WYKA
AD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I
DR BOŻENA SZKOPIC
SKA
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Definicja Zbiór ograniczony
x �" R
Zbiór nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje liczba
'"
M " R x d" M
taka, że .
x"X
x �" R
Zbiór nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli istnieje liczba
'"
m" R
m d" x
taka, że
x"X
Zbiór nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu.
x `" Ć
x �" R x
Twierdzenie. Jeśli zbiór , i ograniczony z góry, to
istnieje najmniejsza liczba M ograniczająca zbiór X z góry, nazywamy ją
sup X
kresem górnym zbioru X i oznaczamy : .
x `" Ć
x �" R x
Twierdzenie. Jeśli zbiór , i jest ograniczony z dołu
to istnieje największa liczba m ograniczająca zbiór X z dołu, nazywamy ją
inf X
kresem dolnym zbioru X i oznaczamy : .
Uwagi:
inf Ć = "
1)
supĆ = -"
2)
x `" Ć sup X = ".
x
3) Jeśli i nie jest ograniczony z góry, to
x `" Ć
x
inf X = -"
4)Jeśli i nie jest ograniczony z dołu, to .
Definicja.
sup X = M �!
'"
x d" M
x"X
'" (" -� < x
M
� >o x"X
'"
inf X = m �! m d" x
x"X
'" ("
x < m +�
� >o x"X
Ciągi liczbowe
{an}n"N
Ograniczony
(" '"
an < M
M"R n"N
Monotoniczny
an < an+1
'"
Rosnący
n"N
'" an d" an+1
Niemalejący
n"N
Twierdzenia
{an}n"N jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy
1.
'"
an+1 - an > 0
n"N
{an}n"N o wyrazach dodatnich jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy
2.
an+1
> 1
'"
an
n"N
Podciąg
{an}n"N , {kn}n"N - ciąg rosnący liczb naturalnych
bn = ak
'"
n
n"N
{bn}n"N - podciąg ciągu {an}n"N
{an}n"N
Granica
1.Właściwa
a " R
lim an = a �! [(n e" n0 ) �! ( an - a < � )]
'" (" '"
n"
� >0 n0"N n"N
2.Niewłaściwa
lim an = " �! [(n e" n0) �! (an > � )]
'" (" '"
n"
� >0 n0"N n"N
lim an = -" �! [(n e" n0) �! (an < � )]
'" (" '"
n"
� >0 n0"N n"N
Twierdzenia o ciągach
1. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy
2. Ciąg posiada co najwyżej jedną granicę
3. Jeśli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej to jest ograniczony
{an}n"N jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry, to
4. Jeśli ciąg
lim an = sup{an, n " N}.
n"
Jeśli ciąg rosnący nie jest ograniczony to ma granicę + " .
5. Bolzano-Weierstrassa
Jeśli ciąg jest ograniczony, to ma podciąg zbieżny do granicy właściwej.
Jeśli ciąg nie jest ograniczony, to ma podciąg zbieżny do - " lub + "
6. Arytmetyka granic.
7. Twierdzenie o trzech ciągach
{an}n"N , {bn}n"N , {cn}n"N
'"
an d" bn d" cn
(i)
n"N
lim an = lim cn = b
lim bn = b
(ii) to
n" n"
n"
lim an = lim an
Wniosek:
n" n"
8. Twierdzenie o dwóch ciągach.
{an}n"N , {bn}n"N
an d" bn
'"
(i)
n"N
lim an = "
lim bn = "
(ii) to
n" n"
lim an = " (-")
an `"
9. Jeśli oraz 0 to
n"
1
n
lim (1+ )a = e
n"
an
e H"2,71...
10. Twierdzenie Cauchy ego
(n" an ) < " �!
lim
[(n > no '" m > no ) �! ( an - am < � ]
'" (" '"
� >0 no"N n.m"N
n
lim an = g lim a1 " a2 " ..." an = g
'"
11. Jeśli an > 0 i to
n"
n"
n"N
Wniosek
an+1
n
lim = g �! lim an = g
'"
an > 0
n" n"
an
n"N
an e" bn to lim an e" limbn
12.
'"
n" n"
n"N
Wniosek an e" 0 to lim an > 0
n"
Wyrażenia nieoznaczone.
0 "
" - ", 0 " ", , , 1" , "0 , 00
0 "
13. Iloczyn ciągu ograniczonego przez ciąg zbieżny do zera jest ciągiem
zbieżnym do zera .
Definicja
Granica dolna (górna)
lim an = inf S(sup S)
n"
. Niech x0 " R.
Definicja otoczenia, sąsiedztwa i punktu skupienia
Niech a, b " R i a < x0 < b. Otoczeniem (otoczeniem lewostronnym,
prawostronnym) punktu x0 nazywamy przedział (a, b) ((a, x0], [x0 , b)). Rodzinę
zbiorów będących otoczeniami (otoczeniami lewostronnymi, prawostronnymi)
punktu x0 oznaczać będziemy symbolem O(x0) (O -(x0), O+(x0)). Każdy zbiór
postaci U \ {x0}, gdzie U " O(x0) (U " O -(x0), U " O+(x0)) nazywać będziemy
sąsiedztwem (sąsiedztwem lewostronnym, prawostronnym) punktu x0. Rodzinę
zbiorów będących sąsiedztwami (sąsiedztwami lewostronnymi,
prawostronnymi) oznaczać będziemy symbolem S(x0) (S -(x0), S+(x0)).
Niech X �" R. Mówimy, że x0 jest punktem skupienia (lewostronnym,
prawostronnym punktem skupienia) zbioru X, jeśli
'" U )" X `" " ( '" U )" X `" " , '" U )" X `" " ).
- +
U"S(x0 )
U"S (x0 ) U"S (x0 )
Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia)
zbioru X oznaczamy jako Xd (Xd-, Xd+).
Niech f będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.
Definicja granicy funkcji
Niech x0 " (Df)d (x0 " (Df)d-, x0 " (Df)d+ ). Mówimy, że g " R jest granicą
(granicą lewostronną, prawostronną) funkcji f w punkcie x0, gdy
'" (" f [U]�" V ( '" (" f [U]�" V , '" (" f [U]�" V ).
- +
V"O( g ) U"S(x0 ) V"O( g ) V"O( g )
U"S (x0 ) U"S (x0 )
Fakt, że g jest granicą (granicą lewostronną, prawostronną) zapisujemy
symbolicznie
g = lim f (x) ( g = lim f (x) , g = lim f (x) )
xx0
xx0- xx0+
Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie
-
-
S(x0) �" Df
x0 " (Df )d , x0 " R
g " R
Niech , ,
lim f (x) = g �! [(lim xn = x0 ) �! (lim f (xn ) = g)]
'"
xxo n" n"
{xn}�"S ( x0 )
Twierdzenia o granicach:
1.Arytmetyka granic
2.Granica funkcji złożonej:
lim f (x) = yo
xx0
'"
f (x) `" yo x"S ( xo )
lim g(y) = q lim g( f (x)) = q
to
yyo xxo
3.O trzech funkcjach
4.O dwóch funkcjach
Wyrażenia nieoznaczone.
0 "
" - ", 0 " ", , , 1" , "0 , 00
0 "
Definicja asymptoty pionowej
Załóżmy, że f jest funkcją określoną na pewnym sąsiedztwie punktu x0 . Prostą
o równaniu x = x0 nazywamy asymptotą pionową funkcji f gdy
lim f (x) = ą" (" lim f (x) = ą" .
xx0 xx0
Definicja asymptoty ukośnej
Załóżmy, że f jest funkcją określoną na pewnym przedziale (- ", a) ((b,")) .
Prostą o równaniu y = mx + n nazywamy asymptotą ukośną w minus
nieskończoności (plus nieskończoności) funkcji f gdy lim ( f (x)- mx - n) = 0
x-"
( lim ( f (x)- mx - n) = 0 ).
x+"
Twierdzenie o współczynnikach asymptoty ukośnej
Prosta o równaniu y = mx + n jest asymptotą ukośną funkcji f w minus
nieskończoności (plus nieskończoności) wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x) f (x)
m = lim '" n = lim ( f (x)- mx) ( m = lim '" n = lim ( f (x)- mx)
x-" x-" x+" x+"
x x
Definicja ciągłości funkcji
Niech x0 " Df.
f jest ciągła w x0 �! x0 " (Df)d (" lim f (x) = f (x0 ).
xx0
f jest lewostronnie ciągła w x0 �! x0 " (Df)d- (" lim f (x) = f (x0 ).
xx0-
f jest prawostronnie ciągła w x0 �! x0 " (Df)d+ (" lim f (x) = f (x0 ).
xx0+
Niech X �" R. Mówimy, że f jest ciągła w zbiorze X, gdy jest ciągła w każdym
punkcie tego zbioru. Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczać będziemy przez
Cf.
