Teoria systemów i sygnałów
Kierunek AiR, sem. 5
Prof. dr hab. Wojciech Moczulski
Politechnika Śląska, Wydział Mechaniczny Technologiczny
Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn
29 paz
dziernika 2009
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 1 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 2 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 3 / 64
Wprowadzenie
Niekiedy system jest zadany w postaci schematu blokowego
Wówczas zachodzi potrzeba wyznaczenia równania systemu na
podstawie schematu blokowego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 4 / 64
Przykład: system czasu ciągłego (1)
System ten zawiera 2 integratory
Niech w1(t), w2(t) oraz v1(t), v2(t) oznaczają odpowiednio sygnały
wejściowe i wyjściowe poszczególnych integratorów. Zachodzą związki:
dw2(t) dv2(t)
w1(t) = , v1(t) = , w2(t) = v1(t).
dt dt
Dla zmiennych w2(t), v2(t) muszą być określone warunki początkowe.
Są to więc zmienne stanu  integrator jest systemem z pamięcią
Przyjmijmy, że dla początkowej chwili analizy t0 = 0 system znajdował
się w stanie spoczynku
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 5 / 64
Przykład: system czasu ciągłego (2)
Na podstawie schematu blokowego wyznaczymy równania
zmiennych stanu systemu:
dv2(t)
= w2(t) (1)
dt
dw2(t)
= -5v2(t) - 2w2(t) + 4x(t). (2)
dt
Równaniem wyjścia jest:
y(t) = 2v2(t) + w2(t) (3)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 6 / 64
Przykład: system czasu ciągłego (3)
Równania stanu posłużą nam do wyprowadzenia równań
wejściowo-wyjściowych. Z (1,2,3) należy wyeliminować zmienne
stanu v2(t).w2(t)
W pierwszym kroku różniczkujemy obustronnie równanie (1)
i eliminujemy w2(t) oraz jej pochodną z zależności (2):
d2v2(t) dv2(t)
= -2 - 5v2(t) + 4x(t). (4)
dt2 dt
Podobnie podstawiając (1) do (3), modyfikujemy równanie wyjścia:
dv2(t)
y(t) = + 2v2(t) (5)
dt
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 7 / 64
Przykład: system czasu ciągłego (4)
Różniczkując równania (4, 5) tworzymy następujący układ:
d3v2(t) d2v2(t) dv2(t) dx(t)
= -2 - 5 + 4 ,
dt3 dt2 dt dt
dv2(t)
y(t) = + 2v2(t),
dt
dy(t) d2v2(t) dv2
= + 2 (t),
dt dt2 dt
d2y(t) d3v2(t) d2v2
= + 2 (t).
dt2 dt3 dt2
Przez proste przekształcenie tych równań otrzymamy
poszukiwane równanie wejściowo-wyjściowe:
d2y(t) dy(t) dy(t)
+ 2 + 5y(t) = 4 + 8x(t). (6)
dt2 dt dt
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 8 / 64
Przykład: system czasu dyskretnego (1)
System zawiera dwa bloki opóz
niające
Dla sygnałów zachodzą związki:
w2[n] = w1[n - 1], v2[n] = v1[n - 1], w2[n] = v1[n]
Dla zmiennych w1[n], v1[n] muszą być określone warunki
początkowe. Są to więc zmienne stanu  blok opóz
niający jest
systemem z pamięcią
Przyjmijmy, że w początkowej chwili analizy system znajdował się
w stanie spoczynku
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 9 / 64
Przykład: system czasu dyskretnego (2)
Na podstawie schematu systemu wyznaczymy równania stanu
systemu:
v1[n] = w1[n - 1], (7)
w1[n] = -2w1[n - 1] - 5v1[n - 1] = 4x[n] (8)
Równanie wyjścia systemu:
y[n] = 2v1[n - 1] + w1[n - 1] (9)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 10 / 64
Przykład: system czasu dyskretnego (3)
Równania stanu posłużą nam do otrzymania równań wejściowo-wyjściowych
Z równań (7, 8, 9) należy wyeliminować zmienne stanu v1, w1
Podstawmy (7) do (8), zmieniając indeks z n na n - 1:
w1[n] + 2w1[n - 1] + 5w1[n - 2] = 4x[n] (10)
W podobny sposób modyfikujemy równania wyjścia:
y[n] = w1[n - 1] + 2w1[n - 2]. (11)
Przesuwając indeksy w równaniach (10, 11) tworzymy następujący układ:
y[n] = w1[n - 1] + 2w1[n - 2],
y[n - 1] = w1[n - 2] + 2w1[n - 3],
y[n - 2] = w1[n - 3] + 2w1[n - 4],
w1[n - 1] + 2w1[n - 2] + 5w1[n - 3] = 4x[n - 1],
w1[n - 2] + 2w1[n - 3] + 5w1[n - 4] = 4x[n - 2].
Po przekształceniach tych równań otrzymamy równanie wejściowo-wyjściowe:
y[n] + 2y[n - 1] + 5y[n - 2] = 4x[n - 1] + 8x[n - 2] (12)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 11 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 12 / 64
Sposób postępowania (1)
Wynikiem dyskretyzacji równań różniczkowych czasu ciągłego
jest równanie czasu dyskretnego
Dyskretyzacja pozwala na numeryczne rozwiązywanie równań
różniczkowych za pomocą formuł rekurencyjnych. Jest także
krokiem wstępnym do cyfrowej realizacji systemów analogowych
Istotą dyskretyzacji jest aproksymacja pochodnych za pomocą
formuł różnicowych znanych z metod numerycznych
Do aproksymacji 1. pochodnej stosuje się formułę Eulera 1. rzędu:
dy(t) y(nT ) - y ((n - 1)T )
H" (13)
dt T
t=nT
Błąd metody Eulera jest rzędu O(T )  tj. jest tym mniejszy, im
mniejsza jest długość kroku dyskretyzacji T
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 13 / 64
Sposób postępowania (2)
Na podstawie (13) przeprowadzimy dyskretyzację równania
różniczkowego czasu ciągłego 1. rzędu (??):
y(nT ) - y ((n - 1)T ) x(nT ) - x ((n - 1)T )
+ ay(nT ) = b1 + b0x(nT )
T T
y[0] = y0, n + 1, 2, . . . (14)
Dyskretyzacja prowadzi do następującej formuły rekurencyjnej:
1
y(nT ) = (y ((n - 1)T + b1x(nT ) - b1 (x(n - 1)T ) + b0Tx(nT )))
1 + aT
y[0] = y0, n = 1, 2, . . . (15)
Stosując wcześniej wprowadzoną notację dla sygnałów próbkowanych
równomiernie (w dziedzinie czasu), wzór (15) można zapisać
w prostszej postaci:
1
y[n] = (y[n - 1] + b1x[n] - b1x[n - 1] + b0Tx[n])
1 + aT
y[0] = y0, n = 1, 2, . . . (16)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 14 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 15 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (1)
Niech x[n], n " C oznacza sygnał wejściowy dyskretnego systemu SLS,
który w chwili rozpoczęcia analizy znajdował się w stanie spoczynku
Stosując własności sygnału dyskretnego, sygnał ten można przedstawić
jako:
"
x[n] = x[l]�[n - l], n " C (17)
l=-"
Niech h[n] jest odpowiedzią impulsową systemu. Ponieważ:
system SLS jest stacjonarny, jego odpowiedzią na wymuszenie
�[n - l] jest h[n - l]
system jest jednorodny, jego odpowiedzią na sygnał x[l]�[n - l]
będzie sygnał x[l]h[n - l]
system jest addytywny, jego odpowiedzią na sygnał
" "
x[l]�[n - l] będzie sygnał x[l]h[n - l]
l=-" l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 16 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (1)
Niech x[n], n " C oznacza sygnał wejściowy dyskretnego systemu SLS,
który w chwili rozpoczęcia analizy znajdował się w stanie spoczynku
Stosując własności sygnału dyskretnego, sygnał ten można przedstawić
jako:
"
x[n] = x[l]�[n - l], n " C (17)
l=-"
