Szeregi liczbowe
Zdefiniujmy w przestrzeni wektorowej pewną operację na ciągach, która jest uogólnieniem
operacji sumowania ciągów skończonych.
Niech śą X ,%"�"%"źą - przestrzeń unormowana
śąanźąn"! - ciąg elementów z X
Definicja
n
an śąSnźąn"! , gdzie
Szeregiem o wyrazie ogólnym nazywamy ciąg Sn:= ak ,
"
k=1
"
Sn
i oznaczamy ten ciąg symbolem ak . Element nazywamy n-tą sumą
"
k=1
"
cząstkową szeregu ak .
"
k=1
Definicja
śąSnźąn"! jest zbieżny do elementu przestrzeni
Szereg nazywamy zbieżnym, jeśli ciąg X .
"
Element ten, czyli lim Sn nazywamy sumą szeregu ak i oznaczamy również tym
"
n Śą"
k=1
"
samym symbolem ak .
"
k=1
Definicja
Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
Uwaga
"
Symbol ak ma dwa znaczenia:
"
k=1
"
ak=śąSnźąn"!
"

k=1
"
" lim Sn
n Śą"
ak = lim Sn=: S
"

n Śą "
k=1
- 1 -
Przykłady
"
q `" 1, q"!
1) qn - szereg geometryczny,
"
n=0
Wtedy
n
n�ą1
Sn= qk=1-q
"
1-q
k=0
"
qn - zbieżny �! " lim Sn
"
n Śą"
n=0
1
1-qn�ą1 =
Aby istniała granica musi zachodzić |q|<1 i wtedy lim
1-q
1-q
n Śą"
Stąd
"
1
dla |q|<1.
qn=
"
1-q
n=0
"
1
2)
"
nśąn�ą1źą
n=1
n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Sn= = śą - źą=1-1 �ą - �ą -1 �ą...�ą -1 �ą1 - =1-
" "
k śąk�ą1źą k k�ą1 2 2 3 3 4 n-1 n n n�ą1 n�ą1
k=1 k=1
" "
1
1 1
lim Sn=lim śą1- źą=1
=1
" "
�! szereg jest zbieżny i
n�ą1
n Śą" n Śą " nśąn�ą1źą nśąn�ą1źą
n=1 n=1
W przestrzeni Banacha ciąg jest zbieżny �! jest ciągiem Cauchy'ego, stąd wynika
następujące twierdzenie:
Twierdzenie (WKW zbieżności Cauchy'ego)
Niech (X, ||.||)- przestrzeń Banacha
ak" X dla k "!.
i niech
Wtedy
" n
ak-zbieżny �! " �ąą0 "n0"! " n , m" ! , n0"ąmd"n ak "ą�ą
"
%"" %"
k=1 k=m
Dowód
"
śąSnźąn"! - zbieżny �! śąSnźąn"! - ciąg Cauchy'ego �!
ak - zbieżny �!
"
k=1
�! " �ąą0 "n0"! " n , m" !, n0"ąm-1d"n Sn-Sm-1 "ą�ą
%" %"
�ą
- 2 -
Twierdzenie (WK zbieżności szeregu)
"
an-zbieżny �! lim an=0
"
n Śą"
n=1
Dowód
"
an-zbieżny �! " lim Sn=S �! " lim Sn-1=S
"
n Śą " n Śą "
n=1
Ponieważ
Sn=Sn-1�ąan dla ne"2
zatem
lim an=lim śąSn-Sn-1źą=S-S=0
n Śą" n Śą"
�ą
Uwaga
Warunek lim an=0 nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu.
n Śą"
Przykład
"
1
- szereg harmoniczny
"
n
n=1
an
Nazwa pochodzi od średniej harmonicznej liczb, bo jest średnią
an-1 i an�ą1 , gdzie
harmoniczną
1
średnia harmoniczba liczb a i b jest to (odwrotność
1 1
śą �ą1 źą
2 a b
połowy sumy odwrotności tych liczb).
1
�! WK zbieżności szeregu zachodzi, jednak szereg jest rozbieżny.
Śą" 0
n Śą
n
"
1
Hipoteza: - zbieżny.
