L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
Zadanie 1
a) Niech
3
0
2 1
0
−
2
− 2
4 −1 0 3
A =
1
B =
C =
0 2 − 2
1
0
−1
1
2
2
0
1
0
Wyznacz macierz
AT + 2B - CT.
3
6
T
b) Wyznacz macierz X wiedząc, żè
(3 X ) =
− 6 0
4
−1
6
− 4
1 − 2
(odp. a)
X =
, b)
)
0
− 6
2
0
− 2
1
Zadanie 2
Zapisz w prostszej postaci:
( ) T
T
AB
T
A + ( A + B ) T
T
,
( TA( B + C ) T
T
,
(( AB) + ) T
T
C ,
(
T
A + A )( A − A ) T
T
Zadanie 3
1 2
1 0 −1
a) Dla macierzy A =
i B = 1 0 wyznacz iloczyny A⋅B i B⋅A,
2 3 − 2
3 1
1
0
0
1
b) Niech A =
,
B =
, wyznacz A⋅B , B⋅A , (A⋅B)T i BT⋅AT
− 2 −
1
− 3
1
T
1 0
T
c) Wyznacz macierz X jeśli
[0 −1 ]1⋅[1 2 − 2] −3 X = −2 1
0 3
5 6 −
5
2
−
1
(odp. a) A⋅B =
, B⋅A = 1 0 −1 ;
−1
2
5 3 −
5
0
1
− 2 −
1
0
3
0
3
b) A⋅B =
, B⋅A =
; (A⋅B)T =
, BT⋅AT =
;
3 −
3
− 5 −
1
1 −
3
1 −
3
− 2
c) X =
)
3
Zauważ, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
1
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
Zauważ, że spełniona jest własność (A⋅B)T = BT⋅AT
Zadanie 4
Sprawdzić, że następujące zbiory macierzy
a
b
a)
: a, b > ,
0
a, b ∈ ,
−
R
b
a
cosα − sinα
b)
: α ∈ R
sinα
cosα
z działaniem mnożenia macierzy są grupami abelowymi.
Zadanie 5
Uzasadnić, że dla macierzy kwadratowych zachodzi własność tr(AB) = tr(BA)
Zadanie 6
2
3
− 2
Oblicz AB i BA jeśli A = 4
5
2 ,
− 6 7
8
1 0 0
1 0 0
0 0 0
a)
B = 0 a 0 ,
b)
B = 0 1 b ,
c)
B = 0 0 1 ,
0 0 1
0 0 1
0 0 0
2
3 a
− 2
2
3
− 2
(odp. a) AB = 4
5 a
2 ,
BA = 4 a 5 a 2 a ,
− 6 7 a
8
− 6
7
8
2
3
3 b − 2
2
3
− 2
b) AB = 4
5
5 b + 2 , BA = 4 − 6 b 5 + 7 b 2 + 8 b ,
− 6 7 7 b +
8
− 6
7
8
0 0 3
0
0
0
c) AB = 0 0 5 , BA = − 6 7 8 )
0 0 7
0
0
0
Zadanie 7
a) Sprawdź, że wynikiem mnożenia AB, gdzie
a
a
a
a
0
11
12
13
14
a
a
a
a
0
21
22
23
24
A =
B =
,
a
a
a
a
1
31
32
33
34
a
a
a
a
0
41
42
43
44
jest macierz równa trzeciej kolumnie macierzy A.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać drugą kolumnę macierzy A?
b) Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie 2
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
a
a
a
a
11
12
13
14
a
a
a
a
B = [1 0 0 0]
21
22
23
24
,
A =
a
a
a
a
31
32
33
34
a
a
a
a
41
42
43
44
jest macierz równa pierwszemu wierszowi macierzy A.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać czwarty wiersz macierzy A?
0
1
(odp. a) B =
B = 0 0 0
, b)
[
]1)
0
0
Zadanie 8
a) Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie
1
0
0
0
a
a
a
a
11
12
13
14
0
0
0
1
B =
a
a
a
a
21
22
23
24
A =
0
0
1
0
,
a
a
a
a
31
32
33
34
0
1
0
0
a
a
a
a
41
42
43
44
jest macierz otrzymana z macierzy A przez przestawienie drugiego i czwartego wiersza.
Zauważ, że macierz B jest macierzą permutacji.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać przestawienie pierwszego i drugiego wiersza macierzy A?
b) Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie
1 0 0 0
a
a
a
a
11
12
13
14
0 1 0 0
a
a
a
a
B =
21
22
23
24
A =
,
0
0
c
0
a
a
a
a
31
32
33
34
0 0 0 1
a
a
a
a
41
42
43
44
jest macierz otrzymana z macierzy A przez pomnożenie jej trzeciego wiersza przez liczbę c.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać pomnożenie czwartego wiersza macierzy A przez 5?
c) Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie
1 0 0 0
a
a
a
a
11
12
13
14
0 1 0 0
a
a
a
a
B =
21
22
23
24
A =
,
c
0
1
0
a
a
a
a
31
32
33
34
0 0 0 1
a
a
a
a
41
42
43
44
jest macierz otrzymana z macierzy A przez dodanie do jej trzeciego wiersza, pierwszego wiersza pomnożonego przez liczbę c.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać dodanie do czwartego wiersza, drugiego wiersza pomnożonego przez 7?
