Semestr 4 g. w. + 4 g. ćw. Next: Semestr 2 g. w. Up: Program Previous: Semestr 4 g. w.   Contents Semestr 4 g. w. + 4 g. ćw.
Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych - granice i
ciągłość. Pochodna funkcji jednej zmiennej
rzeczywistej o wartościach w przestrzeni unormowanej. Pochodne czastkowe. Twierdzenie o pochodnej funkcji
zozonej. Pochodne czastkowe wyzszych rzedów. Pochodne kierunkowe.


Różniczka funkcji w przestrzeni unormowanej.
Przykłady w
. Interpretacja geometryczna. Związek z pochodną
kierunkową. Przypadek funkcji ,
macierz pochodnej. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.


Zastosowania różniczek: ekstrema funkcji wielu
zmiennych,
funkcje uwikłane, zastosowania geometryczne, ekstrema warunkowe.
Metoda mnożnika Lagrange'a
Pole wektorowe: potencjał, rotacja i diwergencja.

8. Rachunek cakowy funkcji wielu zmiennych.



Caki podwójne - definicja. Twierdzenie o wartości średniej.
Interpretacje. Zamiana całki podwójnej na
iterowaną. Całki potrójne - definicja, zamiana na całkę iterowaną.


Zamiana zmiennych w calkach wielokrotnych. Współrzędne
sferyczne i cylindryczne. Całki krzywoliniowe skierowane. Interpretacja
fizyczna. Zamiana na całkę Riemanna.


Twierdzenie Greene'a i jego konsekwencje, niezależność całki
krzywoliniowej od drogi całkowania. Potencjał.
Całka krzywoliniowa nieskierowana: definicja, interpretacja,
zamiana na całkę Riemanna.


Calka powierzchniowa niezorientowana. Interpretacje.
Zamiana na calkę podwójną. Całka powierzchniowa zorientowana i niezorientowana.
Twierdzenie Stokesa i twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego.


Informacja o cace Lebesque'a.

9. Szeregi.



Szereg w przestrzeni unormowanej. Zbieżność
szeregu. Twierdzenia o zbieżności szeregów i ich sumach. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne. Zbieżność szeregów
bezwzględnie zbieżnych
w przestrzeniach Banacha. Szeregi geometryczne i harmoniczne. Kryteria: porównawcze,
Cauchy'ego
i d'Alemberta zbieznosci bezwzglednej.
Kryterium całkowe.


Szereg Taylora funkcji. Twierdzenie o szeregu Taylora. Szeregi funkcyjne - jednostajna zbieżność.
Kryterium Weierstrassa. Szeregi potęgowe - promień zbieżności. Szereg pochodny
szeregu potęgowego. Funkcje: wykadnicza, cos i sin w . Twierdzenie o różniczkowaniu szeregów. Kryterium
całkowe zbieżności szeregów.

10. Funkcje zmiennej zespolonej.



Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej i zmiennej
zespolonej. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej.
Wzory Cauchy-Riemanna.


Funkcje holomorficzne. Szeregi potegowe. Funkcje cakowite. Twierdzenie
podstawowe Cauchy'ego. Wzór Cauchy'ego. Funkcja holomorficzna w pierścieiu .
Szereg Laurenta. Residuum funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach.

11. Równania różniczkowe zwyczajne.

Równania różniczkowe zwyczajne. Problem
Cauchy'ego. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania.
Równania o zmiennych rozdzielonych, równania liniowe
rzędu pierwszego.


Równania Lagrange'a i Clairauta. Równania zupełne - czynnik całkujący.
Równania Bernouliego.
Równania rzędu
drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu
pierwszego.

Next: Semestr 2 g. w. Up: Program Previous: Semestr 4 g. w.   Contents