"
n
n=1
Wtedy
" lim Sn=S "!
n Śą"
�! lim S2 n=S �! lim śąS2 n-Snźą=S-S=0
}
śąS2 nźąn"!- podciąg ciągu śąSnźąn"!
n Śą" n Śą"
Z drugiej strony
n
1 1
Sn= ak=1 �ą �ą1 �ą. . .�ą
"
2 3 n
k=1
2 n 2 n
1 1 1 1 1 1
S2 n= ak= =1 �ą �ą �ą. . .�ą �ą �ą. . .�ą
" "
k 2 3 n n�ą1 2 n
k=1 k =1
- 3 -
Zatem
1 1 1 1 1 1
S2 n-Sn= �ą �ą. . .�ą e"n = �! lim śąS2 n-Snźąe" - sprzeczność
n�ą1 n�ą2 2 n 2 n 2 2
n Śą "
�ą
(hipoteza fałszywa)
n
�!
"
1
- szereg rozbieżny
"
n
n=1
Definicja
"
Szereg an nazywamy bezwzględnie zbieżnym, gdy zbieżny jest szereg norm
"
n=1
"
#"#"an#"#".
"
n=1
"
Szereg an nazywamy warunkowo zbieżnym, gdy jest zbieżny lecz nie bezwzględnie.
"
n=1
Twierdzenie (o szeregu zbieżnym bezwzględnie)
Niech (X, ||.||) - przestrzeń Banacha nad ciałem K.
"
Jeśli an - jest zbieżny bezwzględnie �!
"
n=1
"
1) an - zbieżny
"
n=1
" "
2) an d"
"%"a %"
n
%"" %"
n=1 n=1
Dowód w oparciu o WKW Cauchy'ego.
Twierdzenie (działania na szeregach)
Niech A" K.
" " " "
Jeżeli szeregi wektorowe an , bn są zbieżne, to szeregi śąan�ąbnźą i A an
" " " "
n=1 n=1 n=1 n=1
są zbieżne i zachodzi
" " "
1) śąan�ąbnźą= an�ą bn
" " "
n=1 n=1 n=1
" "
2) Aan=A an
" "
n=1 n=1
- 4 -
Twierdzenie (Cauchy'ego o iloczynie szeregów)
" " "
Jeżeli szeregi liczbowe an , bn są zbieżne bezwzględnie, to szereg cn ,
" " "
n=0 n=0 n=0
n
gdzie cn:= ak bn-k dla n"!0, jest zbieżny bezwzględnie i zachodzi
"
k=0
" " "
cn= an �" bn
" " "
śą źąśą źą
n=0 n=0 n=0
" " "
Szereg cn nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów an i bn .
" " "
n=0 n=0 n=0
Kryteria zbieżności szeregów liczbowych
Na podstawie twierdzenia o szeregu zbieżnym bezwzględnym, każdy szereg zbieżny
bezwzględnie jest zbieżny, zatem istotne są kryteria zbieżności bezwzględnej, czyli
kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych.
Uwaga
p"!.
Niech Wtedy
" "
an- zbieżny �! an-zbieżny
" "
n=1 n= p
Dowód
Sn=a1�ąa2�ą. . .�ąan=a1�ąa2�ą. . .�ąa
p-1 p p�ą1
�ą�ąa �ąa �ą. . .�ąan dla ne" p
�ą
const Sn'
Sn=const�ąSn'
" lim Sn �! " lim Sn'
n Śą" n Śą"
�ą
Twierdzenie (kryterium porównawcze - wersja klasyczna)
Niech p"!
0d"and"bn dla ne" p
oraz niech .
Wtedy
" "
1) Jeśli bn - zbieżny, to an - zbieżny
" "
n=1 n=1
" "
2) Jeśli an - rozbieżny, to bn - rozbieżny
" "
n=1 n=1
- 5 -
Dowód
" "
Ad. (1). Wystarczy zbadać zbieżność szeregów an i bn .
" "
n= p n= p
n n
" "
" ne" p 0d"and"bn �! akd" bk
Ponieważ
k= p k= p
�ą �ą
sn Sn
n n
zatem dla sn:= ak , Sn:= bk , mamy snd"Sn dla ne" p.