Niech h[n] jest odpowiedzią impulsową systemu. Ponieważ:
system SLS jest stacjonarny, jego odpowiedzią na wymuszenie
�[n - l] jest h[n - l]
system jest jednorodny, jego odpowiedzią na sygnał x[l]�[n - l]
będzie sygnał x[l]h[n - l]
system jest addytywny, jego odpowiedzią na sygnał
" "
x[l]�[n - l] będzie sygnał x[l]h[n - l]
l=-" l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 16 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (1)
Niech x[n], n " C oznacza sygnał wejściowy dyskretnego systemu SLS,
który w chwili rozpoczęcia analizy znajdował się w stanie spoczynku
Stosując własności sygnału dyskretnego, sygnał ten można przedstawić
jako:
"
x[n] = x[l]�[n - l], n " C (17)
l=-"
Niech h[n] jest odpowiedzią impulsową systemu. Ponieważ:
system SLS jest stacjonarny, jego odpowiedzią na wymuszenie
�[n - l] jest h[n - l]
system jest jednorodny, jego odpowiedzią na sygnał x[l]�[n - l]
będzie sygnał x[l]h[n - l]
system jest addytywny, jego odpowiedzią na sygnał
" "
x[l]�[n - l] będzie sygnał x[l]h[n - l]
l=-" l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 16 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (1)
Niech x[n], n " C oznacza sygnał wejściowy dyskretnego systemu SLS,
który w chwili rozpoczęcia analizy znajdował się w stanie spoczynku
Stosując własności sygnału dyskretnego, sygnał ten można przedstawić
jako:
"
x[n] = x[l]�[n - l], n " C (17)
l=-"
Niech h[n] jest odpowiedzią impulsową systemu. Ponieważ:
system SLS jest stacjonarny, jego odpowiedzią na wymuszenie
�[n - l] jest h[n - l]
system jest jednorodny, jego odpowiedzią na sygnał x[l]�[n - l]
będzie sygnał x[l]h[n - l]
system jest addytywny, jego odpowiedzią na sygnał
" "
x[l]�[n - l] będzie sygnał x[l]h[n - l]
l=-" l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 16 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (1)
Niech x[n], n " C oznacza sygnał wejściowy dyskretnego systemu SLS,
który w chwili rozpoczęcia analizy znajdował się w stanie spoczynku
Stosując własności sygnału dyskretnego, sygnał ten można przedstawić
jako:
"
x[n] = x[l]�[n - l], n " C (17)
l=-"
Niech h[n] jest odpowiedzią impulsową systemu. Ponieważ:
system SLS jest stacjonarny, jego odpowiedzią na wymuszenie
�[n - l] jest h[n - l]
system jest jednorodny, jego odpowiedzią na sygnał x[l]�[n - l]
będzie sygnał x[l]h[n - l]
system jest addytywny, jego odpowiedzią na sygnał
" "
x[l]�[n - l] będzie sygnał x[l]h[n - l]
l=-" l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 16 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (1)
Niech x[n], n " C oznacza sygnał wejściowy dyskretnego systemu SLS,
który w chwili rozpoczęcia analizy znajdował się w stanie spoczynku
Stosując własności sygnału dyskretnego, sygnał ten można przedstawić
jako:
"
x[n] = x[l]�[n - l], n " C (17)
l=-"
Niech h[n] jest odpowiedzią impulsową systemu. Ponieważ:
system SLS jest stacjonarny, jego odpowiedzią na wymuszenie
�[n - l] jest h[n - l]
system jest jednorodny, jego odpowiedzią na sygnał x[l]�[n - l]
będzie sygnał x[l]h[n - l]
system jest addytywny, jego odpowiedzią na sygnał
" "
x[l]�[n - l] będzie sygnał x[l]h[n - l]
l=-" l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 16 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (2)
Wykazaliśmy więc następujące twierdzenie:
Odpowiedz
systemu SLS na wymuszenie postaci (17)
Odpowiedzią systemu SLS na wymuszenie postaci (17) jest sygnał:
"
y[n] = x[l]h[n - l], n " C (18)
l=-"
Odpowiedz
ta ma więc postać dyskretnego splotu dwustronnego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 17 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (3)
Ograniczając rozważania do systemów przyczynowych mamy
h[n - l] = 0, l > n oraz y[n] = 0, n < 0. Jeśli dodatkowo
x[n] = 0, n < 0, to mamy:
Odpowiedz
systemu SLS przyczynowego
Odpowiedzią systemu SLS przyczynowego na wymuszenie
"
x[n] = x[l]�[n - l], n " C
l=0
jest sygnał:
ńł
�ł 0 dla n < 0
"
y[n] = (19)
x[l]h[n - l] dla n e" 0
ół
l=0
Odpowiedz
ta ma więc postać dyskretnego splotu jednostronnego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 18 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (4)
Słuszne jest więc ogólne twierdzenie dla systemów SLS:
Odpowiedz
systemu SLS
Odpowiedzią systemu SLS przyczynowego o odpowiedzi impulsowej h[n] na
wymuszenie x[n] jest sygnał:
y[n] = x[n] " h[n] (20)
Dla systemów SOI zależność ta przyjmuje postać:
Odpowiedz
systemu SLS o skończonej odpowiedzi impulsowej
Odpowiedzią systemu SLS przyczynowego o odpowiedzi impulsowej
h[n], h[n] = 0 dla n d" N na wymuszenie x[n] jest sygnał:

n
y[n] = x[l]h[n - l] (21)
l=n-N
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 19 / 64
Relacja splotowa pomiędzy wejściem i wyjściem
systemu SLS (4)
Słuszne jest więc ogólne twierdzenie dla systemów SLS:
Odpowiedz
systemu SLS
Odpowiedzią systemu SLS przyczynowego o odpowiedzi impulsowej h[n] na
wymuszenie x[n] jest sygnał:
y[n] = x[n] " h[n] (20)
Dla systemów SOI zależność ta przyjmuje postać:
Odpowiedz
systemu SLS o skończonej odpowiedzi impulsowej
Odpowiedzią systemu SLS przyczynowego o odpowiedzi impulsowej
h[n], h[n] = 0 dla n d" N na wymuszenie x[n] jest sygnał:

n
y[n] = x[l]h[n - l] (21)
l=n-N
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 19 / 64
Przykład: system wygładzający wykładniczo
A
atwo sprawdzić, że odpowiedz
impulsowa systemu przy
y[-1] = 0 jest równa:
h[0] = 1 - a
h[1] = a(1 - a)
h[2] = a(1 - a)2
. . . . . .
h[n] = a(1 - a)n
Jeżeli wymuszenie x[n] = 0 dla n < 0, to relację pomiędzy
sygnałami x[n], y[n] opisuje zależność:
n n
y[n] = x[l](1 - a)an-1 = (1 - a) x[l]an-l, n = 0, 1, . . . (22)
l=0 l=0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 20 / 64
Przykład: system SOI
Rozpatrzmy system SOI o wartości N = 3, którego odpowiedz

impulsowa ma postać:
1
dla n = 0, 1, 2, 3
4
h[n] = (23)
0 dla n < 0 lub n > 3
Wyjście systemu określa równanie:
n
y[n] = x[l]h[n - l]
l=n-3
= x[n - 3]h[3] + x[n - 2]h[2] + x[n - 1]h[1] + x[n]h[0]
1
= (x[n] + x[n - 1] + x[n - 2] + x[n - 3]) (24)
4
które jest równaniem ruchomego okna uśredniającego liniowo
o długości N = 3
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 21 / 64
Porównanie różnych opisów systemów SLS
1
Splot w przypadku ogólnym wymaga podania nieskończonej liczby
współczynników h[n], n = 0, 1, 2, . . .. Natomiast równanie różnicowe ma
skończoną (zwykle niewielką) liczbę współczynników, więc wartości
wyjściowe mogą być łatwo obliczane za pomocą komputera
2
Splot opisuje relację wejście-wyjście dla systemów w stanie spoczynku.
