O2: Wyznaczanie ogniskowych soczewek i badanie wad soczewek.
Przemysław Kołoczek.
1. Wstęp.
Soczewka jest zbudowana z przezroczystego materiału, ograniczonego z dwóch stron
powierzchniami sferycznymi, których środki znajdują się na głównej osi optycznej
soczewki. Promienie przechodzące przez soczewkę załamują się dwukrotnie, a te biegnące
równolegle do osi optycznej skupiają się w ognisku (F) soczewki.
Rysunek 1. Ogniska soczewki skupiajÄ…cej i rozpraszajÄ…cej.
Odległość ogniska od środka optycznego soczewki to ogniskowa (f), zależna od promieni
obu krzywizn (R , R ) oraz współczynnika załamania światła materiału soczewki (n):
1 2
1 1 1
( )
= 5Ø[Ü - 1 ( + )
5ØSÜ 5ØEÜ1 5ØEÜ2
Wyrażenie to jest prawdziwe dla soczewek cienkich, w powietrzu. Obraz powstający w
soczewce można skonstruować wykorzystując bieg charakterystycznych promieni:
Rysunek 2. Konstrukcja obrazu w soczewce skupiajÄ…cej.
Rysunek 3. Konstrukcja obrazu w soczewce rozpraszajÄ…cej.
Ogniskową można również wyznaczyć doświadczalnie na kilka sposobów. Pierwszy
wykorzystuje równanie soczewki. Równanie to ukazuje zależność między ogniskową
soczewki a odległością przedmiotu (a) i obrazu (b) od soczewki:
1 1 1
= +
5ØSÜ 5ØNÜ 5ØOÜ
Można znalez
ć położenie soczewki, gdzie pojawia się ostry, powiększony obraz
przedmiotu. Wyznaczając a i b, można obliczyć ogniskową soczewki, z przekształconego
równania soczewki:
5ØNÜ5ØOÜ
5ØSÜ =
5ØNÜ + 5ØOÜ
Rysunek 4. A
awa optyczna do wyznaczania ogniskowych soczewek.
Drugi sposób to metoda Bessela. Można znalez
ć położenia soczewki, gdzie pojawiają się
dwa ostre obrazy  powiększony (b ) i pomniejszony (b ). Odległości te można wyznaczyć
1 2
z równania soczewki:
1 1 1
= +
5ØSÜ 5ØYÜ - 5ØOÜ 5ØOÜ
przy czym l  odległość między przedmiotem a ekranem. Powstaje równanie kwadratowe
względem b, mające dwa rozwiązania (pod warunkiem l > 4f):
5ØYÜ + "5ØYÜ2 - 45ØYÜ5ØSÜ 5ØYÜ - "5ØYÜ2 - 45ØYÜ5ØSÜ
5ØOÜ1 = 5ØOÜ2 =
2 2
Ponadto odległość między położeniami soczewki (d), w których widoczny jest ostry obraz
wynosi:
"
5ØQÜ = 5ØOÜ1 - 5ØOÜ2 = 5ØYÜ2 - 45ØYÜ5ØSÜ
Ostatecznie:
5ØYÜ2 - 5ØQÜ2
5ØSÜ =
45ØYÜ
Rysunek 5. Metoda Bessela wyznaczania ogniskowych soczewek.
Trzecia metoda wykorzystuje ogniskową układu soczewek (f ). Ogniskowa dwóch cienkich
u
soczewek (f i f ) położonych blisko siebie spełnia zależność:
1 2
1 1 1
= +
5ØSÜ5ØbÜ 5ØSÜ1 5ØSÜ2
Jeżeli soczewki te leżą od siebie w odległości d, powyższe równanie przyjmuje postać:
1 1 1 5ØQÜ
= + -
5ØSÜ5ØbÜ 5ØSÜ1 5ØSÜ2 5ØSÜ15ØSÜ2
Soczewki mają kilka wad. Aberracja sferyczna  to różne położenia ognisk dla promieni
przyosiowych i brzegowych. Brzegowe załamują się silniej, więc ich ognisko jest położone
bliżej soczewki. Aberracja chromatyczna  to różne położenia ognisk dla promieni o
różnych długościach fal (barwach). Promienie krótsze (fioletowe) załamują się silniej, więc
ich ognisko jest położone bliżej soczewki. Astygmatyzm jest deformacją obrazu po
przejściu promieni przez soczewkę ustawioną pod kątem do głównej osi optycznej.
