Wydział Czwartek/ 16:00-19:00 Nr zespołu:
FIZYKI 8
Ocena z Ocena ze Ocena
przygotowania sprawozdania: końcowa:
1. Karolina Kominek
ProwadzÄ…cy: Podpis prowadzÄ…cego
Filip Sala
SPRAWOZDANIE Z ĆW. Nr 25
REZONANS ELEKTRYCZNY
1. Wstęp
Drgania harmoniczne są ruchem ciała, na które działa siła sprężysta Fs zależna od położenia,
skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia sprężyny:
F śąt źą=-kxśątźą
s
Ruchom harmonicznym towarzyszy zjawisku rezonansu elektrycznego. Jest to zjawisko
zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie
drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.
W tym ćwiczeniu zajmiemy się rezonansem elektrycznym. Będzie on oznaczał wzrost amplitudy
napięcia lub prądu w obwodzie pod wpływem prądu zewnętrznego o odpowiedniej częstotliwości.
Przesunięcie fazowe sygnału prądu względem sygnału napięcia generatora.
Wyjściowym prawem jest I Prawo Kirchhoffa. Dla obwodu RLC przyjmie ono postać:
dI
ÏÄ…eśąi ÎÄ… tźą=Q ƒÄ… IRƒÄ… L
C dt
Gdzie: µ  siÅ‚a elektromotoryczna.
Q  Å‚adunek na kondensatorze C,
dQ
I =
dt
dQ
I =
Następnym krokiem jest podzielenie przez L oraz podstawienie:
dt
Otrzymujemy:
Q Q R dQ eśąi ÎÄ…t źą
2
ƒÄ…d ƒÄ… =ÏÄ…0
LC
dt2 L dt L
Powstałe równanie różniczkowe jest trudne do analitycznego policzenia, jednak można rozwiązać je
Q=Q0 eśąi ÎÄ…t źą
poprzez przewidzenie poprawnej odpowiedzi, czyli:
Q
2
d =-Q0ÎÄ…2 eśąi ÎÄ…t źą
dt2
LiczÄ…c kolejne pochodnie i podstawiajÄ…c otrzymujemy:
eśąi ÎÄ…t źą R eśąi ÎÄ…t źą
Q0 -Q0 ÎÄ…2 eśąi ÎÄ…t źąƒÄ… Q0i ÎÄ…eśąi ÎÄ… t źą=ÏÄ…0
LC L L
Z powyższego równania wyznaczamy Q
0
µ eiÉ t
0
Q0 =
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
ìÅ‚ - LÉ - R2É
÷Å‚
C
íÅ‚ Å‚Å‚
Jak zauważono wcześniej: I=dQ/dt. Zatem obliczamy różniczkę dQ:
µ iÉ eiÉ t
0
I =
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
ìÅ‚ - LÉ - R2É
÷Å‚
C
íÅ‚ Å‚Å‚
A to jest równe:
µ cos(É t - Õ )
0
I =
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ - É L + R2
÷Å‚
É C
íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ ,
U = I Å" R
więc
Rµ0
U =
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚ - ÉL + R
÷Å‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
oraz:
Rµ cos(Ét - Õ )
0
U =
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ - ÉL + R2
÷Å‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
Gdzie mianownikiem tego równania jest wartość bezwzględna zawady układu.
"Õ = Ét - Õ
tgĆ=! śą zźą !śą zźą
Z kolei toteż przesunięcie fazowe , wynikające z powyższych związków, będzie:
Gdy uwzglÄ™dnimy É = 2Ä„f:
1
ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„fL
ìÅ‚ - ÷Å‚
2Ä„fC
÷Å‚
" Õ ( f ) = arctgìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zjawisko przepięcia
ëÅ‚ 1 öÅ‚
É L
ìÅ‚ - ÷Å‚
ÉC
ìÅ‚ ÷Å‚
"Õ = arctg
ìÅ‚ R ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przepięcie następuje wtedy, gdy napięcie na indukcyjności i pojemności są sobie równe i większe od
napięcia zasilającego na zaciskach układu. Jeśli rezystancja obwodu rezonansowego jest mała, to
dobroć układu jest duża i napięcie na elementach reaktancyjnych znacznie przekracza napięcie
zasilajÄ…ce obwód. Warunek zjawiska dany jest wzorem , gdzie Éo to czÄ™stotliwość rezonansowa
obwodu, która na podstawie powyższego warunku jest równa .
1
Éo L - = 0
ÉoC
1
Éo =
LC
Napięcie na cewce od częstotliwości dla układu szeregowego.
Impedancja układu szeregowego jest sumą impedancji kondensatora, indukcyjności i opornika:
1
Z = ƒÄ…iÉLƒÄ…Rc
śąiÉCźą
Gdzie: RC  suma rezystancji cewki RL, rezystancji generatora RG i rezystancji opornika R.
Impedancja zapisana jest w postaci liczby zespolonej. Z poprzedniego wyprowadzenia wiemy,
2
że modułem powyższej impedancji jest: 1
Z = śą R2ƒÄ…śąÉL- źą źą
ÉC
ćą
U
G
I =
Natężenie prądu płynącego przez obwód rezonansowy wynosi: , gdzie UG  napięcie
Z
generatora.