Jeżeli warunki te są niezerowe, to (zgodnie z zasadą superpozycji)
odpowiedz
jest sumą składowej przy zerowym warunku początkowym
i składowej przy zerowym wymuszeniu:
y[n] = x[n] " h[n] + w[n], (25)
gdzie w[n] jest odpowiedzią systemu na warunek początkowy.
Konieczność oddzielnego wyznaczania odpowiedzi systemu na
niezerowe warunki początkowe powoduje, że takie systemy są rzadko
analizowane metodą splotową
3
Liczba operacji matematycznych do wykonania w celu obliczenia splotu
jest zwykle znacznie większa niż wymagana do obliczenia wartości y[n]
metodą rekurencyjną dla umiarkowanych wartości n (wyjątkiem są
systemy SOI o niezbyt dużej wartości N)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 22 / 64
Porównanie różnych opisów systemów SLS
1
Splot w przypadku ogólnym wymaga podania nieskończonej liczby
współczynników h[n], n = 0, 1, 2, . . .. Natomiast równanie różnicowe ma
skończoną (zwykle niewielką) liczbę współczynników, więc wartości
wyjściowe mogą być łatwo obliczane za pomocą komputera
2
Splot opisuje relację wejście-wyjście dla systemów w stanie spoczynku.
Jeżeli warunki te są niezerowe, to (zgodnie z zasadą superpozycji)
odpowiedz
jest sumą składowej przy zerowym warunku początkowym
i składowej przy zerowym wymuszeniu:
y[n] = x[n] " h[n] + w[n], (25)
gdzie w[n] jest odpowiedzią systemu na warunek początkowy.
Konieczność oddzielnego wyznaczania odpowiedzi systemu na
niezerowe warunki początkowe powoduje, że takie systemy są rzadko
analizowane metodą splotową
3
Liczba operacji matematycznych do wykonania w celu obliczenia splotu
jest zwykle znacznie większa niż wymagana do obliczenia wartości y[n]
metodą rekurencyjną dla umiarkowanych wartości n (wyjątkiem są
systemy SOI o niezbyt dużej wartości N)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 22 / 64
Porównanie różnych opisów systemów SLS
1
Splot w przypadku ogólnym wymaga podania nieskończonej liczby
współczynników h[n], n = 0, 1, 2, . . .. Natomiast równanie różnicowe ma
skończoną (zwykle niewielką) liczbę współczynników, więc wartości
wyjściowe mogą być łatwo obliczane za pomocą komputera
2
Splot opisuje relację wejście-wyjście dla systemów w stanie spoczynku.
Jeżeli warunki te są niezerowe, to (zgodnie z zasadą superpozycji)
odpowiedz
jest sumą składowej przy zerowym warunku początkowym
i składowej przy zerowym wymuszeniu:
y[n] = x[n] " h[n] + w[n], (25)
gdzie w[n] jest odpowiedzią systemu na warunek początkowy.
Konieczność oddzielnego wyznaczania odpowiedzi systemu na
niezerowe warunki początkowe powoduje, że takie systemy są rzadko
analizowane metodą splotową
3
Liczba operacji matematycznych do wykonania w celu obliczenia splotu
jest zwykle znacznie większa niż wymagana do obliczenia wartości y[n]
metodą rekurencyjną dla umiarkowanych wartości n (wyjątkiem są
systemy SOI o niezbyt dużej wartości N)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 22 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 23 / 64
Sygnał czasu ciągłego w interpretacji splotowej
1
Zgodnie z rozważaniami z początkowych wykładów, sygnał czasu
ciągłego x(t), t " R można przedstawić w postaci splotowej:
" "
x(t) = x(t) " �(t) = x()�(t - ) d = x(t - )�() d (26)
-" -"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 24 / 64
Aproksymacja splotu ciągłego funkcją schodkową (1)
Splot czasu ciągłego (26) można
wprowadzić jako przypadek graniczny
aproksymacji sygnału x(t) funkcją
schodkową x�Ć
(t)
Zdefiniujmy impuls prostokątny Ą�(t):
1
dla 0 d" t < �
�
Ą�(t) =
0 dla pozostałych wartości t
(27)
Amplituda impulsu �Ą�(t) jest równa
jedności
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 25 / 64
Aproksymacja splotu ciągłego funkcją schodkową (2)
Można skonstruować funkcję x�Ć aproksymującą sygnał x(t)
(t)
w następujący sposób:
"
x�Ć = x(l�)Ą�(t - l�)� (28)
(t)
l=-"
Dla dowolnego t " (n�, (n + 1)�] tylko składnik l = n jest niezerowy
w sumie (28) i x(t) jest aproksymowane wartością x(n�)
Pole schodka funkcji
aproksymującej (obszar
zakreskowany) wynosi
x(n�)�
Dla chwil t = n� wzór (28)
jest identyczny ze splotem
dyskretnym sygnałów
x(n�) i �Ą�(n�)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 26 / 64
Aproksymacja splotu ciągłego funkcją schodkową (3)
Jeżeli x(t) jest funkcją ciągłą i różniczkowalną, to przy � 0
aproksymacja jest coraz dokładniejsza i w granicy dla każdej wartości t:
Ć
x(t) = lim x�(t) (29)
�0
Przy � 0 suma (28) aproksymuje całkę na przedziale (-", "), a
Ą�(t) �(t).
