ZADANIA Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA
1. Wśród 100 śrub jest 30 wadliwych. Wybrano losowo 3 sztuki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że (a) jedna śruba jest wadliwa
b) nie ma żadnej śruby wadliwej wśród trzech wybranych.
2. Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje się na dziesięciu piętrach. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żadnych dwóch pasażerów nie opuści windy na tym samym piętrze.
3. Grupa studencka składa się z 30 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żadnych dwóch studentów nie obchodzi urodzin tego samego dnia (przyjmujemy, że liczba dni w roku jest równa 365).
4. Cyfry 1,2,3,4,5 zapisane są na pięciu kartkach. Wybieramy losowo jedną; po drugiej trzy kartki i zapisujemy umieszczone na nich cyfry w kolejności losowania. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że otrzymana w ten sposób trzycyfrowa liczba będzie parzysta.
5. W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyrobów jest dobrych. Na 100 dobrych wyrobów średnio 75 jest pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pewna sztuka wyprodukowana w tym przedsiębiorstwie jest pierwszego gatunku.
6. Obliczyć niezawodność układu złożonego z trzech połączonych (a) równolegle
(b) szeregowo przekaźników przy założeniu, ze przekaźniki działają niezależnie i niezawodność każdego z nich jest p .
7. Prawdopodobieństwo zestrzelenia kaczki przy jednym strzale jest równe 1/3. Pięciu myśliwych strzela niezależnie do jednej kaczki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zestrzelą kaczkę.
8. W partii 200 lamp elektronowych jest 8 sztuk wadliwych. Losujemy 3 sztuki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie 3 lampy są wadliwe.
9. Na stu mężczyzn pięciu, a na tysiąc kobiet dwie nie rozróżniają kolorów (są daltonistami). Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest to mężczyzna.
10. Trzy fabryki produkują seryjnie ten sam towar. Pierwsza zaopatruje rynek w 40%, druga w 30%. Średni procent braków w produkcji pierwszej fabryki wynosi 2%, drugiej fabryki 4%, a trzeciej 5%. Kupiono sztuka towaru, która okazała się brakiem. Z której fabryki jest najbardziej prawdopodobny zakup braku? Podąć odpowiadające jej prawdopodobieństwo.
11. Dwie przyjaciółki postanowiły spotkać się w kawiarni. w godzinach między 1600 a 1700. Obie przyjaciółki przyjęły , że będą oczekiwać na siebie nie dłużej niż 15 min od przybycia lub do końca wspomnianej godziny.
Niech A oznacza zdarzenie, że się spotkają. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeśli założyć , że każda z przyjaciółek może przybyć do kawiarni w każdym momencie czasowym między 1600 i 1700?
.12. Służba sanitarna rozporządza trzema samochodami sanitarnymi. Prawdopodobieństwo tego, ze w czasie od 8.00 do 9.00 dany samochód będzie w bazie jest dla każdego samochodu jednakowe i wynosi p = 0,2 .
(a)
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w danym czasie dwa samochody będzie w bazie (b)
Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden samochód będzie w bazie 13. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem :
1
0
,
− ∞ < x < −
π
2
1
1
1
f ( x ) =
cos x
, −
π ≤ x ≤
π
2
2
2
1
0
,
π < x < ∞
2
Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej, obliczyć P(π/6<X<π/4), E(X), Me(X).
14.Zmienna losowa ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem
0 ,− ∞ < x < 1
f ( x) = ln x
1
, ≤ x ≤ a
0
, a < x < ∞
Wyznaczyć stałą a, dystrybuantę tej zmiennej losowej , obliczyć P(2<x<e) , E(X).
15. Zmienna losowa X podlega rozkładowi określonemu tabelką :
x(i)
-5
-2
0
1
3
8
p(i)
0,1
0,2
0,1
0,2
c
0,1
Wyznaczyć stałą c , znaleźć dystrybuantę ,wykonać wykres rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty .
Obliczyć E(X) , VAR(X), Me(x), oraz P(X<2), P(-2 ≤ X <3) .
16. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem : Wyznaczyć stałą c. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej, obliczyć P(π/6<X<π/4), E(X), Me(X),Var(x).
0 ,
− ∞ < x < 0
π
f ( x ) = c cos x
, 0 ≤ x ≤
2
π
0
< x < ∞
2
17. Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie określonej wzorem
0
,
− ∞ < x < 0
F ( x ) = x 2
,0 ≤ x ≤ 1
1
1 < x < ∞
Znaleźć gęstość tej zmiennej losowej, obliczyć P(-2<X<4), E(X), Me(X),Var(x).
18. Zmienna losowa X ma rozkład N( 4 , 2) . Obliczyć P ( | X – 2 | < 3).
19. Zmienna losowa X ma rozkład N( 2,4). Obliczyć P( | X – 1 | > 2).
20. Pewien towar ma wadliwość 8%. Zakupiono 500 sztuk tego towaru . Obliczyć prawdopodobieństwo tego , że ilość znalezionych w tej partii sztuk wadliwych będzie się zawierać w granicach 7% – 9%.