Uwaga. Funkcja jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła
lewostronnie i prawostronnie w tym punkcie.
Rodzaje nieciągłości  definicja
Niech x0 " Df. Mówimy, że x0 jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju
funkcji f, jeśli istnieją i są skończone granice lim f (x) , lim f (x) przy czym
xx0- xx0+
lim f (x) `" f (x0 ) lub lim f (x) `" f (x0 ). Mówimy, że x0 jest punktem nieciągłości
xx0- xx0+
drugiego rodzaju, jeśli x0 " Cf i x0 nie jest punktem nieciągłości pierwszego
rodzaju.
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Twierdzenie Weierstrassa-Darboux. Niech a, b " R, a < b, [a, b] �" Cf.
Wówczas funkcja f jest ograniczona na [a, b]. Ponadto
1. (" f (c) = sup f [[a,b]];
c"[a,b]
2. (" f (d) = inf f [[a,b]];
d"[a,b]
3. '" (" y = f (x).
y"[inf f [[a,b]],sup f [[a,b]]] x"[a,b]
Twierdzenie o klasie funkcji ciągłych
Funkcje elementarne są ciągłe. Działania algebraiczne wykonywane na
funkcjach ciągłych dają funkcje ciągłe. Złożenia funkcji ciągłych są funkcjami
ciągłymi. Funkcje odwrotne do funkcji ciągłych (o ile istnieją) też są funkcjami
ciągłymi.
Uwaga. Jeśli x0 " Cf i f(x0) > 0, to (" f [U ] �" (0,").
U"O( x0 )
Definicja ciągłości jednostajnej
Niech X �" Df. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła na X, jeśli
'" (" '" | x - x'|< � �!| f (x) - f (x') |< �.
� >0 � >0 x,x'"X
Uwaga. Jeśli f jest jednostajnie ciągła na zbiorze X, to jest ciągła w każdym
punkcie tego zbioru.
Uwaga. Istnieją funkcje ciągłe w każdym punkcie zbioru X lecz nie będące
jednostajnie ciągłymi na tym zbiorze.
Uwaga. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest na tym
przedziale jednostajnie ciągła.
Własności funkcji ciągłych:
2
W = {( x , y ) " R x " [ a , b ], y = f ( x )
1. Zbiór ,
funkcja ciągła}
jest spójny w R (tzn. ł lub przedział właściwy lub przedział niewłaściwy).
-1
f
2. Jeśli f jest ciągła i rosnąca a [a,b] to jest ciągła i rosnąca na[f(a), f(b)].
3. Niech f ciągła na [a,b]. Wówczas f jest różnowartościowa na [a,b] wtedy i
tylko wtedy, gdy jest malejąca albo rosnąca na [a,b].
4. Istnieje funkcja nieciągła, która ma własność Darboux
SZEREGI LICZBOWE
Definicja szeregu
Niech {an} będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg
n"N
n
df
{Sn} gdzie Sn = a1 + a2 + K + an = . Taki szereg liczbowy oznaczamy
k
n"N "a
k =1
"
symbolem . Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę Sn - n-tą sumą
n
"a
n=1
tego szeregu.
Definicja szeregu zbieżnego, rozbieżnego i sumy szeregu
"
Mówimy, że szereg jest zbieżny jeśli ciąg {Sn} jest zbieżny do granicy
n
"a n"N
n=1
skończonej zwanej w tym przypadku sumą szeregu i oznaczanej symbolem
identycznym z symbolem szeregu.
"
Mówimy, że szereg jest rozbieżny gdy nie jest zbieżny.
n
"a
n=1
Twierdzenie o kombinacji liniowej szeregów
" "
Jeśli szeregi , są zbieżne odpowiednio do liczb A i B , to dla
n n
"a "b
n=1 n=1
"
dowolnych liczb rzeczywistych a , b zbieżny jest również szereg
n
"(aa + bbn )
n=1
przy czym suma tego szeregu wynosi aA + bB .
Twierdzenie o zbieżności szeregu geometrycznego
"
n
Szereg zwany szeregiem geometrycznym o podstawie q jest zbieżny
"q
n=1
wtedy i tylko wtedy gdy q < 1.
Twierdzenie o zbieżności szeregu harmonicznego
"
1
Szereg zwany szeregiem harmonicznym rzędu p jest zbieżny wtedy i
"
p
n
n=1
tylko wtedy gdy p > 1.
Warunek konieczny zbieżności szeregu
"
Jeśli szereg jest zbieżny to lim an = 0 .
n
"a
n"
n=1
" "
Niech i oznaczają szeregi liczbowe.
n n
"a "b
n=1 n=1
Uwaga. Jeśli ciągi {an} i {bn} różnią się skończoną ilością wyrazów, to oba
n"N n"N
" "
szeregi i są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
n n
"a "b
n=1 n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
Kryterium porównawcze
"
Jeśli '" 0 d" an d" bn to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu
n
"b
n"N
n=1
" " "
n n n
"a i z rozbieżności szeregu "a wynika rozbieżność szeregu "b .
n=1 n=1 n=1
Kryterium ilorazowe
" "
an
Jeśli '" (an > 0 i bn > 0) oraz lim "(0,"), to oba szeregi i są
n n
"a "b
n"N n"
bn
n=1 n=1
jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Kryterium Cauchy ego
"
n
Jeśli lim an = g to jest zbieżny gdy g < 1 i rozbieżny gdy g > 1.
n
"a
n"
n=1
Kryterium d Alemberta
"
an+1
Jeśli '" an `" 0 oraz lim = g to szereg jest zbieżny gdy g < 1 i
n
"a
n"N n"
an
n=1
rozbieżny gdy g > 1.
Kryterium Raabego
"
�# an ś#
ś# ź#
Jeśli '" an > 0 oraz lim nś# -1ź# = g to szereg jest zbieżny gdy g > 1 i
n
"a
n"N n"
an+1 #
�# n=1
rozbieżny gdy g < 1.
Twierdzenie o zagęszczaniu
"
Jeśli {an} jest ciągiem nierosnącym o wyrazach nieujemnych to szeregi
n
n"N "a
n=1
"
n
i a2 są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
n
"2
n=1
Kryterium Dirichleta
"
Jeśli ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony oraz {bn} jest
n
"a n"N
n=1
"
ciągiem nierosnącym zbieżnym do zera to szereg bn jest zbieżny.
n
"a
n=1
Kryterium Abela
"
Jeśli szereg jest zbieżny i ciąg {bn} jest monotoniczny i ograniczony, to
n
"a n"N
n=1
"
szereg bn jest zbieżny.
n
"a
n=1
Kryterium Leibniza
"
n+1
Jeśli {an} jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg
n"N "(-1) an
n=1
zwany szeregiem naprzemiennym jest zbieżny.
Definicja zbieżności bezwzględnej
"
Mówimy, że szereg jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg
n
"a
n=1
"
an .
"
n=1
Uwaga Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.
Uwaga Istnieją szeregi zbieżne lecz nie bezwzględnie zbieżne.
Definicja szeregu zbieżnego warunkowo
Szereg zbieżny lecz nie bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem zbieżnym
warunkowo.
Twierdzenie
"
Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to dla dowolnej permutacji {mn}
n
"a n"N
n=1
"
liczb naturalnych szereg
mn
"a jest zbieżny i ma taką samą sumę jak szereg
n=1
"
n
"a .
n=1
Twierdzenie Cauchy ego
" "
" n
ś#
Jeśli szeregi i są bezwzględnie zbieżne, to szereg ś# �"bn+1-k )ź#
n n "�#"(ak
"a "b
n=1 �# k =1 #
n=1 n=1
jest zbieżny przy czym suma tego szeregu wynosi A �" B gdzie A oznacza sumę
" "
szeregu , a B sumę szeregu .
n n
"a "b
n=1 n=1
Twierdzenie Riemanna
"
Niech
n
"a będzie szeregiem warunkowo zbieżnym. Dla dowolnego
n=1
A" R *"{- ","} istnieje permutacja {mn} zbioru liczb naturalnych taka, że A
n"N
"
jest sumą szeregu
mn
"a .
n=1
CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE
Przyjmijmy, że X �" R .