Jako konkluzję rozumowania otrzymujemy wzór (26)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 27 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (1)
Aproksymacja (29) posłuży do wyznaczenia relacji splotowej dla
systemów czasu ciągłego
Niech:
y(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x(t)
Ć
w
�(t)  odpowiedz
systemu na wymuszenie x�(t)
h(t)  odpowiedz
impulsowa systemu
h�(t)  odpowiedz
na sygnał Ą�(t)
Ponieważ system jest stacjonarny, to jego odpowiedzią na wymuszenie
Ą�(t - l�) jest h�(t - l�)
Ponieważ system jest jednorodny, to jego odpowiedzią na sygnał
x(l�)Ą�(t - l�) będzie x(l�)h�(t - l�)
Ponieważ system liniowy spełnia zasadę addytywności, to odpowiedzią
"
Ć
systemu na sygnał x�(t) = x(l�)Ą�(t - l�)� będzie suma
l=-"
odpowiedzi na poszczególne składniki tego sygnału:
"
w
�(t) = x(l�)h�(t - l�)� (30)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 28 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (2)
Ponieważ lim Ą�(t) = �(t), to lim h�(t) = h(t)
�0 �0
Ć
Z tego, że lim x�(t) = x(t) wynika, że lim w
�(t) = y(t)
�0 �0
Przy przejściu do granicy suma w (30) zostanie zastąpiona całką
i ostatecznie otrzymujemy:
"
y(t) = x()h(t - )d = x(t) " h(t) (31)
-"
Dla systemów przyczynowych h(t) = 0 (dla) t < 0, a więc
h(t - ) = 0 dla  > t. Jeśli ponadto x(t) = 0 dla t < 0, zależność (31)
upraszcza się do:
ńł
0 dla t < 0
�ł
t
y(t) = (32)
ół x()h(t - )d dla t e" 0
0
czyli ma postać splotu jednostronnego sygnałów czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 29 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (2)
Ponieważ lim Ą�(t) = �(t), to lim h�(t) = h(t)
�0 �0
Ć
Z tego, że lim x�(t) = x(t) wynika, że lim w
�(t) = y(t)
�0 �0
Przy przejściu do granicy suma w (30) zostanie zastąpiona całką
i ostatecznie otrzymujemy:
"
y(t) = x()h(t - )d = x(t) " h(t) (31)
-"
Dla systemów przyczynowych h(t) = 0 (dla) t < 0, a więc
h(t - ) = 0 dla  > t. Jeśli ponadto x(t) = 0 dla t < 0, zależność (31)
upraszcza się do:
ńł
0 dla t < 0
�ł
t
y(t) = (32)
ół x()h(t - )d dla t e" 0
0
czyli ma postać splotu jednostronnego sygnałów czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 29 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (2)
Ponieważ lim Ą�(t) = �(t), to lim h�(t) = h(t)
�0 �0
Ć
Z tego, że lim x�(t) = x(t) wynika, że lim w
�(t) = y(t)
�0 �0
Przy przejściu do granicy suma w (30) zostanie zastąpiona całką
i ostatecznie otrzymujemy:
"
y(t) = x()h(t - )d = x(t) " h(t) (31)
-"
Dla systemów przyczynowych h(t) = 0 (dla) t < 0, a więc
h(t - ) = 0 dla  > t. Jeśli ponadto x(t) = 0 dla t < 0, zależność (31)
upraszcza się do:
ńł
0 dla t < 0
�ł
t
y(t) = (32)
ół x()h(t - )d dla t e" 0
0
czyli ma postać splotu jednostronnego sygnałów czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 29 / 64
Wyznaczenie relacji splotowej dla systemów SLS (2)
Ponieważ lim Ą�(t) = �(t), to lim h�(t) = h(t)
�0 �0
Ć
Z tego, że lim x�(t) = x(t) wynika, że lim w
�(t) = y(t)
�0 �0
Przy przejściu do granicy suma w (30) zostanie zastąpiona całką
i ostatecznie otrzymujemy:
"
y(t) = x()h(t - )d = x(t) " h(t) (31)
-"
Dla systemów przyczynowych h(t) = 0 (dla) t < 0, a więc
h(t - ) = 0 dla  > t. Jeśli ponadto x(t) = 0 dla t < 0, zależność (31)
upraszcza się do:
ńł
0 dla t < 0
�ł
t
y(t) = (32)
ół x()h(t - )d dla t e" 0
0
czyli ma postać splotu jednostronnego sygnałów czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 29 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 30 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Uwagi ogólne
Odpowiedzi systemu niestacjonarnego po pobudzeniu sygnałami
�(t) i �(t - t0), poza przesunięciem czasowym, mogą się różnić
również innymi parametrami
Odpowiedz
impulsowa systemu niestacjonarnego czasu
ciągłego h(t, ) na pobudzenie impulsem Diraca występującym
w chwili t =  jest funkcją dwóch zmiennych:
bieżącego czasu t
chwili  pojawienia się sygnału wejściowego
Przy założeniu przyczynowości systemu mamy
h(t, ) = 0 dla t < 
Dla niestacjonarnych systemów czasu dyskretnego
odpowiedz
impulsowa h(n, l) na pobudzenie impulsem
Kroneckera �[n - l] występującym w chwili n = l jest funkcją
dwóch parametrów:
bieżącego indeksu czasu dyskretnego n
chwili l przyłożenia sygnału wejściowego
Jeżeli system jest przyczynowy, to h[n, l] = 0 dla n < l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 31 / 64
Odpowiedz
systemu niestacjonarnego dyskretnego
Jeżeli wymuszenie x(t) ma postać (17), to stosując zasadę
superpozycji możemy obliczyć odpowiedz
systemu:
"
y[n] = x[l]h[n, l], n " C (33)
l=-"
Związek ten jest uogólnieniem zależności splotowej (18)
Wzory te stają się identyczne, gdy:
h[n, l] = h[n - l] (34)
Jeżeli rozpatrywany system jest przyczynowy oraz x[n] = 0 dla
n < 0, to wzór (33) upraszcza się do postaci:
ńł
0 dla n < 0
�ł
n
y[n] = (35)
x[l]h[n, l] dla n e" 0
ół
l=0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 32 / 64
Odpowiedz
systemu niestacjonarnego dyskretnego
Jeżeli wymuszenie x(t) ma postać (17), to stosując zasadę
superpozycji możemy obliczyć odpowiedz
systemu:
"
y[n] = x[l]h[n, l], n " C (33)
l=-"
Związek ten jest uogólnieniem zależności splotowej (18)
Wzory te stają się identyczne, gdy:
h[n, l] = h[n - l] (34)
Jeżeli rozpatrywany system jest przyczynowy oraz x[n] = 0 dla
n < 0, to wzór (33) upraszcza się do postaci:
ńł
0 dla n < 0
�ł
n
y[n] = (35)
x[l]h[n, l] dla n e" 0
ół
l=0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 32 / 64
Odpowiedz
systemu niestacjonarnego dyskretnego
Jeżeli wymuszenie x(t) ma postać (17), to stosując zasadę
superpozycji możemy obliczyć odpowiedz
systemu:
"
y[n] = x[l]h[n, l], n " C (33)
l=-"
Związek ten jest uogólnieniem zależności splotowej (18)
Wzory te stają się identyczne, gdy:
h[n, l] = h[n - l] (34)
Jeżeli rozpatrywany system jest przyczynowy oraz x[n] = 0 dla
n < 0, to wzór (33) upraszcza się do postaci:
ńł
0 dla n < 0
�ł
n
y[n] = (35)
x[l]h[n, l] dla n e" 0
ół
l=0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 32 / 64
Odpowiedz
systemu niestacjonarnego dyskretnego
Jeżeli wymuszenie x(t) ma postać (17), to stosując zasadę
superpozycji możemy obliczyć odpowiedz
systemu:
"
y[n] = x[l]h[n, l], n " C (33)
l=-"
Związek ten jest uogólnieniem zależności splotowej (18)
Wzory te stają się identyczne, gdy:
h[n, l] = h[n - l] (34)
Jeżeli rozpatrywany system jest przyczynowy oraz x[n] = 0 dla
n < 0, to wzór (33) upraszcza się do postaci:
ńł
0 dla n < 0
�ł
n
y[n] = (35)
x[l]h[n, l] dla n e" 0
ół
l=0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 32 / 64
Przykład: liniowy system niestacjonarny dyskretny 1.
