Kolokwium nr 1 z matematyki Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Zbadać, czy pole wektorowe ~

F = [3x2 + y, x, 2z] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczyć ten potencja l.

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczyć moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OXY krzywej L : {x2 + y2 = 4, z = 2} o g¸estości masy ρ(x, y, z) = xyz + x2z.

Zad.3. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

R

Obliczyć

x2ydx + xy(y + 1)dy, jeżeli L jest krzyw¸a L : {x2 + y2 + 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem L

swojego wn¸etrza.

Zad.4. [2p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Podać twierdzenie Greena.

R

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć (x + y)dx + 2xdy, jeżeli L jest trójk¸atem o wierzcho lkach A(0,0), L

B(2,0) o C(0,2) zorientowanym dodatnio wzgl¸edem swojego wn¸etrza.

Zad.5. [6p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Dana jest linia śrubowa

L : ~r(t) = [a cos t, a sin t, bt], a, b > 0, t ∈ R

Obliczyć krzywizn¸e krzywej L w dowolnym jej punkcie. Wyznaczyć k¸at, jaki tworzy p laszczyzna ściśle styczna do L w dowolnym jej punkcie z osi¸a OZ.

b) Podać definicj¸e punktu wyprostowania krzywej. Czy linia śrubowa rozważana w punkcie a) posiada punkty wyprostowania?