" "
k= p k= p
Ponadto
śąsnźąn"! śąSnźąn"!
"! oraz "!.
"
Ponieważ bn- zbieżny �! " lim Sn �! śąSnźąn"! - ciąg ograniczony
"
n Śą"
n=1
snd"Sn
�!
śą snźąn"! - ograniczony
"
śąsnźąn"!"!
�! śąsnźąn"!-zbieżny �! an- zbieżny
"
}
śąsnźąn"!-ograniczony
n= p
Ad. (2).
Implikacja w (2) jest kontrapozycją implikacji w (1).
[p�!q] �! [(~q)�!(~p)] �! kontrapozycja implikacji p�!q
�ą
Uwaga
" ne" p 0d"and"bn
Jeśli , to
" "
1) szereg bn nazywamy majorantą szeregu an
" "
n=1 n=1
" "
2) szereg an nazywamy minorantą szeregu bn
" "
n=1 n=1
Zatem kryterium porównawcze można wypowiedzieć:
Kryterium porównawcze
1) Jeśli szereg (o wyrazach nieujemnych) ma majorantę zbieżną, to jest zbieżny.
2) Jeśli szereg (o wyrazach nieujemnych) ma minorantę rozbieżną, to jest rozbieżny.
- 6 -
Przykład
"
1
Szereg Dirchleta (uogólniony szereg harmoniczny): , gdzie �ą"!
"
n�ą
n=1
1) �ą>1�!�ą jest zbieżny
2) �ąd"1�!�ą jest rozbieżny
Dla �ą=1 wykazaliśmy wcześniej, że szereg jest rozbieżny.
1
d"1 �ą " n"!.
Jeśli �ą<1, to
n
n
" "
1 1
Zatem szereg jest rozbieżną minorantą szeregu �! szereg Dirchleta dla �ą"ą1
" "
n
n�ą
n=1 n=1
jest rozbieżny. Zbieżność szeregu Dirchleta dla �ą>1 wykażemy póz
niej, korzystając z
kryterium całkowego.
Twierdzenie (kryterium porównawcze - wersja graniczna)
" n"! aną0, bną0
" "
an
�! an i bn-są jednocześnie zbieżne
" "
lim =K "śą0;�ą"źą
} n=1 n=1
bn
n Śą"
lub jednocześnie rozbieżne
Przykład
9
"
2 n3�ąn2�ąn�ą3 n
ćą ćą
"
6
n=1
n3�ą2 n-2
ćą
"
1 1
bn= -szereg Dirchleta rozbieżny
"
n1/6 n1/6
n=1
1
9
"
1 1
3 9
2 n3�ąn2�ąn�ą3 n
ćą ćą
n 2�ą �ą �ą1
�! - jest
"
śą źą
6
n
an n2 1
ćą
6
n=1
n3�ą2 n-2
ćą
lim = n =9 2�ą1 "śą0;�ą"źą
ćą
bn 1 6 2 2 }
n Śą"
rozbieżny
2
n 1�ą -
śą źą
n2 n3
ćą
Twierdzenie (kryterium d'Alemberta)
aną0
Niech .
"
an�ą1
1) Jeśli lim sup "ą1, to an jest zbieżny.
"
an
n Śą"
n=1
an�ą1
2) Jeśli lim sup ą1
"
an
n Śą"
�! an-rozbieżny
"
an�ą1
n=1
}
lub jeśli e"1 dla ne"n0, n0 "!
an
- 7 -
Uwaga
W pozostałych przypadkach kryterium nie rozstrzyga o zbieżności.
Dowód
ad.1)
an�ą1
A:=lim sup . Zatem A"ą1.
Oznaczmy
an
n Śą"
Niech �ąą0 i �ą�ąA"ą1.
�ą
A q 1
an�ą1
Ponieważ A jest granicą górną ciągu , więc prawie wszystkie wyrazy tego ciągu
an
A�ą�ą=: q
będą mniejsze od , tzn.
an�ą1
"n0 "! " ne"n0 "ąq , gdzie q"śą0;1źą.
an
Stąd
0
an�ą1"ąq an"ąq2 an-1"ą�ą"ąqn�ą1-n an dla ne"n0
0
czyli
0
an�ą1"ąqn�ą1-n an dla ne"n0 .