Wiązka promieni równoległych do osi optycznej nie skupia się w jednym punkcie, wobec
tego obraz przedmiotu jest zdeformowany (różne części wiązki załamują się na
fragmentach soczewki o różnych warunkach geometrycznych).
Rysunek 6. A
awa optyczna do badania astygmatyzmu soczewek (widok z góry).
2. Opis doświadczenia.
Podłączono do odpowiednich gniazdek elektrycznych z
ródło światła ławy optycznej
(lampkę) i latarkę, które włączono po zgaszeniu światła przez prowadzącego. Na ławie
optycznej zamontowano przedmiot (matowa płytka szklana z literą  g ) i soczewkę
skupiającą (+10 D), której wysokość wyrównano względem przedmiotu i ekranu, a
następnie ustalono odległość przedmiotu i ekranu. Znaleziono położenie soczewki na
ławie optycznej, przy którym na ekranie pojawił się ostry, powiększony obraz przedmiotu,
kilkakrotnie powtórzono pomiar. NastÄ™pnie soczewkÄ™ obrócono o 180° i czynnoÅ›ci te
powtórzono. Wszystkie operacje powtórzono dla nowej odległości między przedmiotem a
ekranem. Dla tej samej soczewki wykonano analogiczne czynności podczas badania jej
ogniskowej metodą wykorzystującą równanie soczewki z tą różnicą, że szukano położeń
soczewki, gdzie pojawiały się dwa obrazy  najpierw powiększony, następnie
pomniejszony (metoda Bessela). Badania powtórzono kilkukrotnie dla dwóch odległości
między przedmiotem a ekranem. Następnie zamontowano na ławie blisko siebie
soczewkę rozpraszającą (-2 D) i skupiającą (tą z poprzednich pomiarów) i wyznaczono
ogniskową układu soczewek metodą Bessela, dla jednej odległości przedmiot  ekran. Po
wykonaniu tych czynności na miejsce układu soczewek zamontowano soczewkę grubą
oraz odpowiednią przysłonę w celu zbadania zjawiska aberracji sferycznej. Ogniskową tej
soczewki wyznaczono metodÄ… Bessela, dla promieni brzegowych i przyosiowych dla jednej
odległości przedmiot  ekran. Następnie między przedmiotem a z
ródłem światła
zamontowano niebieski filtr (przysłonę zdjęto), a ogniskową tego układu wyznaczono
metodą Bessela dla jednej odległości przedmiot  ekran (aberracja chromatyczna).
Analogiczne pomiary wykonano dla światła czerwonego. W celu zbadania astygmatyzmu
zdemontowano filtr czerwony, pod soczewką grubą zamontowano podziałkę kątową, a w
miejsce przedmiotu umieszczono matówkę z naniesionymi liniami prostopadłymi.
Odchylono soczewkÄ™ pod kÄ…tem 10° wzglÄ™dem Å‚awy optycznej, a nastÄ™pnie znaleziono
położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiły się tylko linie pionowe i poziome.
Pomiary powtórzono dla kÄ…tów 20° i 30°. Po zakoÅ„czeniu pomiarów uporzÄ…dkowano
stanowisko pracy  wyłączono i odłączono urządzenia elektryczne z sieci, wybrane
soczewki i przedmioty odłożono na miejsce.
3. Plan pracy.
a) Wyznaczyć ogniskową soczewki skupiającej na podstawie równania soczewki:
 Zamontować badaną soczewkę skupiającą na ławie optycznej, ustalić i zmierzyć
położenie przedmiotu i ekranu.
 Znalez
ć położenie soczewki, przy którym na ekranie pojawia się ostry, powiększony
obraz, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
 Obrócić soczewkÄ™ o 180° i powtórzyć powyższy pomiar.
 Powtórzyć pomiary dla innego położenia przedmiotu i ekranu.
b) Wyznaczyć ogniskową soczewki skupiającej metodą Bessela:
 Ustalić i zmierzyć położenie przedmiotu i ekranu.
 Znalez
ć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
 Powtórzyć pomiary dla innego położenia przedmiotu i ekranu.
c) Wyznaczyć ogniskową soczewki rozpraszającej:
 Zamontować soczewki w układ skupiający (skupiająca za rozpraszającą), ustalić i
zmierzyć położenie przedmiotu i ekranu.