Definicja ciągu funkcyjnego
Ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze X nazywamy każdą funkcję
R
odwzorowującą zbiór N w zbiór X . Załóżmy, że '" fn : X R . Wówczas dla
n"N
oznaczenia ciągu funkcyjnego, którego n-tym wyrazem jest funkcja fn
używamy oznaczenie {fn} .
n"N
Niech {fn} oznacza ciąg funkcyjny taki, że '" fn : X R . Niech f : X R .
n"N
n"N
Definicja zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego
Mówimy, że ciąg {fn} jest punktowo zbieżny na zbiorze X do funkcji f jeśli
n"N
'" lim fn (x) = f (x).
x"X n"
Definicja zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego
Mówimy, że ciąg {fn} jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X do funkcji f
n"N
jeśli '" (" '" '" fn (x) - f (x) < � .
� >0 n0"N ne"n0 x"X
Fakt, że {fn} jest punktowo zbieżny do funkcji f na zbiorze X oznaczamy
n"N
pisząc fn f .
X
Fakt, że {fn} jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na zbiorze X oznaczamy
n"N
pisząc fn f .

X
Twierdzenie
Jeśli fn f to fn f .

X
X
Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie Weierstrassa
fn f �! lim� = 0
n

n"
n
X
Niech � = sup{| fn - f | [X ]}dla n " N . Wówczas
Twierdzenie
fn f

X
Jeśli i '" fn jest ciągła na X, to również f jest ciągła na X.
n"N
Definicja funkcji przedziałami liniowej
Niech a,b " R , a < b i niech [a, b]" Df . Funkcję f nazywamy przedziałami
liniową na przedziale [a, b] jeśli f jest ciągła na [a, b] oraz jeśli istnieją układy
liczb a = a0 < a1 < a2 < L < an = b oraz c1, c2 ,..., cn oraz d1, d2 ,..., dn takie, że
'" '" f (x) = ck x + dk
k"{1,2,...,n} x"[ak -1,ak ]
Twierdzenie
Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest granicą jednostajnie
zbieżnego ciągu funkcji przedziałami liniowych na tym przedziale.
Definicja szeregu funkcyjnego
Niech {fn} będzie ciągiem funkcyjnym takim, że '" Dfn = X . Szeregiem
n"N
n"N
funkcyjnym nazywamy ciąg funkcyjny {Sn} gdzie
n"N
'" '" Sn (x) = f1(x) + f2 (x) + K + fn (x) . Taki szereg funkcyjny oznaczamy
n"N x"X
"
symbolem fn . Funkcję fn nazywamy n-tym wyrazem a funkcję Sn
"
n=1
nazywamy n-tą sumą tego szeregu.
Definicja zbieżności punktowej i jednostajnej szeregu funkcyjnego
"
Szereg funkcyjny fn jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na zbiorze X gdy
"
n=1
ciąg funkcyjny {Sn} jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na tym zbiorze.
Funkcję będącą granicą ciągu funkcyjnego {Sn} o ile ona istnieje nazywamy
"
sumą szeregu fn i oznaczamy tak jak sam szereg.
"
n=1
"
Wniosek. Szereg funkcyjny fn jest punktowo zbieżny na zbiorze X wtedy i
"
n=1
"
tylko wtedy gdy '" fn (x) jest zbieżny.
"
x"X
n=1
"
Wniosek. Jeśli szereg funkcyjny fn (x) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X,
"
n=1
to jest punktowo zbieżny na tym zbiorze.
Twierdzenie Weierstrassa
"
Niech fn będzie szeregiem funkcyjnym funkcji określonych na zbiorze X, a
"
n=1
"
szeregiem liczbowym zbieżnym takim, że '" '" | fn (x) | d" an .
"an
n"N x"X
n=1
" "
Wówczas szereg fn jest jednostajnie zbieżny oraz '" fn (x) jest
" "
x"X
n=1 n=1
bezwzględnie zbieżny.
Definicja szeregu potęgowego
Niech x0 " R i niech an " R dla n " N *"{0}. Załóżmy, że
f1 : R R jest funkcją taką, że '" f1(x) = a0
x"R
fn : R R jest funkcją taką, że '" fn (x) = an-1(x - x0 )n-1 dla n " N i n > 1.
x"R
"
Szereg funkcyjny fn nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie
"
n=1
x0 i współczynnikach a0 , a1, a2 ,K. Oznaczamy go symbolicznie jako
"
(x - x0 )n .
"an
n=0
Definicja promienia zbieżności szeregu potęgowego
"
ż#
�#
n
Liczbę sup�#r " R : r < "Ź# nazywamy promieniem zbieżności szeregu
"an
n=1 �#
�#
"
potęgowego (x - x0 )n .
"an
n=0
Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego nie zależy od jego środka x0 a
jedynie od współczynników an dla n e" n0 " N .
Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego jest zawsze liczbą nieujemną.
"
Niech R oznacza promień zbieżności szeregu potęgowego (x - x0 )n .
"an
n=0
Twierdzenie Cauchy'ego  Hadamarda
ż#
" gdy g = 0
�#1
�#
n
a) Jeśli g = lim | an | , to R = gdy g " (0; ")
�#
n"
�#g
�#
�#0 gdy g = "
ż#
" gdy g = 0
�#1
an+1
�#
b) Jeśli g = lim , to R = gdy g " (0; ")
�#
n"
an
�#g
�#
�#0 gdy g = "
Twierdzenie o punktach zbieżności szeregu potęgowego
"
Jeśli R = 0, to szereg (x - x0 )n jest zbieżny jedynie dla x = x0 .
"an
n=0
"
Jeśli R = ", to szereg (x - x0 )n jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego
"an
n=0
x " R .
"
Jeśli R " (0; ") , to szereg (x - x0 )n jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego
"an
n=0
x " (x0 - R; x0 + R) oraz rozbieżny dla x " (-"; x0 - R) *" (x0 + R; ") .
Definicja przedziału zbieżności szeregu potęgowego
"
Przedziałem zbieżności szeregu (x - x0 )n nazywamy zbiór
"an
n=0
"
ż#
�#
�#x " R : (x - x0 )n jest zbieznyŹ#
"an
n=0 �#
�#
Twierdzenie
"
Szereg potęgowy (x - x0 )n jest zbieżny jednostajnie w każdym przedziale
"an
n=0
domkniętym zawartym w przedziale zbieżności szeregu potęgowego.
Niech będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej
f
Definicja ilorazu różnicowego
x `" x0 f
Niech x0, x " Df oraz . Ilorazem różnicowym funkcji pomiędzy
f (x)- f (x0)
x0
x
punktami i nazywamy liczbę .
x - x0
Załóżmy, że wraz z pewnym otoczeniem (otoczeniem lewostronnym,
x0 " Df
otoczeniem prawostronnym).
Definicja pochodnej .
Pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną) funkcji f w punkcie x0
f (x)- f (x0) f (x)- f (x0)
f (x)- f (x0 )
nazywamy granicę ( lim , lim ) o ile ona
lim
xx0
x - x0 xx0 - x - x0 xx0 + x - x0
istnieje. Oznaczamy ją wtedy jako f '(x0) ( f '(x0 -), f '(x0 +)).
Definicja różniczkowalności funkcji.
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie,
prawostronnie) w punkcie x0 jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną
(pochodną lewostronną, prawostronną).
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest
różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest
różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz
prawostronnie różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna
w prawym krańcu.
Definicja kąta nachylenia.
Niech L będzie dowolną prostą na płaszczyz
nie XOY w której X oznacza oś
odciętych. Jeśli L X , to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej L jest zero.
Jeśli L )" X = {p} to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej L jest kąt,
którego jednym z ramion jest [p,"), a drugim odcinek L przebiegający w górnej
półpłaszczyz
nie.
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej.
Prostą przechodzącą przez punkty, (x0, f (x0)),(x, f (x)) nazywać będziemy
sieczną. Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji f pomiędzy punktami x i x0
jest tangensem kąta nachylenia siecznej. Przy ustalonym x0 i x zmierzającym
do x0 zauważamy, że sieczne wyznaczone przez te punkty przyjmują w granicy
o ile ona istnieje położenie prostej, którą nazwiemy styczną do wykresu funkcji
w punkcie(x0, f (x0)). Pozwala to na spostrzeżenie, że pochodna funkcji jest
tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f (x0)).
Wniosek.
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f (x0)) ma postać
y = f (x0) + f '(x0) �"(x - x0) .
Definicja.
Normalną do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f (x0)) nazywamy prostą
prostopadłą do stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez ten punkt.
Definicja.
Niech funkcje f i g przecinające się w punkcie o odciętej będą różniczkowalne w
x0. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy nie większy od prostego
kąt Ć , pomiędzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.
