Wykład dziewiąty
Całki niewłaściwe
Całka niewłaściwa I rodzaju
Zał. a " R  ustalona liczba rzeczywista, f  funkcja R  całkowalna na każdym przedziale
a; T , T > a.
Def. Całką niewłaściwą I rodzaju funkcji f na przedziale a : +") nazywamy granicę
+"
T
ozn
=
lim f(x)dx f(x)dx
T +"
a a
+"

Całka niewłaściwa f(x)dx jest zbieżna, jeśli powyższa granica jest właściwa. Jest rozbieżna
a
w pozostałych przypadkach.
Zał. a " R  ustalona liczba rzeczywista; funkcja f jest R  całkowalna na każdym przedziale
T ; a , T < a. Wówczas można określić całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (-"; a :
a a
df
=
f(x)dx lim f(x)dx
T -"
-"
T
Zał. Funkcja f jest R  całkowalna na każdym przedziale ograniczonym na prostej R. Wówczas
+" +"
a
df
=
f(x)dx f(x)dx + f(x)dx
-" -" a
gdzie a jest dowolnie ustalonÄ… liczbÄ… rzeczywistÄ….
+" +"
a
Uwaga 1. CaÅ‚ka f(x)dx jest zbieżna Ô! zbieżne sÄ… caÅ‚ki f(x)dx i f(x)dx, niezależnie
-" -" a
od siebie.
Tw.1.(kryterium porównawcze) Jeżeli funkcje f i h sa określone na przedziale a : +"), R 
całkowalne na każdym przedziale a : T , T > a oraz 0 f(x) h(x) dla każdego x " a : +"),
to
+" +"

1. jeżeli całka h(x)dx jest zbieżna, to całka f(x)dx jest zbieżna.
a a
+"

+"
2. jeżeli całka f(x)dx jest rozbieżna, to całka h(x)dx jest rozbieżna.
a
a
Twierdzenie 1. pozostaje prawdziwe dla przedziałów (-"; a .
1
Całka niewłaściwa II rodzaju
Zał. Funkcja f jest określona w przedziale a; b), gdzie a < b " R, zmienia się w sposób nie-
ograniczony w lewostronnym sąsiedztwie punktu b i jest R  całkowalna w każdym przedziale
a; b - , 0 < < b - a.
Def. Całką niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale a; b nazywamy granicę
b-
b
ozn
=
lim f(x)dx f(x)dx
0+
a a
Zał. Funkcja f jest określona w przedziale (a; b , gdzie a < b " R, zmienia się w sposób nie-
ograniczony w prawostronnym sąsiedztwie punktu a i jest R  całkowalna w każdym przedziale
a + ; b , 0 < < b - a.
Def. Całkę niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale a; b nazywamy granicę
b b
ozn
=
lim f(x)dx f(x)dx
0+
a
a+
Pojęcia zbieżności oraz rozbieżności dla całek II rodzaju definiujemy analogicznie jak dla całek
I rodzaju.
1
dx
Uwaga 2. jest zbieżna Ô! Ä… < 1.
xÄ…
0
Uwaga 3. Jeżeli istnieją całki niewłaściwe II rodzaju funkcji f na przedziałach a; c oraz c; b ,
to istnieje całka niewłaściwa II rodzaju funkcji f na przedziale a; b i zachodzi równość
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx
a a c
Def. Zbieżną całkę niewłaściwą I rodzaju (odp.II rodzaju) funkcji f nazywamy bezwzględnie
zbieżną, jeśli jest zbieżna całka funkcji |f|. Jeżeli ta ostatnia całka jest rozbieżna, to całka funk-
cji f jest warunkowo zbieżna.
Uwaga 4. Jeżeli całka niewłaściwa funkcji |f| jest zbieżna i f jest R  całkowalna na każdym
odpowiednim podprzedziale przedziału zbieżności, to całka funkcji f jest zbieżna (bezwzględnie).
Szeregi liczbowe
(an)n"N  dowolny ciąg liczbowy (nieskończony);
n

df
=
Definiujemy nowy ciÄ…g (Sn) o wyrazie ogólnym Sn a1 + · · · + an = ak.
k=1
Def. Ciąg liczbowy (Sn) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym an i oznaczamy:
"

an = a1 + a2 + a3 + · · ·
n=1
2
"

Szereg an nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje granica właściwa S = lim Sn. W przeciwnym
n"
n=1
wypadku szereg jest rozbieżny.
" "

Liczbę S nazywamy sumą szeregu an, piszemy też S = an.
n=1 n=1
" "

Def. Szeregi an i bn sÄ… równe Ô! an = bn dla każdego n " N.
n=1 n=1
" " "

Sumą szeregów an i bn nazywamy szereg (an + bn). Jeżeli oba szeregi są zbieżne i
n=1 n=1 n=1
" " "

an = A oraz bn = B, to (an + bn) = A + B.
n=1 n=1 n=1
" "

Przyjmujemy ponadto: k · an = k · an dla dowolnej liczby rzeczywistej k.
n=1 n=1
"

Tw.1(WK zbieżności szeregów liczbowych) Jeżeli an jest zbieżny, to lim an = 0.
n"
n=1
WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
Uwaga 1. Jeśli (an 0, to ciąg sum (Sn) jest niemalejący. Zatem ciąg sum (Sn) jest zbieżny
wtw gdy jest ograniczony z góry.
Tw.(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę natu-
ralną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale m; +"), to szereg liczbowy

"
+"

f(n) i całka f(x)dx
m
n=m
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
" "

Tw.2(kryterium porównawcze) Jeżeli an oraz bn są szeregami o wyrazach nieujemnych
n=1 n=1
oraz an bn dla n > n0, to
" "

1. jeżeli szereg an jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg bn;
n=1 n=1
" "

2. jeżeli szereg bn jest zbieżny, to zbieżny jest szereg an.
n=1 n=1
3