 Znalez
ć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotnie powtórzyć pomiar.
d) Zbadać aberrację sferyczną grubej soczewki metodą Bessela:
 Zamontować soczewkę i odpowiednią przysłonę na ławie optycznej, ustalić i
zmierzyć położenie przedmiotu i ekranu.
 Znalez
ć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
e) Zbadać aberrację chromatyczną soczewki grubej metodą Bessela:
 Zamontować czerwony filtr na ławie optycznej, ustalić i zmierzyć położenie
przedmiotu i ekranu.
 Znalez
ć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
 Powtórzyć pomiary dla barwy niebieskiej.
f) Zbadać astygmatyzm soczewki grubej:
 Zamontować soczewkę na statywie z podziałką kątową, zamontować matówkę z
naniesionymi liniami prostopadłymi w miejsce przedmiotu na ławie optycznej,
ustalić i zmierzyć położenie matówki i ekranu.
 Odchylić soczewkÄ™ pod kÄ…tem 10° wzglÄ™dem Å‚awy optycznej.
 Znalez
ć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się tylko linie
pionowe i tylko linie poziome, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
 Powtórzyć pomiary dla innych kątów.
g) Uporządkować stanowisko pracy.
4. Wyniki.
a) Położenia soczewki skupiającej na skali ławy optycznej (równanie soczewki).
Tabela 1. Wyniki pomiarów dla metody wykorzystującej równanie soczewki.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm Położenie ekranu: 150,0 cm
L. p.
Bez obrotu Obrót o 180° Bez obrotu Obrót o 180°
[cm] [cm] [cm] [cm]
1 38,8 37,1 38,3 36,6
2 38,8 37,1 38,4 36,5
3 38,8 37,1 38,4 36,5
4 38,8 37,1 38,4 36,5
5 38,8 37,1 38,3 36,5
6 38,9 37,1 38,3 36,5
7 38,9 37,0 38,4 36,5
8 38,9 37,1 38,4 36,6
9 38,9 37,1 38,4 36,6
10 38,9 37,0 38,4 36,5
b) Położenia soczewki skupiającej na skali ławy optycznej (metoda Bessela).
Tabela 2. Wyniki pomiarów dla metody Bessela.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 90,0 cm Położenie ekranu: 180,0 cm
L. p.
Powiększenie Pomniejszenie Powiększenie Pomniejszenie
[cm] [cm] [cm] [cm]
1 38,2 75,5 36,3 167,2
2 38,1 75,5 36,4 167,1
3 38,1 75,6 36,3 167,1
4 38,2 75,5 36,4 167,2
5 38,1 75,5 36,3 167,1
6 38,1 75,6 36,4 167,2
7 38,2 75,6 36,4 167,2
8 38,1 75,6 36,4 167,2
9 38,1 75,5 36,3 167,1
10 38,1 75,6 36,4 167,1
c) Położenia układu soczewek na skali ławy optycznej.
Tabela 3. Wyniki pomiarów dla soczewki rozpraszającej.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 180,0 cm
L.p.
Powiększenie Pomniejszenie
[cm] [cm]
1 39,1 163,9
2 39,0 164,0
3 39,1 164,1
4 39,0 164,0
5 39,1 163,9
d) Położenia soczewki grubej na skali ławy optycznej (aberracja sferyczna).
Tabela 4. Wyniki pomiarów dla soczewki grubej (aberracja sferyczna).
Położenie przedmiotu: 26,0 cm Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm Położenie ekranu: 120,0 cm
L. p. Promienie przyosiowe Promienie brzegowe
Powiększenie Pomniejszenie Powiększenie Pomniejszenie
[cm] [cm] [cm] [cm]
1 56,3 91,5 47,0 96,0
2 56,0 91,2 47,1 96,1
3 56,1 91,4 47,2 96,0
4 56,0 91,4 47,2 96,2
5 56,1 91,5 47,1 96,0
e) Położenia soczewki grubej na skali ławy optycznej (aberracja chromatyczna).
Tabela 5. Wyniki pomiarów dla soczewki grubej (aberracja chromatyczna).