ż#
f '(x0) - g'(x0)
gdy f '(x0)g'(x0)`" -1
�#arctg
�# 1+ f '(x0) �" g'(x0)
Wniosek. Ć = .
�#
Ą
�#
gdy f '(x0)g'(x0)= -1
�#
�# 2
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie
ciągła.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie.
Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie x0oraz a " R , to funkcje
f
f ą g , f �" g , af , są różniczkowalne w tym punkcie, oraz prawdziwe są wzory:
g
'
'
( f + g)(x0) = f (x0) + g'(x0)
'
'
( f - g)(x0) = f (x0) - g'(x0)
'
'
( f �" g)(x0) = f (x0) �" g(x0) + f (x0) �" g'(x0)
'
'
(a �" f )(x0) = a �" f (x0)
'
'
�# ś# f (x0) �" g(x0) - f (x0) �" g'(x0)
f
ś# ź# (x0) =
ś# ź#
g g2(x0)
�# #
Ostatni wzór jest prawdziwy przy dodatkowym założeniu, że g(x0)`" 0 .
Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla pochodnych
jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują
symbole nieoznaczone.
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej).
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, zaś funkcja g jest
różniczkowalna w punkcie f (x0) to funkcja g o f jest różniczkowalna w punkcie
x0 przy czym (g o f )'(x0) = g'( f (x0))�" f '(x0) .
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech U "O(x0), f :U R . Jeśli f jest ciągłą i różnowartościową funkcją
-1
różniczkowalną w punkcie x0, taką, że f '(x0) `" 0 , to funkcja odwrotna f jest
1
-1
różniczkowalna w punkcie y0 = f (x0) i (f )2 (y0) = .
f '(x0)
Uwaga. Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i pochodnej funkcji
odwrotnej są prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i dla
pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.
Wzory na pochodne funkcji elementarnych
2
c = 0 c = const.
2
(sin x) = cos x x" R
2
(cos x) = -sin x x " R
1 Ą
2
(tgx) = x `" (2k +1) , k " Z
cos2 x 2
1
2
(ctgx) = - x `" kĄ , k " Z
sin2 x
1
(ln x)2 = x > 0
x
1
(loga x)'= x > 0 , a > 0 , a `" 1
x ln a
2
(ax ) = ax ln a x " R , a > 0
2
(ex ) = ex x " R
2
(xą ) = ąxą -1 x " R+ , ą " R
2
(xn) = nxn-1
1
2
(arcsin x) = x "(-1;1)
1- x2
-1
2
(arccos x) = x "(-1;1)
1- x2
1
2
(arctgx) = x " R
1+ x2
-1
2
(arcctgx) = x " R
1+ x2
Definicja różniczki .
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x0 . Różniczką funkcji f w
punkcie x0 nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej h
przypisuje liczbę f '(x0 ) �" h . Różniczkę funkcji f w punkcie x0 będziemy
oznaczać jako df (x0 ).
Uwaga. Zauważmy, że różniczka funkcji identycznościowej obliczana w
dowolnym punkcie przypisuje dowolnej liczbie rzeczywistej h nią samą. Stąd
wniosek, że (dx0 )(h)= h . Ponieważ różniczka funkcji f w dowolnym punkcie x0
to df (x0 ), więc możemy zapisać, że df (x0 )= f '(x0 )�" dx0 . W powyższym wzorze
df (x0 ) jest funkcją, dx0 jest funkcją, a f ' (x0 ) jest liczbą. Wzór ten można
df (x0 )
zapisać w postaci f '(x0 )= . Jest on oczywiście prawdziwy dla dowolnego
dx0
argumentu h `" 0 i stwierdza, że iloraz dwóch różniczek jest funkcją stałą.
Argument h z przyczyn praktycznych w powyższym wzorze nie występuje.
Definicja pochodnej rzędu n (indukcja).
Załóżmy, że x0 " Df wraz z pewnym otoczeniem, oraz że zdefiniowaliśmy już
(n)
pochodną f funkcji f rzędu n w każdym punkcie wspomnianego otoczenia.
(n)
Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w punkcie x0 to jej pochodną w tym
punkcie nazywać będziemy pochodną rzędu (n +1) funkcji f w punkcie x0 .
(n)
Pochodną rzędu n funkcji f w punkcie x0 oznaczać będziemy jako f (x0 ).
(0)
Przyjmujemy ponadto, że f (x0 )= f (x0 ).
Twierdzenie
Jeżeli f i g mają pochodne rzędu n w punkcie x0 , to funkcja ( f �" g) ma pochodną
rzędu n w punkcie x0 i wyraża się ona wzorem
n
n
(n)
(n-k ) (k )
( f �" g) (x0 ) = ś# ź# f (x0 ) �" g (x0 ) (wzór Leibniza).
"�# ś#
ś#k ź#
k =0
�# #
Załóżmy, że a, b" R, a < b.
Twierdzenie (ROLLE A)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a,b], różniczkowalna w przedziale
(a,b), oraz f (a)= f (b) , to istnieje przynajmniej jeden punkt c "(a,b) taki, że
'
f (c) = 0 .
Twierdzenie (CAUCHE EGO )
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale [a,b], różniczkowalne w przedziale
(a,b) to istnieje przynajmniej jeden punkt c "(a,b) taki,
że f '(c)(g(b)- g(a)) = g'(c)( f (b)- f (a)).
Twierdzenie (LAGRANGEA).
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a,b]i różniczkowalna w przedziale
f (b)- f (a)
(a,b), to istnieje punkt c "(a,b) taki, że f '(c) = .
b - a
Powyższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.
Twierdzenie.
Niech funkcja f : I R będzie różniczkowalna w przedziale I .
'
�#
1) Jeśli '" f (x) = 0ś# to funkcja f jest stała w przedziale I.
ś# ź#
�# x"I #
'
�#
2) Jeśli '" f (x) > 0ś# to funkcja f jest rosnąca w przedziale I.
ś# ź#
�# x"I #
'
�#
3) Jeśli '" f (x) e" 0ś# to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I.
ś# ź#
�# x"I #
'
4) Jeśli �# '" f (x) < 0ś#to funkcja f jest malejąca w przedziale I.
ś# ź#
�# x"I #
'
�#
5) Jeśli '" f (x) d" 0ś# to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.
ś# ź#
�# x"I #
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f : I R jest różniczkowalna w przedziale I oraz jest niemalejąca
'
w tym przedziale, to '" f (x) e" 0 .
x"I
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f : I R jest różniczkowalna w przedziale I, to jest ona rosnąca
'
w tym przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy '" f (x) e" 0 oraz zbiór
x"I
{x " I; f '(x) = 0} nie zawiera przedziału.
Twierdzenie.
Niech f : I R , g : I R będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz
niech x0 " I . Jeżeli f (x0 ) = g(x0 ) oraz '" f ' (x) = g' x) , to '" f (x) = g(x).
x"I x"I
Twierdzenie. (REGUA
A DE L HOSPITALA)
Niech f i g będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie U
punktu x0 oraz '" g'(x) `" 0 . Jeżeli lim f (x) = 0 = lim g(x) , oraz istnieje granica
xx0 xx0
x"U
'
f (x) f (x)
lim (właściwa lub nie), to istnieje również granica lim przy czym
xx0 ' xx0
g (x) g(x)
'
f (x) f (x)
lim = lim .
xx0 xx0 '
g(x) g (x)
Uwaga: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie (WZÓR TAYLORA)
Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu n w przedziale [a, b] oraz pochodną
rzędu (n +1)w przedziale (a, b), to istnieje punkt cn " (a,b) taki, że
(n) (n+1)
f '(a) f ''(a) f (a) f (cn )(b - a) .
n+1
f (b) = f (a) + (b - a) + (b - a)2 + ... + (b - a)n +
1! 2! n! (n +1)!
Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy
(n+1)
f (cn )(b - a)
n+1
jako Rn i nazywać resztą w postaci Lagrange a. Tak więc Rn =
(n +1)!
Wniosek. Dla n = 1 otrzymujemy twierdzenie Lagrange a.
Uwaga Wzory twierdzeń o wartości średniej i wzór Taylora są prawdziwe
również w przypadku, gdy b < a .
Wniosek. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy a = 0, b = x , to otrzymujemy wzór
(n) (n+1)
f '(0) f ''(0) f (0) f (cn )
Maclaurina f (x) = f (0) + x + x2 + ... + xn + xn+1 .
1! 2! (n)! (n +1)!
Twierdzenie.
