Przekształcenia całkowe
Wykład 3
fragmenty
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej
Twierdzenie 1:
Jeżeli funkcja f z = u x, y + iv x, y jest ciągła
( ) ( ) ( )
wzdłuż krzywej regularnej C, to całka istnieje i oblicza się ją
ze wzoru:
�
f z d z = f Ą#
( ) ( )Ś# ( )
+"+" Ł#z t ń# z2 t dt
C ą
gdzie: jest równaniem krzywej
z = z t , ą d" t d" �
( )
całkowania C.
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej
zachowuje wszystkie własności całki krzywoliniowej funkcji
zmiennej rzeczywistej:
1. f1 z d z ą f2 z d z
( ) ( )
Ł#ń#
+"Ą# f1(z) ą f2 (z)Ś# d z = +"+"
CC C
f z d z, k = idem
( )
2.
+"k �" f (z)d z = k �"+"
CC
f z d z =- f z d z
( ) ( )
3.
+" +"
-CC
gdzie C - krzywa, w której zmieniono zwrot na przeciwny.
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Definicja 1:
F z
Mówimy, że funkcja jest funkcją pierwotną
( )
funkcji f z w obszarze D, jeżeli w każdym punkcie tego
( )
obszaru
F '(z) = f (z)
Twierdzenie 2:
f z
Jeżeli funkcja jest ciągła w obszarze jednospójnym
( )
D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną F z , to całka
( )
krzywoliniowa wzdłuż dowolnej drogi regularnej C zawartej w D
o początku z1 i końcu z2 nie zależy od drogi całkowania i wyraża się
wzorem
f z d z = F(z2) - F(z1)
( )
+"
C
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Wzór całkowy Cauchy ego
Twierdzenie 3 (całkowe Cauchy ego):
f z
Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze
( )
jednospójnym domkniętym D, to całka krzywoliniowa funkcji
f z wzdłuż każdej krzywej regularnej zamkniętej C
( )
przebiegającej w D równa jest zeru, czyli:
f z d z = 0
( )
+"
C
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Twierdzenie 4 (wzór całkowy Cauchy ego):
f z
Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze
( )
jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur
C, to w każdym punkcie wewnętrznym z obszaru D wyraża
się ona wzorem:
f z
1 ( )
f � = d z, �" D
( )
+"
2Ąi z - �
C
Wniosek:
f z
( )
d z = 2Ąi f � , �" D
( )
+"
z -�
C
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Twierdzenie 5 (uogólniony wzór całkowy
Cauchy ego):
f z
Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze
( )
jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur
C, to ma w każdym punkcie wewnętrznym z tego obszaru
pochodne wszystkich rzędów określone wzorami
f z
n! ( )
n
( )
f � = d z, n =1,2,&
( )
n+1
+"
2Ąi
z -�
()
C
Wniosek:
f z
( ) 2Ąi
n
n+1
+"(z -�) d z = n! f ( ) (�), n =1,2,&
C