Pochodn.
funkcj.


Wykaa.
n.
1.
(Inynieri.
sanitarna.


•
Podstawow.
pojÅšci.
•
Twierdzeni.
.
pochodne.
funkcj.
•
Róniczk.
funkcj.

Denicj.
1.
(przyros.
zmienne.
.
przyros.
funkcji.
Rónic.


x
-
x0
=:
4x


nazywam.
przyroste.
zmienne.
rzeczywiste.
x.
.
odpowiadaj!c.
przyrostow.
4x
przyros.


4f
=
f(x)
-
f(x0)
nazywam.
przyroste.
funkcj.
f.


Denicj.
2.
(ilora.
rónicowy.
Ilora.
przyrostó.


4ff(x)
-
f(x0)
=


4xx
-
x0
nazywam.
iloraze.
rónicowy.
funkcj.
f.
Denicj.
3.
(pochodn.
funkcj.
.
punkcie.
Pochodn.
funkcj.
f
.
punkci.
x0
nazywam.
granic.
iloraz.
rónicoweg.
prz.
x
›
x0.
tzn.


4ff(x)
-
f(x0)
lim
=
lim
.


x!x0
4x
x!x0
x
-
x0


Jeel.
granic.
tak.
ni.
istnieje.
t.
funkcj.
.
ty.
punkci.
ni.
m.
pochodnej.
Pochodn.
funkcj.
y
=
f(x)
oznaczamy.


.
dy
df(x)
y,
f0(x),,
,yÿ

dxdx


Pierwsz.
dw.
symbol.
wprowadzi.
Lagrange1.
trzec.
.
czwart.
symbo.
.
Leibniz2.
ostatn.
stosowan.
.
mechanic.
.
Newton3.


Uwag.
1.
Pochodn.
funkcj.
.
punkci.
x0
jes.
równ.
tangensow.
k!t.
.
któr.
tworz.
styczn.
d.
wykres.
funkcj.
.
punkci.
x0
.
dodatni.
czŚąci.
os.
OX.


Uwag.
2.
Odnajdywani.
pochodne.
funkcj.
nazyw.
si.
róniczkowanie.
funkcji.
Dzia.
matematyk.
traktuj!c.
.
pochodnych.
ic.
waasnoÄ…ciac.
.
zastosowa.
niac.
nazywam.
rachunkie.
róniczkowym.


Denicj.
4.
(funkcj.
róniczkowaln.
.
punkcie.
Funkcj.
f
nazywam.
róniczkowaln.
.
punkci.
x0.
jeel.
istniej.
pochodn.
funkcj.
f0(x0)
.
punkci.
x0.


1Josep.
Loui.
d.
Lagrang.
(1736-1813.
.
matematy.
francuski.
2Gottfrie.
Wilhel.
vo.
Leibni.
(1646-1716.
.
lozo.
.
matematy.
niemieck.
3Isaa.
Newto.
(1642-1727.
.
zyk.
astrono.
.
matematy.
angielsk.


.



Denicj.
5.
(funkcj.
róniczkowaln.
n.
zbiorze.
FunkcjÅš.
któr.
jes.
róniczkowaln.
.
kady.
punkci.
zbior.
nazywam.
funkcj.
róniczkowaln.
n.
ty.
zbiorze.


.wiczeni.
1.
Wyznac.
pochodn.
podanyc.
funkcji.
a.
y
=
x.
b.
y
=
x2.
c.
y
=
x3.
d.
y
=
sin
x.
e.
y
=
ex.


Pochodn.
waniejszyc.
funkcj.
elementarnyc.


1.
(c).
=0.
c
.
R
2.
(xa).
=
axa-1.
x>
0.
a
.
R
3.
(sin
x).
=
cos
x
4.
(cos
x).
=
-
sin
x


1


5.
(tgx).
=
.
cos
x
=0
6

2

cosx


.
-1


6.
(ctgx)=
.
sin
x
=0
6

sin2
x


1


7.
(arcsin
x).
=
.
.
-1
1.
-.
2
.
arcsin
x
.
.
21
-
x2
.
-1


8.
(arccos
x)=
.
.
-1
1.
0
.
arccos
x
.
.


1
-
x2
1


.
-

9.
(arctgx)=
2
.
2
<
arctgx<
2

1+
x
10.
(arcctgx).
=
-1
.
0
<
arcctgx<.