U
G
IÉ=
Po podstawieniu Z otrzymujemy:
Z
U = I śąÉźą Zind=I śąśąÎÄ… Lźą2ƒÄ…śą RƒÄ…RLźąźą
ćą
L ÎÄ…
Zatem napięcie na cewce będzie wynosić: ,
Gdzie Zind  impedancja wynikająca z indukcyjności cewki.
Dobroć układu.
Dobroć Q- wielkość charakteryzująca ilościowo układ rezonansowy. Określa, ile razy amplituda
wymuszonych drgań rezonansowych jest większa niż analogiczna amplituda w obszarze częstości
nierezonansowych. Dobroć wyraża się wzorem:
Wd
Q = 2Ä„
Ws
gdzie Wd  energia drgań, a Ws  energia tracona w jednym okresie drgania.
W celach badawczych zostaną użyte trzy metody wyliczania dobroci danego układu.
f
0
Q=
a) Pierwszą metodą jest wyliczenie dobroci na podstawie szerokości połówkowej:
"f
1
2
Aby obliczyć dobroć układu należy policzyć napięcie skuteczne obwodu (Umax) i dokonać różnicy
częstotliwości, które przyjmują skuteczną wartość napięcia.
b) Metoda druga opiera się na zjawisku przepięcia. Tak policzona dobroć wyraża się wzorem:
U
Lmax
Q=
UG (jego wyprowadzenie znajduje się wcześniej).
c) Kolejną metodą jest wyznaczenie jej na podstawie teorii. Służy ku temu wzór:
ÉwÅ‚asne śąÉ0 Lźą
Q= H"
“ R.
2. Układ pomiarowy.
Układ pomiarowy został przedstawiony na poniższym schemacie (rys. 3.1).
Utworzony jest z rezystora o oporze R, kondensatora o rezystancji RC napięciu UC, cewki o
indukcyjności L , napięciu UL i oporze RL oraz z generatora prądu przemiennego o napięciu
UG i oporze RG. Napięcie prądu mierzone było miernikiem analogowym, zaś częstotliwość
odczytywano z miernika cyfrowego. W tabeli 3.1 zamieszczono wszystkie parametry użytych
elementów wraz z niepewnościami.
Rys. 2.1. Schemat układu pomiarowego.
Tab. 2.1. Parametry elementów układu pomiarowego wraz z niepewnościami.
Element obwodu Parametr Symbol Wartość
opór R [ohm] 10
Rezystor
błąd oporu dR [ohm] 1
pojemność C [F] 1E-008
Kondensator błąd pojemności DC [F] 5E-010
napięcie kondensatora U [V] 500
C
indukcyjność L [H] 0,091
błąd indukcyjności DL [H] 0,001
opór zwojnicy R [ohm] 230
L
Zwojnica błąd oporu dR [ohm] 1
L
napięcie na zwojnicy U [V] 14,5
L
błąd napięcia dU [V] 0,2
L
zakres napięcia zwojnicy U [V] 15
Lzakres
napięcie na generatorze U [V] 1,4
G
błąd napięcia dU [V] 0,02
G
Generator
opór na generatorze R [ohm] 50
G
błąd oporu dR [ohm] 1
G
opór całkowity (R+RL+RG) [ohm] R [ohm] 290
C
Błąd względny [Hz] "f [Hz] 1%
Miernik częstotliwości
BÅ‚Ä…d kwantowania + 1dgt
Klasa przyrzÄ…du 1,50%
Woltomierz (analogowy)
Zakres 50 mV
3.Analiza wyników i niepewności.
W pierwszej części ćwiczenia należało zmierzyć częstotliwości prądu płynącego przez
obwód przy wzrastającym co 5 mV napięciu. Poniższa tabela przedstawia zmierzone pomiary
i obliczone wartości pośrednie oraz niepewności.
Częstotliwość była mierzona miernikiem cyfrowym, dlatego też jej błąd obliczamy ze wzoru:
"f =wartość"bÅ‚Ä…d wzglÄ™dnyƒÄ…bÅ‚Ä…d kwantowania ,
gdzie w tym przypadku błędemkwantowania jest 0,01 .
Niepewność napięcia (mierzonego przyrządem analogowym) uzyskano ze wzoru:
"U =klasa przyrzÄ…du"zakres=0,0015"50 mV
Błąd natężenia został obliczony z różniczki zupełnej:
1 U
" I = "U ƒÄ… " R
R
R2
Tab. 3.1. Wyniki pomiarów i obliczeń dla pierwszej części ćwiczenia.
