Układy liniowe
Przykład 1
Funkcja wagi układu liniowego ma następującą postać:
− t / T
g t
( ) = e
Określić odpowiedź układu na skok jednostkowy.
Rozwiązanie
Wymuszenie w postaci skoku jednostkowego: u( t) = (
1 t)
Odpowiedź: (przy założeniu, że dla t < 0 jest: u( t) = 0 oraz dla ( t– τ) < 0 jest: g(t–τ) = 0) mamy:
t
t
t
−( t−τ )/ T
− t / T
−τ / T
− t / T
y t
( ) = u(τ ) g t ( −τ ) dτ =
(
1 τ ) e
dτ = e
e
dτ = Te
∫
∫
∫
( t/ T
e
− )
1 = T (
− t / T
1 − e
)
0
0
0
Przykład 2
Transformata odpowiedzi układu ma postać: s + 2
Y ( s) =
s( s + )
1
Określić postać czasową tej odpowiedzi.
Rozwiązanie
s 1 = – 1, s 2 = 0, zatem: s +
st
s +
y( t) = ( s + ) 2
2
1
e
+
st
s
e
= − − t
e + 2
s( s + )
1
s=−1
s( s + )
1
s=0
Przykład 3
Transformata odpowiedzi układu ma postać: s + 2
Y ( s) =
2
s( s + )
1
Określić postać czasową tej odpowiedzi.
Rozwiązanie
s 1,2 = – 1 (podwójny), s 3 = 0, zatem: d ⎛
s +
⎞
st
s +
st
d ⎛ s + est ⎞
y( t) =
⎜⎜( s + )2
2
2
( 2)
1
e
+ s
e
=
+ 2
ds ⎝
s( s + )
1 2
⎟⎟
s(
⎠
s + )
1
s=0
⎜⎜
⎟⎟
ds
s
s=−
⎝
⎠ s
s(
1
=−1
est + t( s + 2) est )− ( s + 2) st
=
e + 2 = − − et(2 + t) + 2
2
s
Przykład 4
Dynamika układu jest określona za pomocą następującego równania: d 3 y
d 2 y
dy
+ 2
+ 3
+ 4 y = u
dt 3
dt 2
dt
Określić transmitancję tego układu oraz zbadać warunki jego stabilności za pomocą kryterium Routha-Hurwitza.
Rozwiązanie Transmitancja: Y ( s) 1
=
U ( s)
3
s + 2 2
s + 3 s + 4
Stabilność:
1. wszystkie współczynniki mianownika mają ten sam znak i żaden nie jest zerowy; 2. tablica Routha:
s 3
an
an-2
an-4
s 2
an-1
an-3
an-5
s
c 1
c 2
c 3
s 0
d 1
a
a
1 3
n
n−2
a
a
2 4
n−
n−
−
gdzie:
1
3
2
c =
=
=
= 1
1
− an−
− 2
− 2
1
a
a
1 0
a
a
n
n−4
2 3
n 1
−
n−3
a
a
2 0
c
c
n 1
−
n−5
0
1 0
1
2
− 3
c =
=
=
= 0
d =
=
=
= 3
2
− a
1
− c
−1
−1
n−
− 2
− 2
1
1
Wypełniona tablica:
s 3 1 3 0
s 2 2 4 0
s
1 0 0
s 0 3
Układ jest zatem stabilny.
Przykład 5
Transmitancja układu zamkniętego jest następująca: 1
G( s) =
2
a s + a s + a 2
1
0
Przeprowadzić analizę właściwości tego układu w zależności od wartości współczynników tej transmitancji.
Przykład 6
Określić klasę układu oraz uchyby: położenia, prędkościowy i przyśpieszeni owy podanych układów
a)
u( t)
k
y( t)
( sT + )1
Rys. 1
- 2 -
u( t)
k
y( t)
s( sT + ) 1
Rys. 2
Przykład 7
W podanym układzie dobrać wartość parametru Ti regulatora PI, aby zapas fazy wynosił π/6.
u( t)
⎛
1 ⎞
y( t)
.
0
0 5
.
⎜⎜
5 1 +
⎟⎟
⎝
T s
(50 s + )1(100 s + ) i ⎠
1
1
( s + )1
Rys. 3
Przykład 8
Na rys. 4 pokazane są charakterystyki amplitudowo-fazowe trzech układów. Określić i uzasadnić, które z nich są stabilne.
Im{ G(jω)}
G (jω)
3
Re{ G(jω)}
G (jω)
1
G (jω)
2
Rys. 4
- 3 -