1+
x2


x).
x

11.
(e=
e
12.
(ax)=
ax
ln
x.
a>
0
1


13.
(ln
|x|).
=
.
x
=0
6

x


1


14.
(log|x|).
.
66

=
a>
0.
a
=1.
x
=0


a
x
ln
a


Twierdzeni.
1.
.
.
pochodne.
sumy.
rónicy.
iloczyn.
.
ilorazu.
Jeel.
funkcj.
f
.
g
maj.
pochodn.
.
punkci.
x.
t.
1.
(c
·
f(x)).
=
c
·
f0(x).
gdzi.
c
.
R.
2.
(f(x)
Ä…
g(x)).
=
f0(x)
Ä…
g0(x).
3.
(f(x)
·
g(x)).
=
f0(x)g(x)+
f(x)g0(x).


f(x)
f0(x)g(x)
-
f(x)g0(x)

4.
=
2
6

.
.
il.
g(x)=0.


g(x)[g(x)]

.



.wiczeni.
2.
Obliczy.
pochodn.
podanyc.
funkcji.


2
.


a.
f(x)=
x5
+4x3
-
6x2
-
+
x.


x
b.
g(x)=
x2
ln
x.


x

e

c.
h(x)=
.


sin
x
x2
-
1


d.
s(x)=
.


x2
+1


Twierdzeni.
2.
.
.
pochodne.
funkcj.
zaoonej.
Jeel.
1.
funkcj.
f
m.
pochodn.
.
punkci.
x.
2.
funkcj.
g
m.
pochodn.
.
punkci.
f(x).
t.


[g(f(x))].
=
g
0(f(x))
·
f0(x).


.wiczeni.
3.
Obliczy.
pochodn.
podanyc.
funkcji.
a.
f(x)
=
cos3
x.
b.
g(x)
=
(3x2
+2x
-
10)4.
c.
h(x)=
esin2
x.


1


d.
s(x)=
.
.


cos3
x3
-
1


.wiczeni.
4.
Obliczy.
pochodn.
podanyc.
funkcji.


a.
f(x)=
xx2
.
sin
x.

b.
g(x)=
x
.wiczeni.
5.
Rop.
.
uszkodzoneg.
tankowc.
wyciek.
z.
staa.
prÅšdkoÄ…ci.
V
=
10
m3
.
tworz.
plam.
koaow.
.
gruboÄ…c.
d
=2mm.
Obliczyc.
.
jak.


min


prÅšdkoÄ…ci.
bÅšdzi.
powiÅškszaa.
si.
Ä…rednic.
plam.
rop.
.
chwili.
gd.
bÅšdzi.
miaa.
Ä…rednic.
D
=
1000m.


.wiczeni.
6.
D.
czasz.
.
ksztaaci.
póakul.
.
promieni.
R
=
20cm
wlew.
si.
jednostajni.
wod.
.
prÅšdkoÄ…ci.
V
=
100cm3
.
Obliczy.
prÅšdkoÄ…c.
.
jak.
bÅšdzi.


sek


podnosi.
si.
pozio.
wod.
h
.
czasz.
n.
pocz!tk.
.
po.
konie.
napeaniania.
(Przypomnijmy.
.
objÅštoÄ….
odcink.
kul.
wyra.
si.
wzorem.
V
=
13
h2(3R
-
h).


Twierdzeni.
3.
.
równani.
styczne.
d.
wykres.
funkcji.
Równani.
styczne.
d.
wykres.
funkcj.
f
.
punkci.
(x0,f(x0))
jes.
postaci.


y
-
f(x0)=
f0(x0)(x
-
x0).


.



.wiczeni.
7.
Napisa.
równani.
stycznyc.
d.
wykresó.
podanyc.
funkcj.
w.
wskazanyc.
punktach.
a.
f(x)=
ex.
(0,
1).
b.
g(x)
=
sin
x.
(,
0).


.wiczeni.
8.
Dan.
s.
punkt.
A
=
(2,
-1)
ora.
B
=
(4,
3).
N.
wykresi.
funkcj.
y
=
x2
+1
znale1.
punk.
C
taki.
ab.
pol.
trójk!t.
ABC
bya.
naj.
mniejsze.


1


.wiczeni.
9.
N.
krzywe.
bÅšd!ce.
wykrese.
funkcj.
y
=
znale1.
punk.


x
+1


maj!c.
waasnoÄ…c.
.
odcine.
styczne.
poprowadzone.
.
ty.
punkci.
tworz.
.
osiam.
ukaad.
wspóarzŚdnyc.
trójk!.
.
pol.
S
=2.