0
" "
0 0
Szereg qn�ą1-n an =q1-n an qn jest zbieżny, zatem stanowi zbieżną majorantę
"
0 0
�ą�""
n=1 n=n0
stałe
"
an.
szeregu
"
n=n0
"
Na podstawie kryterium porównawczego szereg an jest zbieżny.
"
n=1
ad. 2)
an�ą1 an�ą1
lim inf ą1 A:=lim inf
I. W przypadku, gdy , oznaczamy .
an an
n Śą " n Śą "
Zatem A>1. Niech �ąą0 i q := A-�ąą1.
�ą
1 q A
- 8 -
Wtedy
an�ą1
"n0 "! " ne"n0 ąq, gdzie qą1.
an
Stąd
0
an�ą1ąq anąq2 an-1ą�ąąqn�ą1-n an dla ne"n0
0
czyli
0
an�ą1ąqn�ą1-n an .
0
" "
0 0
Szereg qn�ą1-n an =q1-n an qn jest rozbieżny, zatem na podstawie kryterium
"
0 0
�ą�""
n=1 n=n0
stałe
"
porównawczego szereg an jest rozbieżny.
"
n=1
an�ą1
an�ą1e"ane"an-1e"�ąe"an
e"1 dla ne"n0
II. W przypadku, gdy mamy .
0
an
Stąd lim ane"an ą0 , czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu, bo
0
n Śą"
"
granica lim an`"0 . Zatem an jest rozbieżny.
"
n Śą"
n=1
�ą
Przykład
"
n!
.
Zbadać zbieżność szeregu
"
nn
n=1
-1
n n
an�ą1 śąn�ą1źą! nn śąn�ą1źąnn
n n�ą1
lim sup =lim =lim =lim =lim =
śą źą śą źą
śą źą
an n�ą1 n
n Śą" n Śą" n Śą " n Śą " n Śą"
śąn�ą1źąśąn�ą1źą n! śąn�ą1źąśąn�ą1źą
-1
n
lim 1�ą1 =e-1"ą1 �! szereg jest zbieżny na podstawie kryterium d'Alemberta
śą źą
śą źą
n
n Śą"
Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego)
aną0, dla n"!
Niech
n
oraz niech
g :=lim sup
ćąa .
n
n Śą"
"
1) Jeśli g"ą1 , to an - zbieżny
"
n=1
"
2) Jeśli gą1 , to an - rozbieżny
"
n=1
Uwaga
Kryterium nie rozstrzyga o zbieżności, gdy g=1 .
- 9 -
Przykład
"
Rozważmy an , gdzie
"
n=1
n
-
2
2 , gdy n - parzyste
an =
n�ą1
-
{
2
3 , gdy n - nieparzyste
Wtedy
an�ą1
lim sup =�ą"
an
n Śą"
�! kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności tego
an�ą1
}
szeregu
lim inf =0
an
n Śą"
Ponadto
- 1
2
2 , gdy n - parzyste
n
ćąa =
n 1 1
- �ą
{ śą źą, gdy n - nieparzyste
2 2 n
3
stąd
"
kryt. Cauchy'ego
1
n
lim sup = = "ą1 �! an-zbieżny.
ćąa ćą2 ćą2 "
n
2
n Śą"
n=1
Twierdzenie
aną0 dla n"!
Niech . Wtedy
an�ą1 an�ą1
n n
lim inf d" lim inf d" lim sup d" lim sup .
ćąa ćąa
n n
an an
n Śą" n Śą " n Śą" n Śą"
Wniosek
1) Jeśli kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu, to kryterium
d'Alemberta też nie rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.
an�ą1
n n
" lim =g �! " lim '" lim =g
2) Jeśli granica
ćąa ćąa
n n
an
n Śą" n Śą" n Śą"
Twierdzenie (kryterium całkowe)
"
Niech dany będzie szereg an,
"
n=n0
gdzie aną0 dla n"!. �ą"
"
�! an- zbieżny �! f śą xźądx- zbieżna
Niech f :[ n0;�ą") Śą!+ " +"
śą źą
n=n0
n0
f "C ([ n0;�ą"))
}
f "Ś!
oraz niech an= f śąnźą dla ne"n0 .
