD .
B
E
.
D
C
A
Rysuję wysokość CE poprowadzoną z wierzchołka C trójkąta ABC. Jest ona
jednocześnie wysokością trójkąta równoramiennego BCD, co oznacza, że
BE = DE .
Trójkąt BEC jest podobny do trójkąta ABC (oba trójkąty są prostokątne, kąt
EBC jest ich kątem wspólnym).
BE BC
Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja = .
BC AB
2 2
Obliczam długość odcinka AB: AB = 9 +12 =15 i korzystając z wyznaczonej
2
BC
27
proporcji obliczam długość odcinka BE: BE == .
AB 5
27 21 1
Wyznaczam długość odcinka AD: AD =15 - 2 �" = = 4 .
5 5 5
1
Odpowiedz
: Odcinek AD ma długość równą 4 .
5
16 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
BRUDNOPIS