rzędu (1)
Rozpatrzmy system o równaniu wejściowo-wyjściowym:
y[n] + a[n] � y[n - 1] = b[n] � x[n] (36)
Odpowiedzi impulsowe h[n, l] otrzymuje się jako rozwiązanie
powyższego równania dla x[n] = �[n - l], l " C, przy zerowym warunku
początkowym
Jeżeli na wejściu systemu pojawia się impuls Kroneckera, to h[n, l] = 0
dla n < l
Wartości h[n, l] w pozostałych przypadkach obliczamy rekurencyjnie
względem n, rozpoczynając od n = l:
ńł
0 dla n < l
�ł
h[n, l] = b[l] dla n = l (37)
ół
(-1)n-la[n] � a[n - 1] � . . . � a[l + 1] � b[l] dla n > l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 33 / 64
Przykład: liniowy system niestacjonarny dyskretny 1.
rzędu (2)
Na podstawie (33) i przyczynowości równania (36) obliczamy odpowiedz

systemu dla dowolnego wymuszenia:
"
= x[l] h[n, l]
l=-"
n-1
= b[n] + x[l](-1)n-1a[n] � a[n - 1] � . . . � a[l + 1] � b[l] (38)
l=-"
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 34 / 64
Odpowiedz
systemu niestacjonarnego czasu ciągłego
Zależności wejście-wyjście dla niestacjonarnych systemów
analogowych mają postać zbliżoną do zależności dla systemów
dyskretnych. Otrzymuje się je, zastępując operacje sumowania
względem zmiennych dyskretnych operacjami całkowania
względem zmiennych ciągłych
Odpowiedzią systemu niestacjonarnego na wymuszenie
x(t), t " R jest:
"
y(t) = x()h(t, )d (39)
-"
Powyższy związek jest uogólnieniem zależności splotowej (31)
obowiązującej dla ciągłych systemów stacjonarnych
Wzory (31) i (39) stają się identyczne, gdy:
h(t, ) = h(t - ) (40)
Cecha ta jest istotą stacjonarności systemów czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 35 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 36 / 64
Jednostronne przekształcenie Laplace a (1)
Przekształcenie Laplace a jest podstawowym narzędziem
analizy stanów nieustalonych w systemach SLS
Określone jest jako:
Jednostronne przekształcenie Laplace a
Przekształcenie określa zależność:
"
X (s) = L{x(t)} = x(t)e-stdt (41)
0
która sygnałowi zmiennej rzeczywistej t przyporządkowuje jego
L-transformatę X (s) będącą funkcją zmiennej zespolonej s = � + j�
Transformata jest określona, gdy istnieją wartości parametru s, dla
których całka Laplace a jest zbieżna. Mówimy wówczas, że
funkcja x(t) jest L-transformowalna
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 37 / 64
Jednostronne przekształcenie Laplace a (1)
Przekształcenie Laplace a jest podstawowym narzędziem
analizy stanów nieustalonych w systemach SLS
Określone jest jako:
Jednostronne przekształcenie Laplace a
Przekształcenie określa zależność:
"
X (s) = L{x(t)} = x(t)e-stdt (41)
0
która sygnałowi zmiennej rzeczywistej t przyporządkowuje jego
L-transformatę X (s) będącą funkcją zmiennej zespolonej s = � + j�
Transformata jest określona, gdy istnieją wartości parametru s, dla
których całka Laplace a jest zbieżna. Mówimy wówczas, że
funkcja x(t) jest L-transformowalna
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 37 / 64
Jednostronne przekształcenie Laplace a (1)
Przekształcenie Laplace a jest podstawowym narzędziem
analizy stanów nieustalonych w systemach SLS
Określone jest jako:
Jednostronne przekształcenie Laplace a
Przekształcenie określa zależność:
"
X (s) = L{x(t)} = x(t)e-stdt (41)
0
która sygnałowi zmiennej rzeczywistej t przyporządkowuje jego
L-transformatę X (s) będącą funkcją zmiennej zespolonej s = � + j�
Transformata jest określona, gdy istnieją wartości parametru s, dla
których całka Laplace a jest zbieżna. Mówimy wówczas, że
funkcja x(t) jest L-transformowalna
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 37 / 64
Jednostronne przekształcenie Laplace a (1)
Przekształcenie Laplace a jest podstawowym narzędziem
analizy stanów nieustalonych w systemach SLS
Określone jest jako:
Jednostronne przekształcenie Laplace a
Przekształcenie określa zależność:
"
X (s) = L{x(t)} = x(t)e-stdt (41)
0
która sygnałowi zmiennej rzeczywistej t przyporządkowuje jego
L-transformatę X (s) będącą funkcją zmiennej zespolonej s = � + j�
Transformata jest określona, gdy istnieją wartości parametru s, dla
których całka Laplace a jest zbieżna. Mówimy wówczas, że
funkcja x(t) jest L-transformowalna
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 37 / 64
Jednostronne przekształcenie Laplace a (2)
Zbiór wartości parametru s, dla
których całka (41) jest zbieżna,
nazywa się obszarem zbieżności
Twierdzenie
Jeżeli całka Laplace a funkcji x(t) jest zbieżna w punkcie
s0 = �0 + j�0, to jest ona zbieżna we wszystkich punktach s = � + j�,
w których � > �0
Wielkość �0 jest nazywana odciętą zbieżności, prosta Re s = �0 
prostą zbieżności, a obszar Re s > �0  obszarem zbieżności
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 38 / 64
Przykład
Obliczmy całkę Laplace a sygnału wykładniczego
x(t) = e-ąt, t " R:
" "
L{x(t)} = e-ąte-(�+j�)t dt = e-(ą+�+j�)t dt
0 0
t="
e-(ą+�)t e-j�t 1
= = , jeżeli � > -ą (42)
s + ą s + ą
t=0
Jeżeli � < -ą, podana całka jest rozbieżna
Odciętą zbieżności jest prosta �0 = -ą
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 39 / 64
Odwrotna transformacja Laplace a
Odwrotna transformacja Laplace a jest określona zależnością:
Odwrotna transformacja Laplace a L-1
c+j�
1
x(t) = L-1{X (s)} = X(s)est ds (43)
2Ąj
c-j�
Kontur całkowania we wzorze (43) jest linią prostą o równaniu
Re s = c. Stała c musi być tak dobrana, aby kontur całkowania
całkowicie się zawierał w obszarze zbieżności
Jednostronna transformacja Laplace a ignoruje wartości funkcji
x(t) dla t < 0. Aby zapewnić, że x(t) = 0 dla t < 0, sygnał x(t)
można zapisywać jako x(t)1(t)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 40 / 64
Odwrotna transformacja Laplace a
Odwrotna transformacja Laplace a jest określona zależnością:
Odwrotna transformacja Laplace a L-1
c+j�
1
x(t) = L-1{X (s)} = X(s)est ds (43)
2Ąj
c-j�
Kontur całkowania we wzorze (43) jest linią prostą o równaniu
Re s = c. Stała c musi być tak dobrana, aby kontur całkowania
całkowicie się zawierał w obszarze zbieżności
Jednostronna transformacja Laplace a ignoruje wartości funkcji
x(t) dla t < 0. Aby zapewnić, że x(t) = 0 dla t < 0, sygnał x(t)
można zapisywać jako x(t)1(t)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 40 / 64
Odwrotna transformacja Laplace a
Odwrotna transformacja Laplace a jest określona zależnością:
Odwrotna transformacja Laplace a L-1
c+j�
1
x(t) = L-1{X (s)} = X(s)est ds (43)
2Ąj
c-j�
Kontur całkowania we wzorze (43) jest linią prostą o równaniu
Re s = c. Stała c musi być tak dobrana, aby kontur całkowania
całkowicie się zawierał w obszarze zbieżności
Jednostronna transformacja Laplace a ignoruje wartości funkcji
x(t) dla t < 0. Aby zapewnić, że x(t) = 0 dla t < 0, sygnał x(t)
można zapisywać jako x(t)1(t)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 40 / 64
Odwrotna transformacja Laplace a
Odwrotna transformacja Laplace a jest określona zależnością:
Odwrotna transformacja Laplace a L-1
c+j�
1
x(t) = L-1{X (s)} = X(s)est ds (43)
2Ąj
c-j�
Kontur całkowania we wzorze (43) jest linią prostą o równaniu
Re s = c. Stała c musi być tak dobrana, aby kontur całkowania
całkowicie się zawierał w obszarze zbieżności
Jednostronna transformacja Laplace a ignoruje wartości funkcji
x(t) dla t < 0. Aby zapewnić, że x(t) = 0 dla t < 0, sygnał x(t)
można zapisywać jako x(t)1(t)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 40 / 64
Przykład
Wyznaczenie L-transformaty sygnału x(t) = 1(t):
"
t="
e-st t=" e-�te-j�t 1
L{1(t)} = e-stdt = - - = (44)
s s s
t=0 t=0
0
Powyższy wynik jest poprawny dla Res > 0. Jeżeli Res < 0, całka
jest rozbieżna
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 41 / 64
Jednoznaczność transformacji Laplace a L-1
Jeżeli funkcja x(t) jest L-transformowalna, to ma ona dokładnie
jedną L-transformatę X (s) określoną wzorem (41)
Dla odwrotnej transformacji Laplace a zachodzi następujące:
Twierdzenie
Dwie funkcje L-transformowalne x1(t), x2(t) mają tę samą
L-transformatę, tzn. dla Re s > �0
L{x1(t)} = L{x2(t)} (45)
wtedy i tylko wtedy, gdy wartości obydwu funkcji są dla t e" 0 różne na
zbiorze miary zerowej
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 42 / 64
1
Opis systemów w dziedzinie czasu c.d.