- 10 -
Przykłady
"
1
, �ąą1
1) "
n�ą
n=1
�ą
1 1
n n
lim sup =lim =lim =1 �! kryterium Cauchy'ego nie roztrzyga o zbieżności
ćąa
n
n
śą źą
n Śą" n Śą" n Śą"
n�ą
ćą n
ćą
szeregu (zatem kryterium d'Alemberta też nie rozstrzyga)
Tworzymy funkcję ciągłą f :[ 1;�ą") Śą!+ taką, aby f śąnźą=1 �ą .
n
Niech f śą xźą=1 �ą dla x"[ 1 ;�ą").
x
Wtedy
f "C ([ 1;�ą"))
f "Ś!
oraz
�ą" A
1 x-�ą�ą1 A = lim A-�ą�ą1 1 1
dx= lim x-�ą dx= lim - =
+" +"
śą źą
AŚą�ą" AŚą" -�ą�ą1
1 AŚą" -�ą�ą1 -�ą�ą1 -�ą�ą1
x�ą
1 1
�ą"
"
1 1
�! dx-zbieżna �! -zbieżny
+" "
x�ą n�ą
n=1
1
�ą"
1
2)
"
nln n
n=2
1
f śą xźą= , xe"2
x ln x
f "C ([ 2;�ą"))
f "Ś!
�ą" "
"
1 1
A
dx= lim lnśąln xźą#"2 =�ą" �! f śą xźądx-rozbieżna �! -rozbieżny
+" +" "
x ln x nln n
AŚą�ą"
n=2
2 2
Szereg naprzemienny
aną0 dla n"!.
Niech
"
Szereg śą-1źąn an nazywamy szeregiem naprzemiennym.
"
n=1
Twierdzenie (kryterium Leibniza)
Niech aną0 dla n"! ,
"
śąanźąn"!"Ś!
�! śą-1źąn an- zbieżny
"
}
n=1
lim an=0
n Śą"
- 11 -
Dowód
"
Niech śąSnźąn"!-ciąg sum cząstkowych szeregu śą-1źąn an. Rozważmy dwa podciągi
"
n=1
śąSnźąn"!: śąS2 nźąn"! i śąS2 n-1źąn"!.
ciągu
Ponieważ
S2 n=-a1�ąśąa2-a3źą�ąśąa4-a5źą�ą. . .�ąśąa2 n-2-a2 n-1źą�ą a
2 n
ą0
e"0 e"0 e"0
S2 ną-a1 .
zatem
Ponadto
S2 n�ą2-S2 n=a2 n�ą2-a2 n�ą1d"0 �! S2 n�ą2d"S2 n �! śąS2 nźąn"!"Ś! .
śąS2 nźąn"! jest zbieżny jako malejący i ograniczony od dołu, czyli
Stąd wynika, że ciąg
S2 n=S2 n-1�ąa2 n.
" lim S2 n=S . Nadto
n Śą"
Zatem
lim S2 n-1=lim śąS2 n-a2 nźą=S-0 =S .
n Śą" n Śą"
śąS2 nźąn"! i śąS2 n-1źąn"! wypełniają cały ciąg śąSnźąn"!
Ponieważ dwa rozłączne podciągi
i dążą do tej samej granicy, zatem
lim Sn=S
n Śą"
�ą
Przykład
"
1) śą-1źąn 1 -szereg anharmoniczny
"
n
n=1
an=1
n
"
1
"Ś!
�! śą-1źąn 1 -zbieżny na podstawie kryterium Leibniza
"
śą źą
n
n
n"!
n=1
}
1
lim =0
n
n Śą"
"
3-śą-1źąn
2) śą-1źąn
"
n
n=1
1 4
a2 n= , a2 n-1= �! a2 n"ąa2 n-1ąa2 n-2 �! śąanźąn"! "Ś!
n 2 n-1
"
3-śą-1źąn
Hipoteza: szereg śą-1źąn jest zbieżny.