Załóżmy, że funkcja f ma pochodną dowolnego rzędu n w przedziale [a,b].
(n)
"
f (a)
Jeśli lim Rn = 0 , to f (b) = (b - a)n .
"
n"
n!
n=0
Uwaga. Założenie istnienia pochodnych dowolnego rzędu n nie wystarcza do
udowodnienia powyższego wzoru nawet wtedy, gdy wzbogacić je założeniem
(n)
"
f (a)
zbieżności szeregu (b - a)n .
"
n!
n=0
Wniosek. Załóżmy, że funkcja f ma pochodną dowolnego rzędu n w przedziale
(n)
"
f (0)
pomiędzy liczbami 0 i x . Jeśli lim Rn = 0 , to f (x) = xn
"
n"
n!
n=0
Twierdzenie.
"
Jeśli f (x) = xn , to f ma pochodną dowolnego rzędu k w każdym punkcie x0
"an
n=0
"
położonym wewnątrz przedziału zbieżności szeregu xn przy czym
"an
n=0
(n)
"
f (0) dla.
(k )
f (x0 ) = -1)K(n - k +1)�"an x0 n-k dla k = 1,2K , oraz an =
"n(n
n!
n=k
n = 0,1,2K.
Twierdzenie (o różniczkowaniu ciągu funkcyjnego)
Załóżmy, że {fn} jest ciągiem funkcyjnym złożonym z funkcji mających
n"N

ciągłe pochodne na przedziale [a,b]. Jeśli fn f , oraz fn2 g , to f jest
[a,b]

[a,b]
różniczkowalna na [a,b], przy czym f ' = g .
[a,b]
Załóżmy teraz, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Definicja.
Funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, jeżeli
(" f (x0 ) e" f (x) ( (" f (x0 ) d" f (x)).
'" '"
U"S(x0 ) U"S(x0 )
x"U x"U
Definicja.
Funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne właściwe, jeżeli
(" f (x0 ) > f (x) ( (" f (x0 ) < f (x)).
'" '"
U"S(x0 ) U"S(x0 )
x"U x"U
Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami tej funkcji.
Twierdzenie Fermata. (warunek konieczny istnienia ekstremum).
Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x0 oraz jest różniczkowalna w
tym punkcie, to f '(x0 ) = 0 .
Twierdzenie. ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego .
- +
Załóżmy, że U,V �" Df , U " S (x0 ), V " S (x0 ). Przyjmijmy, że f jest ciągła na
U *"V *"{x0} i różniczkowalna na U *"V . Jeśli
'" '"( f '(u) < 0 '" f '(v) > 0) to f ma
u"U v"V
w punkcie x0 minimum właściwe. Jeśli ( f '(u) > 0 '" f '(v) < 0) to f ma w
'" '"
u"U v"V
punkcie x0 maksimum właściwe.
Twierdzenie. (II warunek wystarczający).
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu n w pewnym otoczeniu punktu x0 , ciągłą w
(n-1) (n)
punkcie x0 , oraz f '(x0 ) = f ''(x0 ) = ... = f (x0 ) = 0 , f (x0 ) `" 0, to w przypadku
gdy n jest liczbą parzystą, funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x0 . Jest to
(n) (n)
maksimum właściwe, gdy f (x0 ) < 0 , zaś minimum właściwe, gdy f (x0 ) > 0 .
Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x0 .
Definicja ekstremum absolutnego.
Niech A �" R i niech f będzie funkcją rzeczywistą taka, że A �" Df . Mówimy,
że f osiąga w punkcie x0 " A maksimum (minimum) absolutne na zbiorze A,
jeżeli
�# ś#
'" f (x0 ) e" f (x) '" f (x0 ) d" f (x)
ś# ź#
x"A �# x"A #
Twierdzenie
Niech f będzie ciągła w przedziale [a,b] i różniczkowalna w (a,b). Funkcja
f osiąga w tym przedziale swoje ekstrema absolutne w punktach zbioru
{a,b}*"{x "(a,b): f '(x) = 0}
Definicja.
Załóżmy, że f jest funkcją różniczkowalną w punkcie x0 . Funkcję f nazywamy
wypukłą (wklęsłą) w punkcie x0 jeśli (" f (x) > f (x0 )+ f '(x0 )(x - x0 )
'"
U"S(x0 )
x"U
(U"(" f (x) < f (x0 )+ f '(x0 )(x - x0 )). Funkcję f nazywamy wypukłą (wklęsłą) na
'"
S(x0 )
x"U
przedziale (a,b), gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.
Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości (wklęsłości))
Załóżmy, że istnieje druga pochodna funkcji f w przedziale (a,b). Jeśli
'" f ''(x) > 0 ( '" f ''(x) < 0 ) to funkcja f jest wypukła (wklęsła) na (a,b).
x"(a,b) x"(a,b)
Definicja punktu przegięcia
Mówimy, że funkcja f ciągła w punkcie x0 ma w punkcie x0 punkt przegięcia,
jeśli funkcja ta jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym sąsiedztwie
punktu x0 i wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu
x0 .
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )
Jeśli funkcja f ma pochodną rzędu drugiego w pewnym otoczeniu punktu
x0 ciągłą w x0 i x0 jest punktem przegięcia funkcji f to f ''(x0 ) = 0 .
Twierdzenie ( I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
- +
Załóżmy, że U,V �" Df , U " S (x0 ), V " S (x0 ). Przyjmijmy, że f ma pochodną
rzędu pierwszego na U *"V *"{x0} i pochodną rzędu drugiego na U *"V . Jeśli
'" '"( f ''(u) < 0 '" f ''(v) > 0) lub '" '"( f ''(u) > 0 '" f ''(v) < 0) to f ma w punkcie
u"U v"V u"U v"V
x0 punkt przegięcia.
Twierdzenie. (II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu n w pewnym otoczeniu punktu x0 , ciągłą w
(n-1) (n)
punkcie x0 , oraz f '(x0 ) = f ''(x0 ) = ... = f (x0 ) = 0 , f (x0 ) `" 0, to w przypadku
gdy n jest liczbą nieparzystą, funkcja f ma w punkcie x0 punkt przegięcia.. Jeśli n
jest liczbą parzystą, to f nie ma punktu przegięcia w punkcie x0 .
Definicja (funkcji pierwotnej).
Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeśli
'"F'(x) = f (x)
x"I
Gdy I jest przedziałem domkniętym (I=[a,b]) lub jednostronnie domkniętym
(I=[a,b) lub I=(a,b]), to przez pochodną funkcji w punktach a i b należy
rozumieć pochodną jednostronną, odpowiednio F +(a) i F -(b).
Twierdzenie (Podstawowe własności funkcji pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wówczas
(1) każda funkcja postaci F(x)+C, gdzie C=const, jest również funkcją
pierwotną funkcji f
(2) jeśli ponadto funkcja G jest też funkcja pierwotną funkcji f na przedziale
I, to G=F+C na przedziale I, gdzie C=const.
Uwaga:
Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcje pierwotne funkcji f na przedziale
I mają postać:
(*) F(x)+C gdzie c"R i F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale
I
oraz tylko funkcje postaci (*) są funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale
I.
Definicja (całki nieoznaczonej).
Niech F będzie funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną
funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji:
{F(x)+C: C"R}
i oznaczamy .
f (x)dx
+"
Uwaga
Działania i operacje na całkach nieoznaczonych oznaczają działania i operacje
na funkcjach pierwotnych reprezentujących te całki. Jeśli F jest pewną funkcją
pierwotną funkcji f na przedziale I, to zapisujemy f (x)dx = F(x) + C , gdzie
+"
C"R.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące
Wnioski:
Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy:
I
(1) '" [+" f (x)dx] = f (x)
x"X
(2) '" f '(x)dx = f (x)+ c, c " R
+"
x"X
Twierdzenie
Niech dany będzie punkt x0 wewnątrz przedziału I i niech dana będzie dowolna
liczba y0"R. Jeśli funkcja f posiada funkcję pierwotną w przedziale I, to istnieje
tylko jedna funkcja pierwotna F taka, że F(x0)=y0.
Uwaga:
Geometrycznie twierdzenie to oznacza, że przez każdy punkt płaszczyzny o
odciętej x"I przechodzi krzywa całkowa (tzn. wykres funkcji pierwotnej).
