Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Metody numeryczne (analiza numeryczna)
- nauka zajmująca się rozwiązywaniem problemów matematycznych
metodami arytmetycznymi
- sztuka doboru spośród wielu możliwych procedur takiej, która jest
 najlepiej dostosowana do rozwiÄ…zania danego zadania
Mathematics + Computer Science + Engineering = Scientific
Computing
b
Oszacowanie błędu numerycznego obliczenia f ( x ) dz przy n+1
+"
a
obliczeniach wartości f(x)
Metoda trapezów
( b - a )3 f '' (¾1 )
12n2
( 4 )
Metoda Simpsona
( b - a )5 f (¾2 )
180 n4
W1 - 1
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
1. Odpowiednie sformułowanie zadania
2. Metoda numeryczna + analiza błędu
3. Algorytm
4. Implementacja
1. Błąd danych wejściowych
2. Błąd zaokrągleń w czasie obliczeń
3. Błąd metody (obcięcia)
4. BÅ‚Ä…d wnoszony przez uproszczenia modelu matematycznego
5. Błąd człowieka
~
a jest przybliżeniem wartości dokładnej a
~
Błąd bezwzględny:"a = a - a
~
"a a - a
BÅ‚Ä…d wzglÄ™dny: µa = = , a `" 0
a a
~
"a ~ - a a
a
~
a = a + "a = a + µaa = (1 + µa )a µa = = = -1, a `" 0
a a a
uogólnienie na wartości wektorowe
szacowanie modułów błędów
W1 - 2
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Przenoszenie się błędów w obliczeniach numerycznych
1. Analiza bezpośrednia krok po kroku  analiza przedziałowa:
~
y = 4.4 poprawnie zaokrąglona, więc 4.35 < y < 4.45
" < 0.05
y
0.05
µ < = 0.0115
y
4.35
~
y = 2.0976 2.0857 < y < 2.1095
" < 0.0119
y
µ < 0.0057
y
~
x =10.3 poprawnie zaokrąglona, więc 10.25 < x <10.35
"x < 0.05
0.05
µ < = 0.049
x
10.25
.....................................................................
~ ~ ~)
z = ln( x + y = 2.5175 2.5125 < ln(x + y) < 2.5225
"z < 0.005
µz < 0.0020
W1 - 3
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
2. Wykorzystanie podstawowych wzorów:
~
"a ~ - a a
a
~
a = a + "a = a + µaa = (1 + µa )a µa = = = -1, a `" 0
a a a
~1, ~2
x1, x µ1, x2 , x , µ2
Iloczyn: y = x1x2
~1~2
x x x1(1 + µ1 )x2(1 + µ2 )
µ = -1 = -1 = (1 + µ1 )(1 + µ2 ) -1 H" µ1 + µ2 wiÄ™c µ < µ1 + µ2
y y
x1x2 x1x2
Pierwiastek: y = x
~
x(1 + µ )
x 1 1 1 1
2
µ = -1 = -1 = (1 + µ ) -1 = 1 + µ - µ + ..... -1 H" µ wiÄ™c µ < µ
y y
x x 2 8 2 2
x1
Iloraz: y =
x2
~1x2
x x1(1 + µ1 )x2 (1 + µ1 ) ( µ1 - µ2 )
µ = -1 = -1 = -1 = H" µ1 - µ2 wiÄ™c µ < µ1 + µ2
y y
x1~2 x1x2(1 + µ2 ) (1 + µ2 ) (1 + µ2 )
x
W1 - 4
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Suma: y = x1 Ä… x2
~1 Ä… ~2
x x x1(1 + µ1 ) Ä… x2(1 + µ2 ) x1µ1 x2µ2
µ = -1 = -1 = Ä… wiÄ™c
y
x1 Ä… x2 x1 Ä… x2 x1 Ä… x2 x1 Ä… x2
x1 x2
µ < µ1 + µ2
y
x1 Ä… x2 x1 Ä… x2
W1 - 5
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
3. Metoda przybliżona  metoda różniczki zupełnej
~ ~1,~2 x ~
x = ( x1,x2 ,...,xn ) x = ( x x ,...,~n ) y( x ), " = y( x ) - y( x )
y
n
"y
~
" H" ( x )"xi
"
y
"xi
i=1
n
"y
~
" < ( x ) "xi
"
y
"xi
i=1
n n
"xi
"
xi "y xi "y
y
~ ~
µ = H" ( x ) = ( x )µ
" "
y xi
y y "xi xi y "xi
i=1 i=1
n
xi "y
~
µ < ( x ) µ
"
y xi
y "xi
i=1
metodÄ… przybliżonÄ… µz < 0.0024
W1 - 6
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Przykład 1: Błędy dodawania 0.1
W1 - 7
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
W1 - 8
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Przykład 2: Przenoszenie błędów
~
Ä… 0.05
d = 3.7
Zmierzono średnicę kuli z dokładnością do cm i otrzymano cm. Użyto
~
Ä„ = 3.14
przybliżonej wartości Oszacuj względny i bezwzględny błąd obliczonej objętości kuli.