"
n
n=1
"
Zauważmy, że śą-1źąn 3 jest zbieżny na podstawie kryterium Leibniza.
"
n
n=1
" "
3 3-śą-1źąn
Zatem różnica szeregów śą-1źąn i śą-1źąn jest szeregiem zbieżnym.
" "
n n
n=1 n=1
" "
3-śą-1źąn " śą-1źąn " 1
Jednakże śą-1źąn 3 - śą-1źąn = śą-1źąn = jest szeregiem
" " " "
n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
"
3-śą-1źąn
rozbieżnym, co daje sprzeczność. Stąd wynika rozbieżność szeregu śą-1źąn .
"
n
n=1
- 12 -
Uwaga
S-Sn d"an�ą1.
Jeśli szereg naprzemienny spełnia założenia kryterium Leibniza, to #" #"
Uzasadnienie:
S-Sn = śą-1źąn�ą1śąan�ą1-an�ą2�ąan�ą3-. . .źą = an�ą1-an�ą2�ąan�ą3-. . . d"an�ą1 ,
#" #" #" #" #" #"
ponieważ ciąg jest malejący.
A
ączność sumy szeregu zbieżnego
"
Pogrupujmy wyrazy szeregu an, np. :
"
n=1
"
an=śąa1�ąa2�ąa3źą�ąśąa4�ąa5źą�ąa6 �ąśąa7�ąa8�ą. . .źą
"
n=1 b1 b2 b3 b4
Twierdzenie
" " " "
Jeśli an-zbieżny �! bn- zbieżny '" bn= an .
" " " "
n=1 n=1 n=1 n=1
Uwaga
Własności tej nie ma szereg rozbieżny.
Przykład
"
śą-1źąn-szereg rozbieżny, jednak po przegrupowaniu wyrazów możemy otrzymać
"
n=1
szereg zbieżny (lub rozbieżny), np.:
śą-1�ą1źą�ąśą-1�ą1źą�ąśą-1�ą1źą�ą�ą=0�ą0�ą0�ą�ą=0 (szereg zbieżny)
-1�ąśą1-1źą�ąśą1-1źą�ą�ą=-1�ą0�ą0�ą�ą=-1 (szereg zbieżny)
"
śą-1�ą1-1źą�ąśą1-1�ą1źą�ą�ą= śą-1źąn- rozbieżny
"
n=1
Zmiana porządku wyrazów szeregu
śąnkźąk "! - ciąg, w którym każda liczba naturalna występuje dokładnie raz.
Niech
" "
Wtedy szeregi an i an różnią się tylko porządkiem wyrazów.
" "
k
n=1 k=1
Twierdzenie
" " " "
Jeżeli an- zbieżny bezwzględnie �! an -zbieżny bezwzględnie i an = an .
" " " "
k k
n=1 k=1 k=1 n=1
Uwaga
Własności tej nie ma szereg warunkowo zbieżny.
- 13 -
Przykład
" "
1
śą-1źąn�ą1 1 - zbieżny warunkowo (bo - rozbieżny)
" "
n n
n=1 n=1
"
1
Niech S := śą-1źąn�ą1 .
"
n
n=1
Zmieniamy porządek wyrazów szeregu:
"
?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
śą-1źąn�ą1 1 =1 - �ą - �ą - �ą -1 �ą - �ą - �ą �ą =
"
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
n=1
1 1 1
2 6 10
?
1 1 1 1 1 1- 1 1 1 1 1 1�ą 1 1
=śą1- źą- �ąśą - źą- �ąśą źą- �ą �ą = - �ą - - �ą �ą =
2 4 3 6 8 5 10 12 2 4 6 8 10 12
"
1 1 1 1 1- �ą źą= 1 1
= śą1 - �ą - �ą śą-1źąn�ą1 1 = S
"
2 2 3 4 5 2 n 2
n=1
?
Zatem znak należy zastąpić znakiem `" .
=
Twierdzenie Riemanna
W szeregu warunkowo zbieżnym można zmienić porządek wyrazów tak, by nowy szereg
był zbieżny do dowolnej wcześniej zadanej sumy, bądz
tak, żeby był rozbieżny.
- 14 -