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
2
Splot w systemach liniowych
Systemy SLS czasu dyskretnego
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy liniowe niestacjonarne
3
Przekształcenie Laplace a
Podstawy matematyczne
Własności transformacji Laplace a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 43 / 64
Liniowość
Jeżeli a, b " C oraz X1(s) = L{x1(t)}, X2(s) = L{x2(t)}, to:
1. Liniowość
L{ax1(t) + bx2(t)} = aX1(s) + bX2(s) (46)
Własność ta wynika wprost z liniowości operacji całkowania
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 44 / 64
Liniowość
Jeżeli a, b " C oraz X1(s) = L{x1(t)}, X2(s) = L{x2(t)}, to:
1. Liniowość
L{ax1(t) + bx2(t)} = aX1(s) + bX2(s) (46)
Własność ta wynika wprost z liniowości operacji całkowania
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 44 / 64
Liniowość
Jeżeli a, b " C oraz X1(s) = L{x1(t)}, X2(s) = L{x2(t)}, to:
1. Liniowość
L{ax1(t) + bx2(t)} = aX1(s) + bX2(s) (46)
Własność ta wynika wprost z liniowości operacji całkowania
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 44 / 64
Liniowość: przykład
Obliczyć transformatę x(t) = cos �0t, t e" 0, �0 " R:
1 1
Na podstawie wzoru Eulera cos �0t = ej�0t + e-j�0t
2 2
Na podstawie (46), (42) otrzymamy:
1 1 1 1 1 1
L{cos �0t} = L{ej�0t} + L{e-j�0t} = +
2 2 2 s - j�0 2 s + j�0
s
= (47)
2
s2 + �0
Proszę samodzielnie sprawdzić, że:
�0
L{sin �0t} = (48)
2
s2 + �0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 45 / 64
Przesunięcie w dziedzinie zmiennej s
Przesunięcie w dziedzinie zmiennej s uzyskuje się poprzez
mnożenie przez czynnik e-ąt:
2. Mnożenie przez czynnik wykładniczy e-ąt
L{e-ątx(t)} = X (s + ą) (49)
Wynik ten otrzymamy bezpośrednio na podstawie definicji
przekształcenia Laplace a:
" "
e-ątx(t)e-stdt = x(t)e-(s+ą)tdt = X (s + ą) (50)
0 0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 46 / 64
Przesunięcie w dziedzinie zmiennej s
Przesunięcie w dziedzinie zmiennej s uzyskuje się poprzez
mnożenie przez czynnik e-ąt:
2. Mnożenie przez czynnik wykładniczy e-ąt
L{e-ątx(t)} = X (s + ą) (49)
Wynik ten otrzymamy bezpośrednio na podstawie definicji
przekształcenia Laplace a:
" "
e-ątx(t)e-stdt = x(t)e-(s+ą)tdt = X (s + ą) (50)
0 0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 46 / 64
Przesunięcie w dziedzinie zmiennej s
Przesunięcie w dziedzinie zmiennej s uzyskuje się poprzez
mnożenie przez czynnik e-ąt:
2. Mnożenie przez czynnik wykładniczy e-ąt
L{e-ątx(t)} = X (s + ą) (49)
Wynik ten otrzymamy bezpośrednio na podstawie definicji
przekształcenia Laplace a:
" "
e-ątx(t)e-stdt = x(t)e-(s+ą)tdt = X (s + ą) (50)
0 0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 46 / 64
Przesunięcie w dziedzinie zmiennej s: Przykład
Obliczmy transformatę Laplace a sygnału zanikającego oscylacyjnie
x(t) = (e2t sin 4t)1(t):
Na podstawie (48) i własności 2. mamy:
4 4
L{e-2t sin 4t} = = (51)
(s + 2)2 + 42 s2 + 4s + 20
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 47 / 64
Twierdzenie o modulacji
Twierdzenie o modulacji jest szczególnym przypadkiem
zastosowania wzoru (49):
X (s - j�0) + X(s + j�0)
L{x(t) cos �0t} = (52)
2
X (s - j�0) - X(s + j�0)
L{x(t) sin �0t} = (53)
2j
Twierdzenie to można udowodnić, wykorzystując wzór Eulera,
liniowość transformacji Laplace a oraz właściwość przesunięcia
w dziedzinie zmiennej zespolonej s
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 48 / 64
Przesunięcie w dziedzinie czasu (1)
Rozpatrzmy przesuniętą wersję x(t - T ), T > 0 sygnału x(t)
Ponieważ x(t) = 0 dla t < 0, to x(t - T ) = 0 dla t < T , co można
zapisać x(t - T )1(t - T )
Obliczmy transformatę Laplace a:
"
L {x(t - T )1(t - T )} = x(t - T )1(t - T )e-stdt
0
Dokonamy zamiany zmiennej: � = t - T , dt = d�, t = 0 �! � = -T ,
t = " �! � = ":
" "
L {x(t - T )1(t - T )} = x(�)1(�)e-s(�+T )d� = e-sT x(�)e-s� d�
0 0
= X (s)e-sT
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 49 / 64
Przesunięcie w dziedzinie czasu (1)
Rozpatrzmy przesuniętą wersję x(t - T ), T > 0 sygnału x(t)
Ponieważ x(t) = 0 dla t < 0, to x(t - T ) = 0 dla t < T , co można
zapisać x(t - T )1(t - T )
Obliczmy transformatę Laplace a:
"
L {x(t - T )1(t - T )} = x(t - T )1(t - T )e-stdt
0
Dokonamy zamiany zmiennej: � = t - T , dt = d�, t = 0 �! � = -T ,
t = " �! � = ":
" "
L {x(t - T )1(t - T )} = x(�)1(�)e-s(�+T )d� = e-sT x(�)e-s� d�
0 0
= X (s)e-sT
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 49 / 64
Przesunięcie w dziedzinie czasu (1)
Rozpatrzmy przesuniętą wersję x(t - T ), T > 0 sygnału x(t)
Ponieważ x(t) = 0 dla t < 0, to x(t - T ) = 0 dla t < T , co można
zapisać x(t - T )1(t - T )
Obliczmy transformatę Laplace a:
"
L {x(t - T )1(t - T )} = x(t - T )1(t - T )e-stdt
0
Dokonamy zamiany zmiennej: � = t - T , dt = d�, t = 0 �! � = -T ,
t = " �! � = ":
" "
L {x(t - T )1(t - T )} = x(�)1(�)e-s(�+T )d� = e-sT x(�)e-s� d�
0 0
= X (s)e-sT
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 49 / 64
Przesunięcie w dziedzinie czasu (1)
Rozpatrzmy przesuniętą wersję x(t - T ), T > 0 sygnału x(t)
Ponieważ x(t) = 0 dla t < 0, to x(t - T ) = 0 dla t < T , co można
zapisać x(t - T )1(t - T )
Obliczmy transformatę Laplace a:
"