Położenie przedmiotu: 26,0 cm Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm Położenie ekranu: 120,0 cm
L. p. Promienie niebieskie Promienie czerwone
Powiększenie Pomniejszenie Powiększenie Pomniejszenie
[cm] [cm] [cm] [cm]
1 55,1 92,9 55,4 92,5
2 55,1 93,0 55,3 92,3
3 55,0 93,2 55,2 92,2
4 55,1 93,1 55,3 92,3
5 55,0 93,0 55,1 92,3
f) Położenia soczewki grubej na skali ławy optycznej (astygmatyzm).
Nie uzyskano żadnych wyników, ze względu na brak czasu na zajęciach.
5. Opracowanie wyników.
a) Ogniskowa soczewki skupiającej (równanie soczewki).
Obliczono odległości przedmiotu od soczewki (a) i ekranu od soczewki (b):
Tabela 6. Wyniki obliczeń dla metody wykorzystującej równanie soczewki
(1) Położenie przedmiotu: 26,0 cm (2) Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm Położenie ekranu: 150,0 cm
L. p.
Bez obrotu Obrót o 180° Bez obrotu Obrót o 180°
[cm] [cm] [cm] [cm]
a b a b a b a b
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
1 12,8 81,2 11,1 82,9 12,3 111,7 10,6 113,4
2 12,8 81,2 11,1 82,9 12,4 111,6 10,5 113,5
3 12,8 81,2 11,1 82,9 12,4 111,6 10,5 113,5
4 12,8 81,2 11,1 82,9 12,4 111,6 10,5 113,5
5 12,8 81,2 11,1 82,9 12,3 111,7 10,5 113,5
6 12,9 81,1 11,1 82,9 12,3 111,7 10,5 113,5
7 12,9 81,1 11,0 83,0 12,4 111,6 10,5 113,5
8 12,9 81,1 11,1 82,9 12,4 111,6 10,6 113,4
9 12,9 81,1 11,1 82,9 12,4 111,6 10,6 113,4
10 12,9 81,1 11,0 83,0 12,4 111,6 10,5 113,5
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 6, na podstawie wzoru:
5Ø[Ü
1
5ØeÜ = " 5ØeÜ5ØVÜ (1)
5Ø[Ü
5ØVÜ=1
5ØNÜ1 = 11,97 5ØPÜ5ØZÜ
5ØOÜ1 = 82,04 5ØPÜ5ØZÜ
5ØNÜ2 = 11,45 5ØPÜ5ØZÜ
5ØOÜ2 = 112,55 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 6, na podstawie wzoru:
5Ø[Ü
1
( )2
"5ØeÜ = 5ØXÜ " 5Ø`Ü5ØeÜ + "5ØeÜ5Ø`Ü5ØfÜ5Ø`Ü = 3 " " " 5ØeÜ5ØVÜ - 5ØeÜ + 0,1 (2)
5Ø[Ü(5Ø[Ü - 1)
5ØVÜ=1
gdzie:
5ØXÜ  współczynnik rozszerzenia,
5Ø`Ü5ØeÜ  odchylenie standardowe Å›redniej wyników [cm],
"5ØeÜ5Ø`Ü5ØfÜ5Ø`Ü  bÅ‚Ä…d systematyczny linijki z podziaÅ‚kÄ… (najmniejsza podziaÅ‚ka na skali) [cm].
"5ØNÜ1 = 0,71 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØOÜ1 = 0,71 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØNÜ2 = 0,73 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØOÜ2 = 0,73 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono ogniskowÄ…, na podstawie wzoru:
5ØNÜ5ØOÜ
5ØSÜ = (3)
5ØNÜ + 5ØOÜ
gdzie:
5ØNÜ  Å›rednia arytmetyczna odlegÅ‚oÅ›ci przedmiotu od soczewki [cm],
5ØOÜ  Å›rednia arytmetyczna odlegÅ‚oÅ›ci soczewki od ekranu [cm].
5ØSÜ1 = 10,44 5ØPÜ5ØZÜ
5ØSÜ2 = 10,39 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej na podstawie wzoru:
2
2
5Øß5ØSÜ 5Øß5ØSÜ 5ØOÜ 5ØNÜ
"5ØSÜ = | " "5ØNÜ| + | " "5ØOÜ| = ( ) " "5ØNÜ + ( ) " "5ØOÜ (4)
5Øß5ØNÜ
5Øß5ØOÜ 5ØNÜ + 5ØOÜ 5ØNÜ + 5ØOÜ
gdzie:
5ØNÜ  Å›rednia arytmetyczna odlegÅ‚oÅ›ci przedmiotu od soczewki [cm],
5ØOÜ  Å›rednia arytmetyczna odlegÅ‚oÅ›ci soczewki od ekranu [cm],
"5ØNÜ  niepewność Å›redniej arytmetycznej odlegÅ‚oÅ›ci przedmiotu od soczewki [cm],
"5ØOÜ  niepewność Å›redniej arytmetycznej odlegÅ‚oÅ›ci soczewki od ekranu [cm].