1 1
~
3
~~
V = Ä„d
Ä„
=3.14159265358979& & , V = Ä„d3 =26.5084
6 6
0.05
"d d" 0.05 µd d"
=0.0137
3.7 - 0.05
~
µÄ„
"Ä„ = Ä„ -Ä„
= - 0.00159265358979& & =-5.0696e-004
µÄ„ < 0.00051
"Ä„ < 0.0016
Analiza przedziałowa:
1 1
3.14Å"3.653 < V < 3.1416Å"3.753
25.44826 6
{}=max{1.1033, 1.0602}=1.1033
"V < max 27.6117 - 26.5084, 265084 - 25.4482
1.1033
µV <
=0.0434
25.4484
W1 - 9
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Metoda różniczki zupełnej:
n n
"y xi "y
" < (~) "x , µ < (~) µ
x x
y " y " xi
i
"xi y "xi
i=1 i=1
"V 1
2
"V 1
3
= Ä„d
= d
=8.4422, =21.4933
d =3.7 d =3.7
"d 2
"Ä„ 6
d=3.7 d=3.7
Ä„ =3.14 Ä„ =3.14
"V < 8.4422 Å"0.0016 + 21.4933Å"0.05
=1.0882
Ä„ d
µV < 8.4422 Å" 0.00051+ 21.4933Å" 0.0137
V V
3.1416 3.75
µV < 8.4422Å" 0.00051+ 21.4933Å"0.0137
=0.0440
26.5084 -1.0882 26.5084 -1.0882
Z definicji:
µV < µÄ„ + 3µd =0.00051+3 0.0137=0.0416
~
µV V
0.0416 Å" 26.5084
"V d"
=1.1506
1- µV =
1- 0.0416
W1 - 10
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Przykład 3: Przenoszenie błędów
~
x
Oszacuj błąd względny i bezwzględny y jeśli: = 1,00 (wszystkie cyfry są poprawne) i .
x
y =1+
(1 jest liczbą dokładną)
x +1
~
~
x x
wszystkie cyfry w = 1,00 sÄ… poprawne ( = 1,00 otrzymano po zaokrÄ…gleniu do 2 cyfr
poprzecinku), czyli:
[]
x" 1,00-5,00 *10-3,1,00+5,00 *10-3
"x d"5,00 *10-3
5,00 *10-3
µx < =0.00502513.. = 0.0050
1,00-5,00 *10-3
Sposoby rozwiązania mogą być różne, na przykład tak:
"x+1 = "x
1.
"x+1 5*10-3
µx+1 = < = 2,5*10-3
x +1 2,00 - 5*10-3
W1 - 11
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
2.
1
µ < (µx + µx+1 )= 1
()
5,00+ 2,50 *10-3 =3,75*10-3
x
2
2
x+1
µ
x
~
x +1 x 1,00
" < =3,75*10-3 =3,75*10-3 * 7,07 *10-1 = 2,65*10-3
x ~
x +1 1,00 +1
x +1
1- µ
x
x +1
3. 1 jest dokładna
"y = "
x
x +1
"y
2,65*10-3
µ < = =1,55*10-3
y
~
x 1.00
1+ - "y 1+ - 2,65*10-3
~
x +1 1.00 + 1
W1 - 12
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Przykład 4: Cyfry poprawne
Skróć liczby by zachować 3 cyfry poprawne:
(błąd bezwzględny musi być mniejszy od 0.5*10-3)
0,12395 Ä… 5*10-6 Ò! 0,124 Ä… 5,5*10-5 (5,5*10-5 <0.5*10-3  3 cyfry poprawne)
0,12315 Ä… 5*10-6 Ò! 0,123 Ä… 1,55*10-4 (1,55*10-4 <0.5*10-3  3 cyfry poprawne)
0,12350 Ä… 5*10-6 Ò! 0,124 Ä… 5,05*10-4 (5,05*10-4 > 5*10-3  2 cyfry poprawne, wiÄ™c musimy
pozostawić 0,1235)
Przykład 5: Utrata cyfr znaczących
Przekształć wyrażenia tak, by uniknąć utraty cyfr znaczących:
x2 +1 -1
1) = (niebezpieczeństwo błędu dla x bliskich 0):
x2 + 1-1
x2
x2 +1 +1
=
)
( x2 +1 -1 =
x2 +1 -1=
x2 + 1 + 1
x2 +1 +1 x2 +1 +1
x - x2 -1 =
2) (niebezpieczeństwo błędu dla dużych x)
x2 - ( -1
x2 ) 1
x + x2 -1
=
(x )
x - x2 -1 = - x2 -1 =
x + x2 -1 x + x2 -1
x + x2 -1
W1 - 13