Częstotliwość [kHz] błąd częstotliwości [kHz] Napięcie [mV] Niepewność Natężenie: U/R Błąd natężenia
napięcia [mV] [mA] [mA]
3,4 0,044 5 0,75 0,5 0,0751
4,2 0,052 10 0,75 1 0,0751
4,55 0,056 15 0,75 1,5 0,0752
4,7 0,057 20 0,75 2 0,0752
4,88 0,059 25 0,75 2,5 0,0753
4,97 0,060 30 0,75 3 0,0753
5,04 0,060 35 0,75 3,5 0,0754
5,11 0,061 40 0,75 4 0,0754
5,17 0,062 45 0,75 4,5 0,0755
5,29 0,063 50 0,75 5 0,0755
5,42 0,064 45 0,75 4,5 0,0755
5,49 0,065 40 0,75 4 0,0754
5,56 0,066 35 0,75 3,5 0,0754
5,65 0,067 30 0,75 3 0,0753
5,76 0,068 25 0,75 2,5 0,0753
5,91 0,069 20 0,75 2 0,0752
6,16 0,072 15 0,75 1,5 0,0752
6,68 0,077 10 0,75 1 0,0751
8,27 0,093 5 0,75 0,5 0,0751
Druga część ćwiczenia polegała na odczycie z oscyloskopu kolejnych przesunięć fazowych dla
zmieniającej się częstotliwości. W pobliżu częstotliwości rezonansowej obwodu przesunięcie fazowe
było najmniejsze (gdy osiągało tą częstotliwość przesunięcie wynosiło zero).
Poniższa tabela przedstawia przesunięcia fazowe dla różnych częstotliwości wraz z wyliczonym
przesunięciem teoretycznym.
Tab. 3.2. Przesunięcia fazowe doświadczalne i teoretyczne.
Częstotliwość Niepewność Przesunięcie Teoretyczne przesunięcie
[kHz] częstotliwości [kHz] fazowe "Ć fazowe "Ć
10,53 0,12 1,63 1,51
8,94 0,10 1,63 1,48
7,35 0,08 1,57 1,43
6,90 0,08 1,51 1,40
6,73 0,08 1,45 1,38
6,20 0,07 1,26 1,28
5,92 0,07 1,13 1,18
5,79 0,07 0,82 1,09
5,66 0,07 0,69 0,97
5,40 0,06 0,19 0,45
5,17 0,06 -0,63 -0,40
4,90 0,06 -1,13 -0,99
4,68 0,06 -1,32 -1,19
4,44 0,05 -1,38 -1,30
4,24 0,05 -1,45 -1,36
3,97 0,05 -1,38 -1,41
Częstotliwość Niepewność Przesunięcie Teoretyczne przesunięcie
[kHz] częstotliwości [kHz] fazowe "Ć fazowe "Ć
3,50 0,05 -1,82 -1,46
3,36 0,04 -1,82 -1,47
3,07 0,04 -1,88 -1,49
2,72 0,04 -1,95 -1,50
Przesunięcie fazowe było odczytywane na ekranie oscyloskopu jako wielokrotność okresu 2Ą; w
związku z tym niepewność "Ć wynika z podziałki i wynosi 150Ą = 0,063.
Obliczanie dobroci układu.
Sposoby liczenia dobroci opisane sÄ… w zarysie teoretycznym:
f
0
Q=
1. Na podstawie szerokości połówkowej
"f
1
2
f = 5,29 kHz
0
U = 35 V  odpowiadające temu częstotliwości f = 5,04 kHz i f = 5,56 kHz
max 1 2
"f =f =0,52 kHz
1/2 2-f
1
Q=10,17
ëÅ‚ öÅ‚
" f0 " (" f1/2)÷Å‚ 0,06 0,19
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
" Q = Q = Å" Å"10,17 = 0,0421H" 0,04
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
f0 " f1/2 ÷Å‚ íÅ‚ 5,29 0,52Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymana tą metodą dobroć jest równa: Q= 10,17ą0,04
U
Lmax
Q=
2. Na podstawie zjawiska przepięcia:
UG
Q=5"10-32"3,14"5920"0,0912ƒÄ…10ƒÄ…23021,4=10,836
Niepewność:
ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
" f " L " R " RL " Ug öÅ‚ ìÅ‚ 63 10- 3 1 1 0,02÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
" Q = + + + + Q = + + + + Å"10,836 = 1,4
÷Å‚
ìÅ‚
f L R RL Ug ÷Å‚ ìÅ‚ 5290 0,091 10 230 1,4
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem: Q= 10,8Ä…1,4
ÉwÅ‚asne śąÉ0 Lźą
3.Na podstawie teorii: Q= H"
“ R.
Q=2"3,14"5,29"0,091290=10,4
Zatem dobroć wynosi: Q= 10,4ą0,4
4. Wnioski.
Na podstawie przeprowadzonych pomiarów i po dokonaniu analizy wyników można
stwierdzić, że osiągnięte rezultaty w dużym stopniu pokrywają się z teorią. Widać to po wykresie
pierwszym (I(f)), jednak już w wykresie drugim widzimy większe rozbieżności.
Obliczona trzema metodami dobroć za każdym razem mieści się w granicach błędu, co jeszcze
bardziej potwierdza pomyślność przeprowadzonych pomiarów.
Ewentualne błędy mogły wynikać ze stanu urządzeń pomiarowych a także z umiejętności
przeprowadzajÄ…cego eksperyment.