"5ØSÜ1 = 0,55 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØSÜ2 = 0,61 5ØPÜ5ØZÜ
Wynik końcowy:
( )
5ØSÜ = 10,44 Ä… 0,55 5ØPÜ5ØZÜ
( )
5ØSÜ = 10,39 Ä… 0,61 5ØPÜ5ØZÜ
b) Ogniskowa soczewki skupiajÄ…cej (metoda Bessela).
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b ), pomniejszony (b ), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
1 2
między przedmiotem a ekranem (l), dla obu położeń przedmiot  ekran:
Tabela 7. Wyniki obliczeń dla metody Bessela.
(1) Położenie przedmiotu: 26,0 cm (2) Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 90,0 cm Położenie ekranu: 180,0 cm
L. p.
b b d b b d
1 2 1 2
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
1 51,8 14,5 37,3 143,7 12,8 130,9
2 51,9 14,5 37,4 143,6 12,9 130,7
3 51,9 14,4 37,5 143,7 12,9 130,8
4 51,8 14,5 37,3 143,6 12,8 130,8
5 51,9 14,5 37,4 143,7 12,9 130,8
6 51,9 14,4 37,5 143,6 12,8 130,8
7 51,8 14,4 37,4 143,6 12,8 130,8
8 51,9 14,4 37,5 143,6 12,8 130,8
9 51,9 14,5 37,4 143,7 12,9 130,8
10 51,9 14,4 37,5 143,6 12,9 130,7
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 7, na podstawie wzoru (1):
( )1
5ØOÜ1 = 51,87 5ØPÜ5ØZÜ
( )1
5ØOÜ2 = 14,45 5ØPÜ5ØZÜ
5ØQÜ1 = 37,42 5ØPÜ5ØZÜ
5ØYÜ1 = 64,00 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
5ØOÜ1 = 143,60 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
5ØOÜ2 = 12,85 5ØPÜ5ØZÜ
5ØQÜ2 = 130,79 5ØPÜ5ØZÜ
5ØYÜ2 = 154,00 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewności pomiarów odległości (b i b ) z Tabeli 7, na podstawie wzoru
1 2
(2). Do obliczenia niepewnoÅ›ci 5ØQÜ i 5ØYÜ zastosowano wzór (prawo propagacji bÅ‚Ä™dów):
"( )2 ( )2 ( )2
"5ØfÜ = "5ØeÜ1 + "5ØeÜ2 + ï" + "5ØeÜ5Ø[Ü (5)
gdzie:
"5ØfÜ  niepewność pomiaru poÅ›redniego,
"5ØeÜ1, "5ØeÜ2, ï" , "5ØeÜ5Ø[Ü  niepewnoÅ›ci kolejnych pomiarów bezpoÅ›rednich.
( )1
" 5ØOÜ1 = 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
( )1
" 5ØOÜ2 = 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØQÜ1 = 0,21 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØYÜ1 = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
" 5ØOÜ1 = 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
" 5ØOÜ2 = 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØQÜ2 = 0,21 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØYÜ2 = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono ogniskowÄ… na podstawie wzoru:
2 2
5ØYÜ - 5ØQÜ
5ØSÜ = (6)
45ØYÜ
gdzie:
5ØYÜ  Å›rednia odlegÅ‚ość przedmiotu od ekranu [cm],
5ØQÜ  Å›rednia odlegÅ‚ość miÄ™dzy poÅ‚ożeniami ostrych obrazów [cm].