Denicj.
6.
(róniczk.
funkcji.
Róniczk.
funkcj.
f
.
punkci.
x0
nazywam.
funkcj.
df
zmienne.
4x
=
x-x0
okreÄ…lon.
wzorem.


df(4x)
:=
f0(x0)4x.


Twierdzeni.
4.
.
zastosowani.
róniczk.
d.
oblicze.
przyblionych.
Jeel.
funkcj.
f
m.
pochodn.
.
punkci.
x0.
t.


f(x0
+
4x)
.
f(x0)+
f0(x0)4x.


Prz.
czy.
ba!d.
jak.
popeaniam.
zastÅšpuj!.
przyros.
funkcj.
f


4f
=
f(x0
+
4x)
-
f(x0)


je.
róniczk.
df
=
f0(x0)4x.
d!.
szybcie.
d.
zer.
ni.
przyros.
zmienne.
x.
tzn.


4f
-
df
lim
=0.


4x!0
4x


.wiczeni.
10.
Obliczy.
przyblion.
wartoÄ…c.
funkcji.


.


a.
4
15.96
b.
arctan
1.05
-0.001


c.
ed.
ln
1.004.


.wiczeni.
11.
SzeÄ…cienn.
kostk.
lod.
m.
objÅštoÄ….
V
=8cm3.
Obliczy.
.


3

przyblieniu.
.
il.
zmniejszya.
si.
krawÅšd.
kostki.
jeel.
stopia.
si.
0.3cmlodu.


.wiczeni.
12.
Koa.
m.
Ä…rednic.
równ.
2m.
Obliczy.
.
przyblieniu.
ja.
zmien.
si.
pol.
koaa.
jeel.
jeg.
Ä…rednic.
wzroÄ…ni.
.
3cm.


.



Twierdzeni.
5.
.
zastosowani.
róniczk.
funkcj.
d.
szacowani.
baÅšd.
po.
miaru.
Niec.
wielkoÄ…c.
zyczn.
x
.
y
bÅšd.
zwi!zan.
zalenoÄ…ci.
y
=
f(x).
Zaaómy.
.
istniej.
pochodn.
f0(x0).
gdzi.
x0
jes.
wynikie.
pomiar.
wielkoÄ…c.
x.
Pon.
adt.
niec.
4x
oznacz.
ba!.
bezwzglÅšdn.
pomiar.
wielkoÄ…c.
x.
Wted.
ba!.
bezwzglÅšdn.
4y
obliczane.
wielkoÄ…c.
y
wyra.
si.
wzore.
przyblionym.


4y
|f0(x0)|4x.


.wiczeni.
13.
KrawÅšd.
szeÄ…cianu.
zmierzon.
.
dokaadnoÄ…ci.
Ä…1mm.
m.
daugoÄ….
65mm.
.
jak.
dokaadnoÄ…ci.
mon.
obliczy.
pol.
powierzchn.
teg.
szeÄ…cianu.


.wiczeni.
14.
Cza.
.
bieg.
n.
100m
mierz.
si.
.
dokaadnoÄ…ci.
0.01sek.
Zawodni.
uzyska.
cza.
10.00sek.
.
jak.
dokaadnoÄ…ci.
mon.
obliczy.
Ä…redni.
prÅšdkoÄ….
teg.
zawodnika.


Denicj.
7.
(pochodn.
wyszyc.
rzŚdów.
Drug.
pochodn.
funkcj.
y
=
f(x)
nazywam.
pochodn.
pierwsze.
pochod.
nej,tzn.


f00(x)=
f0(x)
,


podobni.
trzeci.
pochodn.
funkcj.
y
=
f(x)
nazywam.
pochodn.
drugie.
pochodnej.
itd.


f000(x)=
f00(x)


,


f(4)(x)=
f000(x)


,


f(n-1)(x)

f(n)(x)=
.


Pochodn.
wyszyc.
rzŚdó.
funkcj.
y
=
f(x)
oznaczam.
równie.
symbolami.
d2f(x)
d3f(x)
...


,y¨.
,y
.
itd.


dx2
dx3


.wiczeni.
15.
Obliczy.
pochodn.
f0,f00,f00.
podanyc.
funkcji.
a.
f(x)=
ex2
.
b.
g(x)=
x
ln
x.
c.
h(x)
=
sin3
x.


.