Zauważ, ze iloczyny a), b), c) odpowiadają elementarnym operacjom na wierszach macierzy A.
3
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
0 1 0 0
1 0 0 0
(odp. a) B =
,
0
0
1
0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
b) B =
,
0
0
1
0
0 0 0 5
1 0 0 0
0 1 0 0
c) B =
)
0
0
1
0
0 7 0 1
Zadanie 9
Oblicz,
3
n
n
0
1
0
a 1 0
2 1
0
a)
0
0
1
, b)
0
a
1 , c)
0 2
0
0 0 0
0 0 a
0 0 −
3
1
n( n
)
1
n
n−
−
n−2
a
na
a
2
n
n−1
(odp. a) 0, b) 0
a
na
,
n
0
0
a
n
n−1
2
n 2
0
c)
n
0
2
0 )
n
0
0
(− )
3
Zadanie 10
4 −
3
Oblicz f ( )
2
A = x − 2 x + 5 jeśli A =
,
2
1
7 − 9
(
)
6 − 2
Zadanie 11
Oblicz wyznaczniki macierzy:
1 2
3
1
− 2 0 1
2 − 2 0 1
2 −
1
A =
, B = 1 2
3 ,
C = 0
0
0
2 , D = 0 −1 0 2 ,
1
3
−
0 0
1
1
0
3
0
0
0
3
0
0
−1 2 0
0
0
0
1
(odp. detA = 7, detB = 0, detC = -2, detD = -6) 4
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
Zadanie 12
Oblicz wyznaczniki macierzy:
−1 5 0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
0
3
− 2 0 0
4
5
0
0
0
0
0
2
− 5 0 0
A =
1
7
1
1
1 ,
B =
,
− 3 6 0
0
0
0
−1 3 2 3
4
0
0
0
0
4
5
9
8
4
9 16
0
0
0
0
3
4
(odp. detA = -4, detB = -99)
Zadanie 13
1
−
Sprawd
T
T
ź, że det(4( BA)
n
B A ) = 4 , dla dowolnych nieosobliwych macierzy stopnia n.
Zadanie 14
Rozwiąż równanie:
3
x
− 4
2
−1 3 = 0
x +12
0
4
(odp. -10, 2)
Zadanie 15
Wyznacz (jeżeli istnieje) macierz odwrotną do macierzy:
1 2 3
1
1
−
1
a)
1 4 0 ;
b) 2
− 2 2 ;
0 2 1
− 3
3
3
1
1
1
1
1 0 0 0
1
1
−
1
1
1
−1 −
1
0 0 0 1
c) 0
0
2 ; d)
; e)
.
1 −1
1
−
1
0
1
1
0
−1 1
0
1 −1 −1
1
1 0 1 1
5
,
0
5
,
0
− 5
,
1
(odp. a) − 1
,
0 25
1
,
0 25
3
,
0 7
5 ,
,
0 25
− ,
0 25
,
0 25
1
1
0
2
4
5
,
0
,
0 25
−
5
,
0
1
1
b)
0
, c)
5
,
0
,
0 25
5
,
0
,
2
6
1
1
0
5
,
0
0
0
4
6
5
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
,
0 25
,
0 25
,
0 25
,
0 25
,
0 25
,
0 25
− ,
0 25
− ,
0 25
d)
,
,
0 25
− ,
0 25
,
0 25
− ,
0 25
,
0 25
− ,
0 251 − ,
0 25
,
0 25
1
0
0
0
1
1
1
−
1
e)
−
)
1 −1 0
1
0
1
0
0
Zadanie 16
Wyznacz (stosując jedną i drugą metodę) macierz odwrotną do macierzy:
2 0 0
1 0 0
−1 − 2
A =
,
B = 1 3 2 ,
I = 0 1 0 .