5ØSÜ1 = 10,53 5ØPÜ5ØZÜ
5ØSÜ2 = 10,73 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej na podstawie wzoru:
2
5Øß5ØSÜ 5Øß5ØSÜ 5ØQÜ 1 5ØQÜ
"5ØSÜ = | " "5ØQÜ| + | " "5ØYÜ| = " "5ØQÜ + ( + ) " "5ØYÜ (7)
2
4
5Øß5ØQÜ 5Øß5ØYÜ 25ØYÜ
45ØYÜ
gdzie:
5ØYÜ  Å›rednia odlegÅ‚ość przedmiotu od ekranu [cm],
5ØQÜ  Å›rednia odlegÅ‚ość miÄ™dzy poÅ‚ożeniami ostrych obrazów [cm],
"5ØQÜ  niepewność Å›redniej odlegÅ‚oÅ›ci przedmiotu od ekranu [cm],
"5ØYÜ  niepewność Å›redniej odlegÅ‚oÅ›ci miÄ™dzy poÅ‚ożeniami ostrych obrazów [cm].
"5ØSÜ1 = 0,11 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØSÜ2 = 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
Wynik końcowy:
( )
5ØSÜ1 = 10,53 Ä… 0,11 5ØPÜ5ØZÜ
( )
5ØSÜ2 = 10,73 Ä… 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
c) Ogniskowa soczewki rozpraszajÄ…cej.
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b ), pomniejszony (b ), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
1 2
między przedmiotem a ekranem (l) dla układu soczewek:
Tabela 8. Wyniki obliczeń dla soczewki rozpraszającej.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 180,0 cm
L. p.
b b d
1 2
[cm] [cm] [cm]
1 140,9 16,1 124,8
2 141,0 16,0 125,0
3 140,9 15,9 125,0
4 141,0 16,0 125,0
5 140,9 16,1 124,8
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 8, na podstawie wzoru (1):
5ØOÜ1 = 140,94 5ØPÜ5ØZÜ
5ØOÜ2 = 16,02 5ØPÜ5ØZÜ
5ØQÜ = 124,92 5ØPÜ5ØZÜ
5ØYÜ = 154,00 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 8, na podstawie wzorów (2)
i (5):
"5ØOÜ1 = 0,17 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØOÜ2 = 0,21 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØQÜ = 0,27 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØYÜ = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono ogniskową układu na podstawie wzoru (6):
5ØSÜ = 13,17 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej układu na podstawie wzoru (7):
"5ØSÜ = 0,17 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono ogniskowÄ… soczewki rozpraszajÄ…cej (f) na podstawie wzoru:
5ØSÜ5Ø`Ü5ØSÜ5ØbÜ
5ØSÜ = (8)
5ØSÜ5Ø`Ü - 5ØSÜ5ØbÜ
gdzie:
5ØSÜ5Ø`Ü  ogniskowa soczewki skupiajÄ…cej wyznaczona metodÄ… Bessela [cm],
5ØSÜ5ØbÜ  ogniskowa ukÅ‚adu soczewek wyznaczona metodÄ… Bessela [cm],
5ØSÜ5Ø`Ü = 10,73 5ØPÜ5ØZÜ
5ØSÜ5ØbÜ = 13,17 5ØPÜ5ØZÜ
5ØSÜ = -57,98 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej soczewki rozpraszającej na podstawie
wzoru:
5Øß5ØSÜ 5Øß5ØSÜ 5ØSÜ5ØbÜ 2 5ØSÜ5Ø`Ü 2
"5ØSÜ = | " "5ØSÜ5Ø`Ü| + | " "5ØSÜ5ØbÜ| = ( ) " "5ØSÜ5Ø`Ü + ( ) " "5ØSÜ5ØbÜ (9)
5Øß5ØSÜ5Ø`Ü 5Øß5ØSÜ5ØbÜ 5ØSÜ5Ø`Ü - 5ØSÜ5ØbÜ 5ØSÜ5Ø`Ü - 5ØSÜ5ØbÜ
gdzie:
5ØSÜ5Ø`Ü  ogniskowa soczewki skupiajÄ…cej wyznaczona metodÄ… Bessela [cm],
5ØSÜ5ØbÜ  ogniskowa ukÅ‚adu soczewek wyznaczona metodÄ… Bessela [cm],
"5ØSÜ5Ø`Ü  niepewność ogniskowej soczewki skupiajÄ…cej wyznaczonej metodÄ… Bessela [cm],
"5ØSÜ5ØbÜ  niepewność ogniskowej ukÅ‚adu soczewek wyznaczonej metodÄ… Bessela [cm].
"5ØSÜ = 7,69 5ØPÜ5ØZÜ
Wynik końcowy:
)
5ØSÜ = (-57,98 Ä… 7,69 5ØPÜ5ØZÜ
d) Aberracja sferyczna.
