ALGEBRA Z GEOMETRIĄ
2012/13
Zestaw 8
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE, FORMY KWADRATOWE
Zadania na ćwiczenia:
1
1. Udowodnić, że jeżeli λ jest wartością własną macierzy nieosobliwej A , to λ jest wartością
−
własną macierzy
1
A
, a 2
λ jest wartością własną macierzy 2
A .
2. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy:
4 1 0
3 4
A =
,
B = 0 3 2
oraz
1
A− ,
1
B− ,
2
A ,
2
B .
4 − 3
0 0 1
3. Znaleźć wartości własne i podprzestrzenie własne przekształcenia liniowego: a)
2
2
F : R → R , F jest rzutem prostokątnym na oś OX (zad 2 zestaw 7); b)
2
2
F : R → R , F jest symetrią względem prostej y = x (zad 5 zestaw 7); c)
3
3
F : R → R , F ( x , x , x = x + 2 x , − 2 x + 3 x + 2 x , 3 x − 3 x − x (zad 6 zestaw 7).
1
2
3 )
( 2
3
1
2
3
1
2
3 )
4. Sprowadzić formę kwadratową do postaci kanonicznej, znaleźć macierz przekształcenia B: 2
2
2
a)
f (
=
+
+
+
1
x , x 2 , x 3 ) 1
x
x 2
2 x 3
4 1
x x 2 ;
2
2
2
b) f (
=
+
+
−
−
1
x , x 2, x 3 ) 1
x
2 x 2
x 3
2 1
x x 2 2 x 2 x 3 ; 2
2
2
c)
f ( x , x , x = x − 5 x + x + 4 x x + 2 x x + 4 x x 1
2
3 )
1
2
3
1 2
1 3
2
3 ;
5. Korzystając z odpowiedniego twierdzenia sprawdzić, czy forma jest istotnie określona: 2
2
2
a) f (
= −
−
−
+
1
x , x 2, x 3 ) 4 1
x
2 x 2
3 x 3
2 1
x x 3
2
2
2
b) f (
=
+
+
+
−
1
x , x 2, x 3) 3 1
x
4 x 2
5 x 3
4 1
x x 2 4 x 2 x 3 .
1 2
2
6. Obliczyć 100
A
dla A = 2 1 − 2 .
Wsk. Sprowadzić macierz A do postaci diagonalnej.
2 − 2 1
Zadania dodatkowe:
7. Znaleźć ortogonalne przekształcenia płaszczyzny sprowadzające równania krzywych postaci ax 2 + by 2 + cxy = d do postaci α ( x′)2 + β ( y′)2 = d . Rozpoznać rodzaj krzywych: a) 3 2
x + 3 2
y − 2 xy = 4
b) 7 2
2
x + y − 8 xy = 9
8. Sprowadzić formę kwadratową do postaci kanonicznej (bez wykorzystania wartości własnych): 2
2
2
a) f (
=
+
+
−
−
1
x , x 2, x 3 ) 1
x
2 x 2
x 3
2 1
x x 2 2 x 2 x 3 ; b) f ( x , x , x , x = x x + x x .
1
2
3
4 )
1
2
3
4