L {x(t - T )1(t - T )} = x(t - T )1(t - T )e-stdt
0
Dokonamy zamiany zmiennej: � = t - T , dt = d�, t = 0 �! � = -T ,
t = " �! � = ":
" "
L {x(t - T )1(t - T )} = x(�)1(�)e-s(�+T )d� = e-sT x(�)e-s� d�
0 0
= X (s)e-sT
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 49 / 64
Przesunięcie w dziedzinie czasu (2)
W ten sposób udowodniliśmy następujące:
3. Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu
L{x(t - T )1(t - T )} = X (s)e-sT (54)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 50 / 64
Różniczkowanie w dziedzinie s (1)
Różniczkowanie wyrażenia (41) względem s daje wynik:
" "
d d d
- X(s) = - x(t)e-stdt = - x(t) e-st dt
ds ds ds
0 0
"
= tx(t)e-stdt = L {tx(t)}
0
Udowodniliśmy:
4. Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie s
d
L {tx(t)} = - X (s) (55)
ds
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 51 / 64
Różniczkowanie w dziedzinie s (1)
Różniczkowanie wyrażenia (41) względem s daje wynik:
" "
d d d
- X(s) = - x(t)e-stdt = - x(t) e-st dt
ds ds ds
0 0
"
= tx(t)e-stdt = L {tx(t)}
0
Udowodniliśmy:
4. Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie s
d
L {tx(t)} = - X (s) (55)
ds
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 51 / 64
Różniczkowanie w dziedzinie s (1)
Różniczkowanie wyrażenia (41) względem s daje wynik:
" "
d d d
- X(s) = - x(t)e-stdt = - x(t) e-st dt
ds ds ds
0 0
"
= tx(t)e-stdt = L {tx(t)}
0
Udowodniliśmy:
4. Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie s
d
L {tx(t)} = - X (s) (55)
ds
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 51 / 64
Różniczkowanie w dziedzinie s (2)
Rekurencyjnie można udowodnić:
Twierdzenie
dn
L {tnx(t)} = (-1)n X (s) (56)
dsn
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 52 / 64
L-transformata pochodnej
5. Twierdzenie o L-transformacie pochodnej
dx
Jeżeli funkcja x(t) ma pochodną dla t > 0 oraz pochodna jest
dt
L-transformowalna, to istnieje również L-transformata funkcji x(t) oraz:
dx(t)
L = sX(s) - x(0-) (57)
dt
Dowód formuły przeprowadza sie poprzez całkowanie przez
części
W formule (57) występuje warunek początkowy na wartość funkcji
x(t)
Ponieważ sygnał może być nieciągłą funkcją czasu w chwili t = 0,
jako chwilę początkową przyjmuje się t = 0-
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 53 / 64
L-transformata n-tej pochodnej
L-transformata n-tej pochodnej
Jeżeli funkcja x(t) ma dla t > 0 pochodne aż do rzędu n włącznie oraz
dnx(t)
pochodna jest L-transformowalna, to istnieją również
dtn
L-transformaty wszystkich pochodnych rzędów niższych od n funkcji
x(t) oraz:
dnx(t)
L = snX (s) - sn-1x(0) - sn-2x(1)(0) - sn-3x(2)(0) - . . .
dtn
. . . - sx(n-2)(0) - x(n-1)(0) (58)
Przykład: Transformata Laplace a skoku jednostkowego wynosi
1
L {1(t)} = . Na podstawie (57) oraz (58) otrzymujemy:
s
Ł
L {�(t)} = L {dt1(t)} = 1, L �(t) = L {dt�(t)} = s (59)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 54 / 64
Całkowanie w dziedzinie czasu
t
Rozpatrzmy funkcję pomocniczą y(t) = x(�)d�
0
Zachodzą następujące związki:
dy(t)
x(t) = , y(0) = 0
dt
Na podstawie (57) mamy:
X(s) = sY (s) - y(0) = sY (s)
W ten sposób udowodniono:
6. Twierdzenie o całkowaniu w dziedzinie czasu
Jeżeli X(s) = L {x(t)}, to:
ńł �ł
�ł t żł
X (s)
L x(�)d� = (60)
ół �ł s
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 55 / 64
Całkowanie w dziedzinie czasu
t
Rozpatrzmy funkcję pomocniczą y(t) = x(�)d�
0
Zachodzą następujące związki:
dy(t)
x(t) = , y(0) = 0
dt
Na podstawie (57) mamy:
X(s) = sY (s) - y(0) = sY (s)
W ten sposób udowodniono:
6. Twierdzenie o całkowaniu w dziedzinie czasu
Jeżeli X(s) = L {x(t)}, to:
ńł �ł
�ł t żł
X (s)
L x(�)d� = (60)
ół �ł s
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 55 / 64
Całkowanie w dziedzinie czasu
t
Rozpatrzmy funkcję pomocniczą y(t) = x(�)d�
0
Zachodzą następujące związki:
dy(t)
x(t) = , y(0) = 0
dt
Na podstawie (57) mamy:
X(s) = sY (s) - y(0) = sY (s)
W ten sposób udowodniono:
6. Twierdzenie o całkowaniu w dziedzinie czasu
Jeżeli X(s) = L {x(t)}, to:
ńł �ł
�ł t żł
X (s)
L x(�)d� = (60)
ół �ł s
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 55 / 64
Całkowanie w dziedzinie czasu
t
Rozpatrzmy funkcję pomocniczą y(t) = x(�)d�
0
Zachodzą następujące związki:
dy(t)
x(t) = , y(0) = 0
dt
Na podstawie (57) mamy:
X(s) = sY (s) - y(0) = sY (s)
W ten sposób udowodniono:
6. Twierdzenie o całkowaniu w dziedzinie czasu
Jeżeli X(s) = L {x(t)}, to:
ńł �ł
�ł t żł
X (s)
L x(�)d� = (60)
ół �ł s
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 55 / 64
Całkowanie w dziedzinie czasu
t
Rozpatrzmy funkcję pomocniczą y(t) = x(�)d�
0
Zachodzą następujące związki:
dy(t)
x(t) = , y(0) = 0
dt
Na podstawie (57) mamy:
X(s) = sY (s) - y(0) = sY (s)
W ten sposób udowodniono:
6. Twierdzenie o całkowaniu w dziedzinie czasu
Jeżeli X(s) = L {x(t)}, to:
ńł �ł
�ł t żł
X (s)
L x(�)d� = (60)
ół �ł s
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 55 / 64
Całkowanie w dziedzinie czasu: Przykład
Funkcja rampowa r(t) dla t e" 0 może być zapisana jako
t
r(t) = 1(�)d�
0
Na podstawie (60) otrzymujemy:
1
L {r(t)} = (61)
s2
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 56 / 64
Zmiana skali czasu
Niech dla a " R, a > 0 zmienna pomocnicza � = at
d�
Zmiana zmiennej pociąga za sobą: dt = ,
a
t = 0 �! � = 0, t = " �! � = "
Mamy:
" "
1 st 1 s
L {x(at)} = x(at)e-stdt = x(�)e- a d� = X (62)
a a a
0 0
Udowodniliśmy następujące:
7. Twierdzenie o zmianie skali czasu
1 s
L {x(at)} = X (63)
a a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 57 / 64
Zmiana skali czasu
Niech dla a " R, a > 0 zmienna pomocnicza � = at
d�
Zmiana zmiennej pociąga za sobą: dt = ,
a
t = 0 �! � = 0, t = " �! � = "
Mamy:
" "
1 st 1 s
L {x(at)} = x(at)e-stdt = x(�)e- a d� = X (62)
a a a
0 0
Udowodniliśmy następujące:
7. Twierdzenie o zmianie skali czasu
1 s
L {x(at)} = X (63)
a a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 57 / 64
Zmiana skali czasu
Niech dla a " R, a > 0 zmienna pomocnicza � = at
d�
Zmiana zmiennej pociąga za sobą: dt = ,
a
t = 0 �! � = 0, t = " �! � = "
Mamy:
" "
1 st 1 s
L {x(at)} = x(at)e-stdt = x(�)e- a d� = X (62)
a a a
0 0
Udowodniliśmy następujące:
7. Twierdzenie o zmianie skali czasu
1 s
L {x(at)} = X (63)
a a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 57 / 64
Zmiana skali czasu
Niech dla a " R, a > 0 zmienna pomocnicza � = at
d�
Zmiana zmiennej pociąga za sobą: dt = ,
a
t = 0 �! � = 0, t = " �! � = "
Mamy:
" "
1 st 1 s
L {x(at)} = x(at)e-stdt = x(�)e- a d� = X (62)
a a a
0 0
Udowodniliśmy następujące:
7. Twierdzenie o zmianie skali czasu
1 s
L {x(at)} = X (63)
a a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 57 / 64
Zmiana skali czasu
Niech dla a " R, a > 0 zmienna pomocnicza � = at
d�
Zmiana zmiennej pociąga za sobą: dt = ,
a
t = 0 �! � = 0, t = " �! � = "
Mamy:
" "
1 st 1 s
L {x(at)} = x(at)e-stdt = x(�)e- a d� = X (62)
a a a
0 0
Udowodniliśmy następujące:
7. Twierdzenie o zmianie skali czasu
1 s
L {x(at)} = X (63)
a a
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 57 / 64
Transformata Laplace a splotu (1)
Splot jednostronny sygnałów x(t), v(t) spełniających x(t) = v(t) = 0 dla
t < 0 określony jest jako (powtórzenie):
t
y(t) = x()v(t - )d (64)
0
Transformata Laplace a sygnału y(t):
�ł �ł
" " t
�ł
Y (s) = y(t)e-stdt = x()v(t - )dłł e-stdt (65)
0 0 0
Ponieważ x(t - ) = 0 dla  > t, można zmienić granice całkowania
wewnętrznej całki na (0, "). Zmieniając kolejność całkowania można
napisać:
�ł �ł
" "
�ł
Y (s) = v(t - )e-s(t-)dtłł x()e-sd (66)
0 0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 58 / 64
Transformata Laplace a splotu (1)
Splot jednostronny sygnałów x(t), v(t) spełniających x(t) = v(t) = 0 dla
t < 0 określony jest jako (powtórzenie):
t
y(t) = x()v(t - )d (64)
0
Transformata Laplace a sygnału y(t):
�ł �ł
" " t
�ł
Y (s) = y(t)e-stdt = x()v(t - )dłł e-stdt (65)
0 0 0
Ponieważ x(t - ) = 0 dla  > t, można zmienić granice całkowania
wewnętrznej całki na (0, "). Zmieniając kolejność całkowania można
napisać:
�ł �ł
" "
�ł
Y (s) = v(t - )e-s(t-)dtłł x()e-sd (66)
0 0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 58 / 64
Transformata Laplace a splotu (1)
Splot jednostronny sygnałów x(t), v(t) spełniających x(t) = v(t) = 0 dla
t < 0 określony jest jako (powtórzenie):
t
y(t) = x()v(t - )d (64)
0
Transformata Laplace a sygnału y(t):
�ł �ł
" " t
�ł
Y (s) = y(t)e-stdt = x()v(t - )dłł e-stdt (65)
0 0 0
Ponieważ x(t - ) = 0 dla  > t, można zmienić granice całkowania
wewnętrznej całki na (0, "). Zmieniając kolejność całkowania można
napisać:
�ł �ł
" "
�ł
Y (s) = v(t - )e-s(t-)dtłł x()e-sd (66)
0 0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 58 / 64
Transformata Laplace a splotu (2)
Podstawiając � = t -  i wykorzystując założenie, że v(�) = 0 dla � < 0,
wewnętrzną całkę z (66) można przekształcić do:
" " "
v(t - )e-s(t-)dt = v(�)e-s� d� = v(t)e-s� d� = V (s) (67)
0 - 0
Udowodniono:
8. Twierdzenie o transformacie Laplace a splotu
t
Jeżeli y(t) = x()v(t - )d, to Y (s) = X (s)V (s)
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 59 / 64
Transformata Laplace a splotu (2)
Podstawiając � = t -  i wykorzystując założenie, że v(�) = 0 dla � < 0,
wewnętrzną całkę z (66) można przekształcić do:
" " "
v(t - )e-s(t-)dt = v(�)e-s� d� = v(t)e-s� d� = V (s) (67)
0 - 0
Udowodniono:
8. Twierdzenie o transformacie Laplace a splotu
t
Jeżeli y(t) = x()v(t - )d, to Y (s) = X (s)V (s)
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 59 / 64
Transformata Laplace a splotu (2)
Podstawiając � = t -  i wykorzystując założenie, że v(�) = 0 dla � < 0,
wewnętrzną całkę z (66) można przekształcić do:
" " "
v(t - )e-s(t-)dt = v(�)e-s� d� = v(t)e-s� d� = V (s) (67)
0 - 0
Udowodniono:
8. Twierdzenie o transformacie Laplace a splotu
t
Jeżeli y(t) = x()v(t - )d, to Y (s) = X (s)V (s)
0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 59 / 64
Zestawienie własności transformaty Laplace a (1)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 60 / 64
Zestawienie własności transformaty Laplace a (2)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 61 / 64
Transformaty Laplace a wybranych funkcji (1)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 62 / 64
Transformaty Laplace a wybranych funkcji (2)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 63 / 64
Dziękuję za uwagę
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.04 29 paz
dziernika 2009 64 / 64