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b ), pomniejszony (b ), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
1 2
między przedmiotem a ekranem (l), dla obu przysłon:
Tabela 9. Wyniki obliczeń dla soczewki grubej (aberracja sferyczna).
Położenie przedmiotu: 26,0 cm Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm Położenie ekranu: 120,0 cm
L. p. Promienie przyosiowe (1) Promienie brzegowe (2)
b b d b b d
1 2 1 2
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
1 63,7 28,5 35,2 73,0 24,0 49,0
2 64,0 28,8 35,2 72,9 23,9 49,0
3 63,9 28,6 35,3 72,8 24,0 48,8
4 64,0 28,6 35,4 72,8 23,8 49,0
5 63,9 28,5 35,4 72,9 24,0 48,9
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 9, na podstawie wzoru (1):
( )1
5ØOÜ1 = 63,90 5ØPÜ5ØZÜ
( )1
5ØOÜ2 = 28,60 5ØPÜ5ØZÜ
5ØQÜ1 = 35,30 5ØPÜ5ØZÜ
5ØYÜ1 = 94,00 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
5ØOÜ1 = 72,88 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
5ØOÜ2 = 23,94 5ØPÜ5ØZÜ
5ØQÜ2 = 48,94 5ØPÜ5ØZÜ
5ØYÜ2 = 94,00 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 9, na podstawie wzorów (2)
i (5):
( )1
" 5ØOÜ1 = 0,22 5ØPÜ5ØZÜ
( )1
" 5ØOÜ2 = 0,22 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØQÜ1 = 0,31 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØYÜ1 = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
" 5ØOÜ1 = 0,18 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
" 5ØOÜ2 = 0,18 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØQÜ2 = 0,26 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØYÜ2 = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono ogniskowe dla promieni przyosiowych (f ) i brzegowych (f ) na podstawie
1 2
wzoru (6):
5ØSÜ1 = 20,19 5ØPÜ5ØZÜ
5ØSÜ2 = 17,13 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowych dla obu promieni na podstawie wzoru
(7):
"5ØSÜ1 = 0,10 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØSÜ2 = 0,11 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono aberracjÄ™ sferycznÄ… soczewki grubej, na podstawie wzoru:
| |
5Ø4Ü5ØFÜ = 5ØSÜ1 - 5ØSÜ2 (10)
5Ø4Ü5ØFÜ = 3,06 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru aberracji sferycznej na podstawie wzoru (5):
"5Ø4Ü5ØFÜ = 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
Wynik końcowy:
( )
5Ø4Ü5ØFÜ = 3,06 Ä… 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
e) Aberracja chromatyczna.
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b ), pomniejszony (b ), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
1 2
między przedmiotem a ekranem (l), dla obu filtrów:
Tabela 10. Wyniki obliczeń dla soczewki grubej (aberracja chromatyczna).
Położenie przedmiotu: 26,0 cm Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm Położenie ekranu: 120,0 cm
L. p. Promienie niebieskie (1) Promienie czerwone (2)
b b d b b d
1 2 1 2
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
1 64,9 27,1 37,8 64,6 27,5 37,1
2 64,9 27,0 37,9 64,7 27,7 37,0
3 65,0 26,8 38,2 64,8 27,8 37,0
4 64,9 26,9 38,0 64,7 27,7 37,0
5 65,0 27,0 38,0 64,9 27,7 37,2
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 10, na podstawie wzoru (1):
( )1
5ØOÜ1 = 64,94 5ØPÜ5ØZÜ
( )1
5ØOÜ2 = 26,96 5ØPÜ5ØZÜ
5ØQÜ1 = 37,98 5ØPÜ5ØZÜ
5ØYÜ1 = 94,00 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
5ØOÜ1 = 64,74 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
5ØOÜ2 = 27,68 5ØPÜ5ØZÜ
5ØQÜ2 = 37,06 5ØPÜ5ØZÜ
5ØYÜ2 = 94,00 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 10, na podstawie wzorów (2)
i (5):
( )1
" 5ØOÜ1 = 0,15 5ØPÜ5ØZÜ
( )1
" 5ØOÜ2 = 0,21 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØQÜ1 = 0,26 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØYÜ1 = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
" 5ØOÜ1 = 0,21 5ØPÜ5ØZÜ
( )2
" 5ØOÜ2 = 0,20 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØQÜ2 = 0,29 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØYÜ2 = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono ogniskowe dla promieni niebieskich (f ) i czerwonych (f ) na podstawie
1 2
wzoru (6):
5ØSÜ1 = 19,66 5ØPÜ5ØZÜ
5ØSÜ2 = 19,85 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowych dla obu promieni na podstawie wzoru
(7):
"5ØSÜ1 = 0,09 5ØPÜ5ØZÜ
"5ØSÜ2 = 0,10 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono aberracjÄ™ sferycznÄ… soczewki grubej, na podstawie wzoru:
| |
5Ø4Ü5Ø6Ü = 5ØSÜ2 - 5ØSÜ1 (11)
5Ø4Ü5Ø6Ü = 0,18 5ØPÜ5ØZÜ
Obliczono niepewność pomiaru aberracji sferycznej na podstawie wzoru (5):
"5Ø4Ü5Ø6Ü = 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
Wynik końcowy:
( )
5Ø4Ü5Ø6Ü = 0,18 Ä… 0,14 5ØPÜ5ØZÜ
f) Astygmatyzm.