Ponieważ krzywe całkowe są do siebie równoległe, więc przez każdy punkt
płaszczyzny przechodzić może tylko jedna krzywa całkowa danej funkcji f.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące wzory na
całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych:
(1)
+"0dx = c, x " R
1
(2) xą dx = xą +1 + c, ą `" -1
+"
ą +1
1
(3) dx = ln x + c x "(- ",0)(" x "(0,")
+"
x
x
(4) dx =ex + c x " R
+"e
(5)
+"sin xdx = -cos x + c x " R
(6)
+"cos xdx = sin x + c x " R
1
(7) dx = -ctgx + c x "(k ,(k +1) ),k " Z
+"
sin2 x
1
 
(8) dx = tgx + c x "(- + k , + k ),k " Z
2 2
+"
cos2 x
dx
(9)
+"1+ x2 = arctgx + c x " R
dx
(10) = arcsin x + c x < 1
+"
1- x2
(11)
+"shxdx = chx + c x " R
(12)
+"chxdx = shx + c x " R
1
(13) dx = -cthx + c x `" 0
+"
sh2x
1
(14) dx = thx + c x " R
+"
ch2x
Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale I, to:
f (x)dx + g(x)dx
+"( f (x) + g(x))dx = +"
+"
(1)
f (x)dx
+"(c �" f (x))dx = c �"+"
(2)
Twierdzenie (o całkowaniu granicy ciągu funkcyjnego)
Jeżeli funkcje fn są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz ciąg
{fn} jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale I, to funkcja f również
posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość
f (x)dx = lim fn (x)dx
+" +"
n"
Korzystając z powyższego twierdzenia dowodzi się
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Każda funkcja ciągła na przedziale I posiada w tym przedziale funkcję
pierwotną
Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)
Jeżeli funkcje fn są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz
"
szereg funkcyjny fn (x)dx jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale
"
n=1
I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość:
"
f (x)dx = fn (x)dx
"
+" +"
n=1
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to
f (x)g'(x)dx = f (x)g(x) - f '(x)g(x)dx
+"+"
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli :
1) funkcja f : I J jest ciągła na przedziale I
na
2) funkcja h : J R ma ciągłą pochodną na przedziale J ,
to f (h(t))�" h'(t)dt = f (x)dx = F(h(t))+c , gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną
+" +"
funkcji f oraz c"R.
Definicja (całki oznaczonej Riemanna).
Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] i niech zbiór Pn={x0,
x1,& , xn} oznacza podział odcinka [a,b] na n części, przy czym a= x0< x1<& <
xn=b. Niech
"xk=xk-xk-1 oznacza długość k-tego odcinka podziału Pn, gdzie 1d"kd"n oraz
�(Pn)=max{"xk: 1d"kd"n} oznacza średnicę podziału Pn, zaś xk*"[ xk-1, xk]
oznacza punkt pośredni k-tego odcinka podziału Pn, gdzie 1d"kd"n.
Sumą całkową funkcji f na przedziale [a,b] odpowiadającą podziałowi Pn oraz
punktom pośrednim xk* tego podziału gdzie 1d"kd"n, nazywamy liczbę
n
def
Sn( f , Pn ) = f (xk *)"xk
"
k =1
.
Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem;
def
f (x)dx = lim Sn ( f , Pn ),
+"
� (Pn )0
o ile istnieje granica właściwa występująca po prawej stronie znaku równości
oraz granica ta nie zależy od sposobu podziałów Pn przedziału [a,b] ani od
sposobu wyboru punktów pośrednich xk*, gdzie 1d"kd"n. Ponadto przyjmujemy
a a b
def
f (x)dx = 0 oraz f (x)dx = - f (x)dx dla a+" +" +"
a b a
Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [a,b] nazywamy
funkcją całkowalną na [a,b].
Uwaga
Każda funkcja całkowalna jest ograniczona, ale nie każda funkcja ograniczona
na przedziale jest na nim całkowalna np. funkcja Dirichleta na przedziale [0,1].
Twierdzenia o funkcjach całkowalnych w sensie (R)
Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale I=[a,b], to jest również całkowalna
na każdym podprzedziale [c,d]�"I.
Twierdzenie 2
Jeśli f jest całkowalna na przedziale I, zaś � jest funkcją ciągłą, to funkcja ��"f
jest całkowalna na I.
Twierdzenie 3.
Jeśli a=t0< t1<& tn-1< tn=b oraz f jest całkowalna na każdym przedziale [ti,ti+1],
i"{0,& ,n-1}, to f jest całkowalna na [a,b].
Twierdzenie 4 (warunek wystarczający całkowalności)
Jeśli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale
skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.
Uwaga *
Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcja ciągła na przedziale jest na nim
całkowalna. Z drugiej strony funkcja całkowalna na przedziale może mieć
nieskończenie wiele punktów nieciągłości.
Twierdzenie 5
Jeśli funkcja f jest monotoniczna i ograniczona na przedziale [a,b], to jest
całkowalna na [a,b].
Twierdzenie 6 (Newtona - Leibnitza, I podstawowe twierdzenie rachunku
całkowego)
b
Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to f (x)dx = F(b) - F(a) , gdzie F
+"
a
oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale. Różnicę F(b)-
b
F(a) oznaczamy F(x) .
a
Twierdzenie 7 (o liniowości całki oznaczonej)
Jeżeli funkcja f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to
b b b
1) f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx
+"( +" +"
a a a
b b
2) (x))dx =c f (x)dx, gdzie c"R
+"(cf +"
a a
Twierdzenie 8 (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a,b], to
b b
b
f (x)g'(x)dx = ( f (x) �" g(x)) - f '(x)g(x)dx
+" a +"
a a
Twierdzenie 9 (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli:
na
1) funkcja � :[ą, �][a,b] ma ciągłą pochodną na przedziale [ą,�]
2) �(ą)=a, �(�)=b,
3) funkcja f jest ciągła na [a,b],
b �
wówczas f (x)dx = f (�(t))�'(t)dt .
+"+"
a ą
Twierdzenie 10 (o równości całek)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech funkcja g różni
się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy
funkcja g także jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz
b b
g(x)dx = f (x)dx
+" +"
a a
.
Twierdzenie 11 (addytywność całki względem przedziału całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz c"(a,b), to
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
+" +" +"
a a c
Twierdzenie 12 (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu)
Jeżeli funkcja f i g spełniają warunki:
1) są całkowalne na przedziale [a,b],
2) '" f (x)d" g(x),
x"[a,b]
b b
to f (x)dx d" g(x)dx
+" +"
a a
Uwaga
Jeżeli nierówność w założeniu twierdzenia jest ostra, to także nierówność w
tezie jest ostra.
Twierdzenie 13 (o całce funkcji nieparzystej, parzystej i okresowej)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna oraz
a
1) jest nieparzysta, to f (x)dx = 0 ;
+"
-a
a a
2) jest parzysta, to f (x)dx = 2 f (x)dx ;
+"+"
-a 0
a+T T
3) ma okres T, to f (x)dx = f (x)dx .
+"+"
a 0
Twierdzenie 14
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz istnieją liczby m, M"R takie, że
'" m d" f (x)d" M ,
x"[a,b]
b
wówczas m(b - a)d" f (x)dx d" M (b - a).
+"
a
Definicja (wartości średniej funkcji)
Niech f będzie całkowalną na przedziale [a,b]. Wartością średnią funkcji f na
przedziale [a,b] nazywamy liczbę
b
df
1
fśr = f (x)dx
b-a
+"
a
.
Twierdzenie 15 (całkowe o wartości średniej funkcji)
Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b], to
b
(" fśr = f (c), tzn. f (x)dx = (b - a)f (c).
+"
c"[a,b]
a
Twierdzenie 16 (nierówność Schwartza)
Jeśli f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to
2
b b b
�# ś#
2 2
ś#
f (x)g(x)dxź# d" f (x)dx �" g (x)dx
+" +" +"
ś# ź#
�# a # a a
Definicja (funkcji górnej granicy całkowania)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech c"[a,b].
x
Funkcję F(x) = f (t)dt , gdzie x"[a,b], nazywamy funkcja górnej granicy
+"
c
całkowania.
Twierdzenie 17 (o ciągłości funkcji górnej granicy całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i c"[a,b], to funkcja
x
F(x) = f (t)dt , gdzie x"[a,b] jest ciągła na przedziale [a,b].
+"
c
Twierdzenie 18 (II główne twierdzenie rachunku całkowego)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz ciągła w punkcie
x
x0"[a,b], to funkcja F(x) = f (t)dt , gdzie c"[a,b], ma pochodną właściwą w
+"
c
punkcie x0 oraz F'(x0 ) = f (x0 ) .
Uwaga
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to jej funkcja górnej granicy
całkowania F jest funkcją pierwotną funkcji f.