2
3
0 1 1
0 0 1
5
,
0
0
0
3
2
(odp. A-1 =
, B-1 = − 5
,
0
1
− 2 , I-1 = I)
− 2 −
1
5
,
0
−1 3
Zadanie 17
Wyznacz macierz X jeśli
2 0 0
1
2 0 0
a) 1
3
2 ⋅ X =
0
b) X ⋅ 1
3
2 ⋅ =
[− 2 0 ]1
0 1 1
−
1
0 1 1
2 0 0
0
1
2 0 0
1 1 −
1
c) 1
3
2 ⋅ X =
−1 0
d) X ⋅ 1
3
2 ⋅ =
0 2
1
0 1 1
0
2
0 1 1
2 1
− 3
2
− 2
4
0 1
5 2 0 0
e)
⋅ X ⋅
=
f)
⋅ X ⋅
=
3 2
5
−
3
3
−
1
1 0
0 6
0 1
T
−1
T
1 2
1 2
1 0 1 2
3 − 2 2 1 2 3
g)
⋅ X ⋅
=
−
X
=
h)
3 4
3 4
0 1 3 4
0
1 5 2
4 5
1 3
4
1 3
4
2 3 1
2 3 1
i) X 1 4
5
=
j) X 1 4
5
=
4 2
4 2
1 0 −
0
1
1 0 −
0
1
1 −1 1 − 3 2
− 6
k)
X
=
2 − 2 2 − 6
4 −12
6
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
T
− 2 − 2 0 −
3
T
T
2 1
2 −
1
−1 2
l)
0
−1 ⋅ 2 0 −
⋅ X
= 2 I
2 −
+
3
5
3
3
0
1
0
1
0
1
−
1
5
,
0
(odp. a) X = 5
,
1
, b) X ⋅ = [− 5
,
0
−1 ]
3 ,
−
5
,
2
0
5
,
0
− 5
,
0
2
− 5
c) X = −1 −
5
,
4
d) X ⋅ =
−
,
5
,
0
1
−
1
1
5
,
6
1
24
13
0
− 2 − 4
18
−10
e) X =
, f)
X =
6 , g) X =
, l) X =
)
− 34 −18
− 6 −
−
0
0
7
30
18
Zadanie 18
Znaleźć rząd macierzy:
2 2
1 2 3 4
2 3 4 0
3 3
a) 2 1 2 7 ; b) 0 0 1 1 ; c)
;
4
5
1 1 1 1
1 1 0 0
1 2
0
1
0 0
2
0
1
0
0
2
0
0
2
d)
, e) 3
2 , f) 1 0 1 0 2
−1 0 3 0 −1 1
0 −
1
2 1 −1 0 −
1
0
0
1
1
1
1
2 1 3
1
1
−1 −
1
g)
;
h) [2 7];
i) [0 0]; j)
0 1 2
1 −1
1
−1
1 −1 −1
1
(odp. a) 3, b) 3, c) 2, d) 2, e) 2, f) 3, g) 2, h) 1, i) 0, j) 4)
Zadanie 19
Znaleźć rząd macierzy:
2 − 3 0
1
− 2 0 −
3
1
0
1
4
1
5
− 4
5
1
2
a) −1
3
2 ;
b)
;
c)
3
− 3 −
0
7
5
1
1
5
− 4 1
3
0
4
1
− 2 0 −
3
(odp. a) 2, b) 3, c) 2)
Zadanie 20
c 1
Wyznacz rząd macierzy A =
w zależności od parametru c.
1 c
(odp. r A = 1, gdy c = 1 lub c = -1, r A = 2, dla pozostałych c) 7
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
Zadanie 21
Znaleźć macierz permutacji
1 2 3 4
1 2 3 4
a)
, b)
.
4 3 2 1
3 1 4 2
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 0
(odp. a)
, b)
)
0
1
0
0
0
0
0
1
1 0 0 0
0 1 0 0
Zadanie 22
Sprawdź przez indukcję, że
a
a
a
L a
11
12
13
n
1
a
a
a
L
0
21
22
23
n( n− )
1
a
a
a
L
0
31
32
33
2
= (− )
1
a ⋅ a − ⋅...⋅ a
n 1
n
,
1 2
n
1
L
L
L L L
a
a
−
−
0
L
0
n
1
,
1
n
,
1 2
a
0
0
L
0
n 1
Zadanie 23
Ile powinien wynosi
2
ć wyznacznik macierzy A spełniającej równanie A −
T
A = 0 .
(odp. 0 lub 1)
Zadanie 24
Oblicz
1 1 1 1 1
0 0 0
1
1 1 1 2 0
0 0 1
1
a) det
det
, b)
1
1
3
0
0
0
1
1 1
1 4 0 0 0
1 1 1
1
5 0 0 0 0
(odp. a)1, b) 5!)
Zadanie 25
1
0
0
1
Dla macierzy: A =
,
B =
− 2 −
1
− 3
1
sprawdź, że det(AB) = detAdetB=det(BA), chociaż AB ≠ BA
Zadanie 26
Oblicz ATA i AAT gdy
a) A = [1 2 3]T,
b) A = [1 -2 3 -4],
Zadanie 27
Oblicz XTAX gdy
2 3
A =
,
X = [x, y]T,
3 4
L.Kowalski, 15.03.2010
8