Nie wykonano żadnych obliczeń, ze względu na brak danych pomiarowych.
6. Omówienie wyników i podsumowanie.
W wyniku przeprowadzonych eksperymentów i obliczeń uzyskano następujące wyniki:
Tabela 11. Zestawienie wyników.
Soczewka Soczewka Soczewka
skupiajÄ…ca rozpraszajÄ…ca gruba
Ogniskowa (10,44 Ä… 0,55) cm
 
(równanie soczewki) (10,39 ą 0,61) cm
Ogniskowa (10,53 Ä… 0,11) cm
 
(metoda Bessela) (10,73 Ä… 0,15) cm
Ogniskowa (metoda
 (-57,98 Ä… 7,69) cm 
układu soczewek)
Aberracja
  (3,06 Ä… 0,15) cm
sferyczna
Aberracja
  (0,18 Ä… 0,14) cm
chromatyczna
Metoda wykorzystująca równanie soczewki i metoda Bessela dają bardzo zbliżone wyniki,
przy czym metoda Bessela jest bardziej precyzyjna, ze względu na mniejszą (około 5 razy)
niepewność pomiarową, w porównaniu do metody wykorzystującej równanie soczewki. Z
kolei metoda  równania soczewki jest dokładniejsza, ponieważ ma mniejszy błąd
bezwzględny w porównaniu do metody Bessela. Błąd ten można określić jako różnicę
między uzyskanymi wynikami a wartością teoretyczną ogniskowej badanej soczewki o
zdolności skupiającej +10 D (co daje ogniskową równą 10,00 cm). Metoda wyznaczania
ogniskowej soczewki rozpraszającej (układ soczewek) jest mało precyzyjna i mało
dokładna  ma dużą niepewność i duży błąd względny. Błąd ten można określić jako
różnicę między uzyskanym wynikiem a wartością teoretyczną ogniskowej badanej
soczewki o zdolności skupiającej -2 D (co daje ogniskową równą -50,00 cm). Badana
soczewka ma aberrację sferyczną równą (3,06 ą 0,15) cm. Badana soczewka ma bardzo
małą aberrację chromatyczną, co można było dostrzec podczas pomiarów  obie wartości
odległości niewiele się różniły (najwyżej o 1,0 cm). y
ródłami niepewności wykonanych
pomiarów są: trudność ustalenia położenia soczewki, w którym obraz jest ostry,
niedokładność ludzkiego oka, niedokładność przyrządów pomiarowych, nie perfekcyjne
odczytanie wyników położenia soczewki, ekranu i przedmiotu, zaokrąglanie oraz mała
ilość wyników. Ogniskowa soczewki skupiającej jest różna w zależności od wykorzystanej
metody do jej wyznaczenia. Głównym powodem niepewności pomiarowej układu
soczewek (skupiającej i rozpraszającej) jest odległość między nimi, którą zaniedbujemy.
Poprzez liczne doświadczenia zaobserwowano wady soczewek. Aby pomiary były
dokładniejsze, należałoby wykonać większą ich ilość.
7. Literatura.
[1] A. Magiera, I Pracownia Fizyczna, IF UJ, Kraków 2010.
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki 4, PWN, Warszawa 2003.
8. Załączniki.
Kserokopia wyników pomiarowych.