Twierdzenie 19 (O całkowaniu ciągu funkcyjnego)
Jeżeli ciąg {fn}n"N funkcji ciągłych na przedziale [a,b] jest zbieżny jednostajnie
do funkcji f na [a,b], to
b b
f (x)dx = lim fn (x)dx
+" +"
n"
a a
Twierdzenie 20 (O całkowaniu szeregu funkcyjnego)
"
Jeżeli funkcje fn, dla n=1, 2, & , są ciągłe na przedziale [a,b] i szereg fn (x)
"
n=1
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na [a,b], to
b b
" "
Ą# ń#
fn (x)dx
" "
ó#
+"Ł# fn (x)Ą#dx = +"
n=1 Ś# n=1
a a
Z powyższego twierdzenia jako bezpośredni wniosek mamy
Twierdzenie 21 (O całkowaniu szeregów potęgowych)
Niech 0n
n
"
t
"
(x - x0)
, wówczas (x - x0 ) dx ma ten sam promień zbieżności R oraz
"an
" n
+"a
n=0 n=0
0
n
n n+1
t t
" " "
an
(x - x0 ) dx = (x - x0 ) dx = (t - x0 )
"an " n "
+" +"a
n +1
n=0 n=0 n=0
0 0
dla każdego t"(x0-R, x0+R).
Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.
1) Pole figury płaskiej
Twierdzenie 1
Niech krzywa AB będzie określona równaniem y=f(x) dla x"[a,b], gdzie f jest
funkcją dodatnią i ciągłą w przedziale [a,b]. Wtedy pole ó#PĄ# trapezu
krzywoliniowego ograniczonego krzywa AB z góry oraz prostymi y=0, x=a,
x=b, wyraża się wzorem:
b
P = f (x)dx .
+"
a
Wniosek 1
Jeżeli krzywa AB ograniczająca z góry trapez krzywoliniowy P opisany w
twierdzeniu 1 jest określona za pomocą równań parametrycznych:
(*) x = x(t), y = y(t), t "[ą, �]
gdzie x=a dla t=ą, x=b dla t=�, funkcje x i y mają ciągłe pochodne i y jest
dodatnia w przedziale [ą,�], zaś krzywa AB nie ma punktów wielokrotnych,
wówczas pole trapezu krzywoliniowego P wyraża się wzorem:
�
P = y(t) �" x'(t)dt .
+"
ą
Wniosek 2
Jeżeli trapez krzywoliniowy P określony jest następująco:
P = {(x, y)" R2 : a d" x d" b '" f1(x) d" y d" f2 (x)}
gdzie funkcje f1 i f2 są ciągłe na przedziale [a,b] oraz f1(x)d"f2(x) dla każdego
x"[a,b], wtedy pole trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:
b
P = (x) - f1(x)]dx
2
+"[f
a
.
Twierdzenie 2
Niech AOB będzie wycinkiem ograniczonym krzywa AB i dwoma promieniami
Oa i OB. (z których każdy może być punktem) i niech krzywa AB będzie
określona równaniem biegunowym:
r = g(� ) � "[�1�2]
gdzie g jest funkcją ciągłą i dodatnią w przedziale [�1�2]. Wtedy pole ś#Pź#
wycinka AOB wyraża się wzorem:
2
�2
1
P =
2
+"[g(a)] d�
�1
.
Wniosek 3
Jeśli krzywa AB jest określona równaniami parametrycznymi (*) i spełnia
założenia z wniosku 1, wówczas pole wycinka AOB wyraża się wzorem:
�
1
P =
2
+"[x(t) �" y'(t) - x'(t) �" y(t)]dt
ą
.
2) Długość łuku krzywej
Twierdzenie 3
Jeżeli łuk l dany jest równaniami parametrycznymi:
x = x(t), y = y(t), t "[ą, �]
przy czym nie ma punktów wielokrotnych oraz funkcje x i y posiadają ciągłe
pochodne na przedziale [ą,�], to długość ś#lź# łuku l wyraża się wzorem:
�
2 2
l = [x'(t)] +[y'(t)] dt
+"
ą
.
Twierdzenie 4
Jeżeli łuk l dany jest równaniem jawnym y = f (x), x "[a,b], gdzie f jest
funkcją posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wówczas długość ś#lź#
tego łuku wyraża się wzorem:
b
2
l = 1+[f '(t)] dx
+"
a
.
Twierdzenie 5
Jeżeli łuk l dany jest równaniem biegunowym r = g(� ), � "[�1,�2], gdzie g jest
funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [�1,�2], wówczas
długość ś#lź# łuku l wyraża się wzorem:
�2
2
l = g2(� )+[g'(� )] d� .
+"
�1
3) Objętość bryły obrotowej.
Twierdzenie 6 (objętość bryły)
Niech S(x), gdzie x"[a.b], oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną
prostopadłą do osi OX w przestrzeni X oraz niech S będzie funkcją ciągłą na
przedziale [a,b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem;
b
V =
+"S(x)dx .
a
Twierdzenie 7 (objętość bryły obrotowej)
Niech D ={(x, y)" R2 : a d" x d" b '" 0 d" y d" f (x)}, gdzie f jest funkcją ciągłą na
przedziale [a,b], oznacza trapez krzywoliniowy. Wtedy objętość bryły V
powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego D wokół osi 0x wyraża się
wzorem:
b
2
V =  f (x)dx .
+"
a
4) Pole powierzchni obrotowej.
Twierdzenie 8
Niech krzywa AB będzie dana równaniem y = f (x), x "[a,b], gdzie f jest
funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wówczas
pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB dokoła osi Ox
wyraża się wzorem:
b
2
S = 2  f (x) 1+[f '(x)] dx .
+"
a
Twierdzenie 9
Niech krzywa AB będzie dana równaniami parametrycznymi:
x = x(t), y = y(t), t "[ą, �]
gdzie funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne i y jest nieujemna na przedziale
[ą, �], oraz krzywa AB nie posiada punktów wielokrotnych. Wówczas pole
powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB wokół osi Ox wyraża się
wzorem:
b
2 2
S = 2  y(t) [x'(t)] +[y'(t)] dt .
+"
a
Całki niewłaściwe
W rozważaniach tego rozdziału będziemy zakładać, że wszystkie funkcje sa
całkowalne na dowolnym przedziale domkniętym zawartym w ich dziedzinie.
Definicja (całki niewłaściwej pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f: [a, +") R. Całką niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f
na półprostej [a, +") definiujemy następująco:
+" �
def .
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
� +"
a a
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że
całka niewłaściwa z funkcji f na [a, +")jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa
+" lub -", to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +" lub do -".
W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na
(-",b], a mianowicie:
b b
def .
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
ą -"
-" ą
Niech f: RR. Całkę niewłaściwą z funkcji f na prostej (-", +") definiujemy
następująco:
" a "
def .
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx ,
+" +" +"
-" -" a
gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie
znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na (-",
+") jest zbieżna.
Uwaga:
Zbieżność całki niewłaściwej na (-", +") nie zależy od wyboru liczby a.
Wniosek:
+"
dx
Całka niewłaściwa postaci , gdzie a>0, jest zbieżna dla p>1 i rozbieżna do
+" p
x
a
+" dla pd"1.
b
dx
Analogiczny fakt jest prawdziwy dla całek , gdzie b<0, o ile funkcja
+" p
x
-"
podcałkowa jest poprawnie określona.
Kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju
Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze)
Niech funkcje f i g spełniają warunek:
'" 0 d" f (x) d" g(x).
x"[a,+")
Wówczas:
+" +"
1) jeśli całka g(x)dx jest zbieżna, to także całka f (x)dx jest zbieżna;
+" +"
a a
+" +"
2) jeśli całka f (x)dx jest rozbieżna, to także całka g(x)dx jest rozbieżna.
+" +"
a a
Uwaga:
Twierdzenie to zachodzi także dla funkcji f i g niedodatnich. Ponadto
prawdziwe są analogiczne twierdzenie dla całek niewłaściwych na półprostej (-
",b].
Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe)
Niech funkcje f i g będą dodatnie (ujemne) na półprostej [a, +") oraz niech
spełniają warunek:
+" +"
f (x)
lim = k , gdzie 0+" +"
x+"
g(x)
a a
zbieżne albo rozbieżne.
Definicja (zbieżności bezwzględnej całek niewłaściwych I rodzaju).
Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie,
gdy zbieżna jest całka niewłaściwa z funkcji ś#f(.
Twierdzenie 3
Jeżeli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna.
Ponadto
+" +"
f (x)dx d" f (x)dx .
