Mathematik-Lexikon HM2002
Abszisse
Die x-Koordinate eines Punktes
-> Ordinate
Aufstellen von Funktionstermen
Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades:
Å‚
(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0
Zur Festlegung dieses Terms sind n+1 voneinander unabhängige Gleichungen notwendig.
Im folgenden werden einige Aussagen angegeben und in einer mathematischen Gleichung
formuliert:
1. "Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse"
=> die Koeffizienten aller ungeraden Potenzen von x sind Null
"Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung"
=> die Koeffizienten aller geraden Potenzen von x sind Null
2. "Der Graph besitzt an der Stelle x0 die Steigung m"
=> f'(x0) = m
"Der Graph besitzt an der Stelle x0 eine waagrechte Tangente"
=> m = 0 => f'(x0) = 0
"Der Graph schließt mit der x-Achse einen Winkel Ä„ ein"
=> m = tanĄ => f'(x0 ) = tan Ą
3. "Die Tangente an den Graphen an der Stelle x0 ist parallel zur Tangente an den Graphen der
Funktion g an der Stelle x0 . "
=> f'(x0) = g'(x0)
4. "Der Graph der Funktion f berührt an der Stelle x0 den Graphen der Funktion g "
=> f(x0) = g(x0 ) und f'(x0) = g'(x0)
5. "Der Graph der Funktion f berührt an der Stelle x0 die x-Achse"
oder
"... hat an der Stelle x0 eine doppelte Nullstelle"
=> f(x0) = 0 und f'(x0) = 0
6. "Der Graph besitzt im Punkt E(x0 ;y0 ) einen Extrempunkt"
=> f(x0) = y0 und f'(x0) = 0
7. "Der Graph besitzt im Punkt W(x0 ;y0 ) einen Wendepunkt"
=> f(x0) = y0 und f''(x0) = 0
8. "Der Graph besitzt im Punkt T(x0 ;y0 ) einen Terassenpunkt"
=> f(x0) = y0 und f'(x0) = 0 und f''(x0) = 0
9. "Der Graph der Funktion f schließt mit der x-Achse und den Geraden x=a und x=b eine Fläche
mit dem Inhalt z FE ein"
(In (a;b) sei keine Nullstelle und Graph oberhalb der x-Achse)
b
f(x)dx = z
+"
a
Berührpunkt
Gemeinsamer Punkt der Graphen zweier Funktionen f und g; zusätzlich dort gleiche Steigung der
Tangenten:
f(x0) = g(x0) und f '(x0) = g'(x0)
oder: Die Gleichung f(x0) = g(x0) hat zwei zusammenfallende Lösungen.
-> Schnittpunkt
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x0, wenn
1. f in einer Umgebung von x0 definiert ist
2. der Differentialquotient
f(x) - f (x0 )
lim
x - x0
xx0
existiert.
Extrempunkte
(vgl. FS S.63)
Flächeninhalt
(vgl. FS S.68)
Dreieck: A = 1/2·Grundlinie·Höhe
Viereck: A = Länge·Breite
Kreis : A = (Radius)2·Ä„
Umfang Rechteck: U = 2·(Länge + Breite)
Umfang Kreis : U = 2·Radius·Ä„
Ganzrationale Funktion
Eine Funktion der Form
Å‚
(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0
mit ai " R und an `" 0
heißt ganzrationale Funktion vom Grade n.
Bsp: f(x) = 4·x5 + 1/2·x4 + 3x - Ä„
Gerade
Der Graph einer Funktion der Form
f(x) = m·x + t
ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt t.
Sonderfälle: x = a Gerade parallel zur y-Achse im Abstand a
y = a Gerade parallel zur x-Achse im Abstand a
Gleichungen
1) ax + b = 0 => x = -b/a
2) ax2 + bx + c = 0 ; D = b2 - 4ac
D > 0 : Es existieren genau zwei Lösungen
-b Ä… D
x12 =
,
2a
D = 0 : Es existiert genau eine Lösung
-b
x1 =
2a
D < 0 : Es existiert keine reelle Lösung
ax3 + bx2 + cx = 0
3a)
x(ax2 + bx + c) = 0 Ò! x1 = 0 x2,3 = (siehe 2)
3b) ax3 + bx2 + cx + d = 0
durch probieren x1
dann Polynomdivision mit (x - x1)
weiter bei 2)
ax4 + bx2 + c = 0 Substitution : x2 = z Ò! az2 + bz + c = 0
4) Lösen mit 2) liefert z1,2
Ist zi e" 0 Ò! x = Ä… zi
Koordinaten
-> Abszisse, -> Ordinate
Krümmungsverhalten
(vgl. FS S.63/64)
Monotonieverhalten
(vgl. FS S.63 'Steigen und Fallen')
Normale
Eine Gerade n, die in einem Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden g liegt.
Für die Steigungen gilt: mn ·mg = -1
1
Normalengleichung: y = f (x0 ) - Å" (x - x0 )
f '(x0 )
-> Tangente
Nullstellen
Bedingung: f(x0) = 0 (Lösung: -> Gleichungen)
1) Nullstelle 1. Ordnung: Graph schneidet die x-Achse
2) Nullstelle 2. Ordnung: Graph berührt die x-Achse (Extrempunkt)
3) Nullstelle 3. Ordnung: Graph durchdringt die x-Achse mit
horizontaler Tangente (Terassenpunkt)
Ordinate
die y-Koordinate eines Punktes
Parabel
Graph der ganzrationalen Funktion 2. Grades:
f(x) = ax2 + bx + c
Scheitelform: f(x) = a·(x - xs)2 + yS
- b
mit xS = x-Scheitelkoordinate
2a
ys = f(xS) y-Scheitelkoordinate
Der Parameter a bestimmt die Form:
a>0 => Graph nach oben geöffnet
a<0 => Graph nach unten geöffnet
|a| = 1 => Normalparabel
|a| > 1 => Graph gestreckt
|a| < 1 => Graph gestaucht
Parameter
Formvariable in einem Funktionsterm, etwa
f(x) = ax3 + bx2 mit a,b als Parameter
Quadranten
II. | I.
       
III. | IV.
Scheitelpunkt
-> Parabel
Schnittpunkt
Gemeinsamer Punkt zweier Graphen von Funktionen.
Bedingung: f(x0) = g(x0) (Lösung: -> Gleichungen)
-> Berührpunkt
Stammfunktion
Jede Funktion F, die die Bedingung F'(x) = f(x) erfüllt, heißt Stammfunktion von f.
(vgl. FS S.65)
Stetigkeit
(vgl. FS S.56)
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse: für alle x " D gilt: f(-x) = f(x)
oder: alle Exponenten von x sind gerade
Punktsymmetrie zum Ursprung: für alle x " D gilt: f(-x) = - f(x)
oder: alle Exponenten von x sind ungerade
Merke: Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.
Steigung
(vgl. FS S.40,47,58)
-> Gerade
Tangente
Berührgerade eines Graphen im Punkt ( x0 ; f(x0) )
Gleichung: y = f(x0) + f'(x0)·(x - x0)
-> Normale
Terassenpunkt
Ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente.
Bedingungen: f'(x0) = 0 und f''(x0) = 0 und f'''(x0) <> 0
Wendepunkt
(vgl. FS S.64)
Wendetangente
Tangente in einem Wendepunkt
Notizen