+" +"
a a
Definicja (całek niewłaściwych drugiego rodzaju)
Niech funkcja f: (a,b]R będzie nieograniczona tylko na prawostronnym
sąsiedztwie punktu a. Całką niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji f na (a,b]
definiujemy następująco:
b b
def .
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
ą a+
a ą
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że
całka niewłaściwa z funkcji f na (a,b] jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa
+" lub -", to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +" lub -". W
pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa drugiego rodzaju z funkcji f:{a,b) i
nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b:
b �
def .
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
� b-
a a
Niech funkcja f: [a,c)*"(c,b]R będzie nieograniczona tylko na obu
jednostronnych sąsiedztwach punktu c. Całka niewłaściwą z funkcji f na [a,b]
definiujemy następująco:
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .
+" +" +"
a a c
Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne to mówimy, że
całka niewłaściwa z funkcji f na [a,b] jest zbieżna.
Analogicznie, jeśli f: (a,b)R jest nieograniczona na prawostronnym
sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie punktu b, to całkę
niewłaściwą z funkcji f na (a,b) definiujemy następująco:
b d b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx,
+" +" +"
a a d
gdzie d jest dowolnym punktem przedziału (a,b), przy czym zbieżność
powyższej całki niewłaściwej nie zależy od wyboru punktu d.
Uwaga 1
Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju (analogicznie jak dla całek
niewłaściwych pierwszego rodzaju) całka niewłaściwa postaci
b
dx
, gdzie b>0
+" p
x
0
jest zbieżna dla p<1 i rozbieżna do +" dla pe"1.
Uwaga 2
Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju z funkcji f na przedziale (a,b] ( lub
[a,b) ) prawdziwe są kryteria zbieżności porównawcze i ilorazowe analogiczne
jak dla całek pierwszego rodzaju w twierdzeniach 1 i 2.
Twierdzenie 4 (Kryterium całkowe zbieżności szeregów)
Niech funkcja f: [n0, +")[0, +"), gdzie n0"N, będzie nierosnąca. Wówczas
+"
+"
f (n) i całka niewłaściwa f (x)dx są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
"
+"
n=n0
n0
Wiadomości uzupełniające.
1) Szeregi Taylora i Maclaurina
Definicja (Szeregu Taylora)
Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
(n)
f (x0 )
n
(x - x0 )
"
n!
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0. Jeżeli x0=0, to
szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.
Uwaga
Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej
funkcji.
Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).
Jeżeli:
(1) funkcja f ma w otoczeniu U(x0) pochodne dowolnego rzędu,
(2) dla każdego x"U(x0) lim Rn (x) = 0 , gdzie
n"
(n)
f (c)(x - x0 )
n
Rn (c) =
n!
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.
Wówczas:
(n)
"
f (x0)(x - x0) dla każdego x"U(x0).
n
f (x) =
"
n!
n=0
Uwaga
Zamiast założenia (20 można przyjąć:
(2 ) wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.
(n)
(" '" '" f (x) d" M .
xM >0 n"N *"{0}x"U ( x0 )
Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)
"
n
Jeżeli f (x) = (x - x0 ) dla każdego x z pewnego otoczenia U(x0), to
"an
n=0
(n)
f (x0 ) dla n=0,1,2,&
an =
n!
2) Ciągi i szeregi ortogonalne
Niech V={f:[a,b]R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest
przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i
mnożeniem funkcji przez liczbę. W przestrzeni V określamy iloczyn skalarny
następująco:
b
'" ( f , g)= f (x) �" g(x)dx ;
+"
f ,g"V
a
oraz określamy normę kwadratową funkcji f:
'" f = ( f , f ).
f "V
Definicja
Ciąg funkcyjny {fn}n"N nazywamy ortogonalnym na [a,b], jeżeli (fn,fm)=0 dla
n`"m i f > 0 dla wszystkich n.
Definicja
Jeżeli {cn}n"N jest ciągiem liczbowym, zaś {fn}n"N jest ciągiem funkcyjnym
+"
ortogonalnym w przedziale [a,b], to szereg funkcyjny fn (x) nazywamy
"cn
n=0
szeregiem ortogonalnym.
Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)
+"
Jeżeli szereg ortogonalny fn (x) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w
"cn
n=0
przedziale [a,b] i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki cn
wyrażają się wzorami:
( f , fn )
cn =
2
fn
Uwaga
Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w
tym przedziale istnieje więc co najwyżej jeden taki szeteg ortogonalny, który
jest jednocześnie zbieżny w tym przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg
+"
( f , fn )
istnieje, to jest nim szereg fn , gdzie cn = .
"cn
2
n=0 fn
Liczby cn określone powyższymi wzorami nazywamy współczynnikami
Fouriera funkcji f względem ciągu {fn}n"N.
3) Szereg trygonometryczny Fouriera
Lemat
Ciąg funkcyjny {�n}n"N określony następująco:
nĄx nĄx
�0(x)=1 �2n(x)= sin �2n-1(x)= cos n = 1,2,...
l l
gdzie l>0, jest ciągiem funkcji okresowych o okresie 2l, ortogonalnych w
2
przedziale [-l,l] (ogólniej: w każdym przedziale [a, 2l+a] ), przy czym �0 = 2l ,
2
�n = l .
Wniosek
Współczynniki Fouriera funkcji f(x) w przedziale [a, 2l+a] względem ciągu
ortogonalnego {�n}n"N wyrażają się następująco:
2l+a
( f ,�0 ) 1
c0 = = f (x)dx
2 +"
�0 2l a
2l+a
( f ,�2n ) 1 nĄx
c2n = = f (x) �"sin dx
2 +"
l
�2n l a
2l+a
( f ,�2n-1) 1 nĄx
c2n-1 = = f (x) �"cos dx
2 +"
l
�2n-1 l a
Definicja (Szeregu trygonometrycznego Fouriera)
Szereg Fouriera funkcji f(x) względem ciągu ortogonalnego {�n}n"N w
przedziale [-l, l] zapisujemy tradycyjnie:
a0 " nĄx nĄx
ś#
+ �"cos + bn �"sin ,
ś# ź#
"�#an
2 l l
�# #
n=1
gdzie a0=c0, an=c2n-1, bn=c2n określone są wzorami z powyższego wniosku.
Szereg ten nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) w
przedziale [-l, l] i zapisujemy
a0 " nĄx nĄx
ś#
f(x)~ + �"cos + bn �"sin
ś# ź#
"�#an
2 l l
�# #
n=1
Uwaga
Wychodząc od dowolnej funkcji całkowalnej f(x) i określając współczynniki a0,
an, bn wzorami Fouriera nie otrzymujemy na ogół w powyższym wyrażeniu
równości. Funkcja musi spełniać dość silne warunki, aby równość zachodziła.
Definicja
Mówimy, że funkcja f(x) spełnia w przedziale [a,b] warunki Dirichleta, jeżeli:
(1) f(x) jest przedziałami monotoniczna w (a,b)
(2) f(x) jest ciągła w przedziale (a,b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej
liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (tzn. istnieją skończone
granice jednostronne w tych punktach), przy czym w każdym punkcie
nieciągłości x0 spełniony jest warunek:
def .
def .
1
f (x0)= (f (x0 - ) + f (x0 + )), gdzie f (x0 - ) = lim f (x) i f (x0 + ) = lim f (x)
2
xx0- xx0+
(3) w końcach przedziału [a,b] zachodzą równości:
1
f (a) = f (b) = (f (a+ ) + f (b- )).
2
Uwaga:
Jest wiadome, że funkcja spełniająca warunki Dirichleta w przedziale [a,b] jest
całkowalna w sensie Riemanna w [a,b].
Twierdzenie (Dirichleta)
Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale [a, 2l+a] warunki Dirichleta, to jest
rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera
a0 " nĄx nĄx
ś#
f (x) = + �"cos + bn �"sin
ś# ź#
"�#an
2 l l
�# #
n=1
dla x"[a, 2l+a] o współczynnikach zadanych wzorami z wniosku powyżej. Jeśli
ponadto funkcja f(x) jest okresowa o okresie 2l, to równość powyższa zachodzi
dla każdego x z dziedziny funkcji.
Uwaga
Jeśli funkcja f(x) spełniająca w przedziale [-l, l] warunki Dirichleta jest parzysta,
to rozwija się w szereg Fouriera postaci:
a0 " nĄx
f (x) = + �"cos .
"an
2 l
n=1
Jeśli natomiast f(x) jest nieparzysta w [-l, l], to jej szereg Fouriera jest równy:
a0 " nĄx
f (x) = + �"sin .
"bn
2 l
n=1